登录
13. (1) 若$a = -\frac{1}{2}$,则$-a= $
(2) 利用特殊值法,分别讨论在$a\lt -1,-1\lt a\lt 0,0\lt a\lt 1和a\gt 1$四种情况下,$a,-a,\frac{1}{a}$之间的大小关系。
当$a ＜ -1$时，取$a=-2$，则$-a=2$，$\frac{1}{a}=-\frac{1}{2}$，大小关系为$a ＜ \frac{1}{a} ＜ -a$；
当$-1 ＜ a ＜ 0$时，取$a=-\frac{1}{2}$，则$-a=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}=-2$，大小关系为$\frac{1}{a} ＜ a ＜ -a$；
当$0 ＜ a ＜ 1$时，取$a=\frac{1}{2}$，则$-a=-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}=2$，大小关系为$-a ＜ a ＜ \frac{1}{a}$；
当$a ＞ 1$时，取$a=2$，则$-a=-2$，$\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$，大小关系为$-a ＜ \frac{1}{a} ＜ a$。
$\frac{1}{2}$
,$\frac{1}{a}= $$-2$
。$a,-a,\frac{1}{a}$之间的大小关系为$\frac{1}{a} ＜ a ＜ -a$
。(2) 利用特殊值法,分别讨论在$a\lt -1,-1\lt a\lt 0,0\lt a\lt 1和a\gt 1$四种情况下,$a,-a,\frac{1}{a}$之间的大小关系。
当$a ＜ -1$时，取$a=-2$，则$-a=2$，$\frac{1}{a}=-\frac{1}{2}$，大小关系为$a ＜ \frac{1}{a} ＜ -a$；
当$-1 ＜ a ＜ 0$时，取$a=-\frac{1}{2}$，则$-a=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}=-2$，大小关系为$\frac{1}{a} ＜ a ＜ -a$；
当$0 ＜ a ＜ 1$时，取$a=\frac{1}{2}$，则$-a=-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}=2$，大小关系为$-a ＜ a ＜ \frac{1}{a}$；
当$a ＞ 1$时，取$a=2$，则$-a=-2$，$\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$，大小关系为$-a ＜ \frac{1}{a} ＜ a$。
答案
(1) $\frac{1}{2}$；$-2$；$\frac{1}{a} ＜ a ＜ -a$
(2)
当$a ＜ -1$时，取$a=-2$，则$-a=2$，$\frac{1}{a}=-\frac{1}{2}$，大小关系为$a ＜ \frac{1}{a} ＜ -a$；
当$-1 ＜ a ＜ 0$时，取$a=-\frac{1}{2}$，则$-a=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}=-2$，大小关系为$\frac{1}{a} ＜ a ＜ -a$；
当$0 ＜ a ＜ 1$时，取$a=\frac{1}{2}$，则$-a=-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}=2$，大小关系为$-a ＜ a ＜ \frac{1}{a}$；
当$a ＞ 1$时，取$a=2$，则$-a=-2$，$\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$，大小关系为$-a ＜ \frac{1}{a} ＜ a$。
(2)
当$a ＜ -1$时，取$a=-2$，则$-a=2$，$\frac{1}{a}=-\frac{1}{2}$，大小关系为$a ＜ \frac{1}{a} ＜ -a$；
当$-1 ＜ a ＜ 0$时，取$a=-\frac{1}{2}$，则$-a=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}=-2$，大小关系为$\frac{1}{a} ＜ a ＜ -a$；
当$0 ＜ a ＜ 1$时，取$a=\frac{1}{2}$，则$-a=-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}=2$，大小关系为$-a ＜ a ＜ \frac{1}{a}$；
当$a ＞ 1$时，取$a=2$，则$-a=-2$，$\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$，大小关系为$-a ＜ \frac{1}{a} ＜ a$。
14. 已知$x,y$是有理数,现规定一种新运算※：$x※y = xy + 1$。
(1) 求$2※4$的值；
(2) 求$(1※4)※(-2)$的值；
(3) 任意选择两个有理数(至少有一个是负数),分别填入$□和◯$中,并比较$□※◯和◯※□$的运算结果；
(4) 探索$a※(b + c)与a※b + a※c$的大小关系,并用式子表达出来。
(1) 求$2※4$的值；
(2) 求$(1※4)※(-2)$的值；
(3) 任意选择两个有理数(至少有一个是负数),分别填入$□和◯$中,并比较$□※◯和◯※□$的运算结果；
(4) 探索$a※(b + c)与a※b + a※c$的大小关系,并用式子表达出来。
答案
(1) $2※4 = 2×4 + 1 = 8 + 1 = 9$
(2) $1※4 = 1×4 + 1 = 5$，$5※(-2) = 5×(-2) + 1 = -10 + 1 = -9$
(3) 选择$-1$和$2$，$-1※2 = (-1)×2 + 1 = -1$，$2※(-1) = 2×(-1) + 1 = -1$，结果相等（答案不唯一，任意符合条件的有理数运算结果均相等）
(4) $a※(b + c) = a(b + c) + 1 = ab + ac + 1$，$a※b + a※c = (ab + 1) + (ac + 1) = ab + ac + 2$，$a※(b + c) = a※b + a※c - 1$
(2) $1※4 = 1×4 + 1 = 5$，$5※(-2) = 5×(-2) + 1 = -10 + 1 = -9$
(3) 选择$-1$和$2$，$-1※2 = (-1)×2 + 1 = -1$，$2※(-1) = 2×(-1) + 1 = -1$，结果相等（答案不唯一，任意符合条件的有理数运算结果均相等）
(4) $a※(b + c) = a(b + c) + 1 = ab + ac + 1$，$a※b + a※c = (ab + 1) + (ac + 1) = ab + ac + 2$，$a※(b + c) = a※b + a※c - 1$
15. 现有一批水果,从中随机抽出样品$20$箱,检测每箱的质量是否符合标准。与标准质量相比,将超过或不足的部分分别用正、负数来表示,记录如表：
|与标准质量的差值$/kg$|$-0.5$|$-0.3$|$-0.2$| $0$ | $0.1$ | $0.4$ |
|袋数| $1$ | $4$ | $3$ | $4$ | $5$ | $3$ |
(1) 若与标准质量相比,差距在$0.25kg$以内都是合格的,求合格的箱数；
(2) 与标准质量相比,这批水果的总重量共计超过或不足多少千克？
(3) 若$20箱的标准质量为800kg$,该种水果进价为$5元/kg$,售价为$9元/kg$,则这批水果全部售出可获利多少元？
|与标准质量的差值$/kg$|$-0.5$|$-0.3$|$-0.2$| $0$ | $0.1$ | $0.4$ |
|袋数| $1$ | $4$ | $3$ | $4$ | $5$ | $3$ |
(1) 若与标准质量相比,差距在$0.25kg$以内都是合格的,求合格的箱数；
(2) 与标准质量相比,这批水果的总重量共计超过或不足多少千克？
(3) 若$20箱的标准质量为800kg$,该种水果进价为$5元/kg$,售价为$9元/kg$,则这批水果全部售出可获利多少元？
答案
(1) $12$；(2) 不足$0.6kg$；(3) $3197.6$元。
解析
(1) 差距在$0.25kg$以内，即差值的绝对值小于等于$0.25$。
符合条件的差值为：$-0.2$，$0$，$0.1$。
对应的箱数：$3 + 4 + 5 = 12$（箱）。
(2) 计算总差值：
$(-0.5)×1 + (-0.3)×4 + (-0.2)×3 + 0×4 + 0.1×5 + 0.4×3$
$= -0.5 - 1.2 - 0.6 + 0 + 0.5 + 1.2$
$= (-0.5 + 0.5) + (-1.2 + 1.2) - 0.6$
$= 0 + 0 - 0.6 = -0.6$（kg）。
即共计不足$0.6kg$。
(3) 实际总质量：$800 - 0.6 = 799.4$（kg）。
获利：$799.4×(9 - 5) = 799.4×4 = 3197.6$（元）。
符合条件的差值为：$-0.2$，$0$，$0.1$。
对应的箱数：$3 + 4 + 5 = 12$（箱）。
(2) 计算总差值：
$(-0.5)×1 + (-0.3)×4 + (-0.2)×3 + 0×4 + 0.1×5 + 0.4×3$
$= -0.5 - 1.2 - 0.6 + 0 + 0.5 + 1.2$
$= (-0.5 + 0.5) + (-1.2 + 1.2) - 0.6$
$= 0 + 0 - 0.6 = -0.6$（kg）。
即共计不足$0.6kg$。
(3) 实际总质量：$800 - 0.6 = 799.4$（kg）。
获利：$799.4×(9 - 5) = 799.4×4 = 3197.6$（元）。
