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1. 两点之间,
线段
最短。答案
线段
解析
根据线段的基本性质，两点之间的所有连线中，线段是最短的，这是几何学中的基本公理之一。
2. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,
垂线段
最短。答案
垂线段
解析
根据垂线段的性质，从直线外一点到这条直线所画的垂线段最短，所以连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【例1】如图所示,村庄A,B在一条笔直的公路l的同侧,现要在公路上修建一个供应站,使供应站到两村庄之间的距离之和最短,应将供应站修建在哪？请依据轴对称的性质作出符合问题要求的点,并写出证明过程。
答案
作图步骤：
1. 作点A关于直线l的对称点A'；
2. 连接A'B，交直线l于点P。点P即为所求供应站的位置。
证明过程：
∵点A与A'关于直线l对称，∴PA=PA'（轴对称性质：对称轴上的点到两对称点距离相等）。
∴PA+PB=PA'+PB=A'B（等量代换）。
在直线l上任取异于点P的点P'，连接P'A、P'B、P'A'。
∵A与A'关于l对称，∴P'A=P'A'（同理）。
∴P'A+P'B=P'A'+P'B。
在△P'A'B中，P'A'+P'B＞A'B（三角形两边之和大于第三边）。
∴P'A+P'B＞PA+PB。
故点P到A、B的距离之和最短。
1. 作点A关于直线l的对称点A'；
2. 连接A'B，交直线l于点P。点P即为所求供应站的位置。
证明过程：
∵点A与A'关于直线l对称，∴PA=PA'（轴对称性质：对称轴上的点到两对称点距离相等）。
∴PA+PB=PA'+PB=A'B（等量代换）。
在直线l上任取异于点P的点P'，连接P'A、P'B、P'A'。
∵A与A'关于l对称，∴P'A=P'A'（同理）。
∴P'A+P'B=P'A'+P'B。
在△P'A'B中，P'A'+P'B＞A'B（三角形两边之和大于第三边）。
∴P'A+P'B＞PA+PB。
故点P到A、B的距离之和最短。
解决“两点一线”型最短路径问题的方法
当两点在直线异侧时,连接两点,与直线的交点即为所求作的点；当两点在直线同侧时,作其中某一点关于直线的对称点,对称点与另一点的连线与直线的交点即为所求作的点。
当两点在直线异侧时,连接两点,与直线的交点即为所求作的点；当两点在直线同侧时,作其中某一点关于直线的对称点,对称点与另一点的连线与直线的交点即为所求作的点。
答案
答题卡作答：
1. 当两点在直线异侧时：
步骤：直接连接两点，该线段与直线的交点即为最短路径经过的点。
结论：此时两点之间的线段与直线的交点为所求的最短路径点。
2. 当两点在直线同侧时：
步骤：
选择其中一个点，作该点关于直线的对称点；
连接这个对称点与另一个点，该线段与直线的交点即为最短路径经过的点。
结论：通过作对称点并连接，与直线的交点为所求的最短路径点。
1. 当两点在直线异侧时：
步骤：直接连接两点，该线段与直线的交点即为最短路径经过的点。
结论：此时两点之间的线段与直线的交点为所求的最短路径点。
2. 当两点在直线同侧时：
步骤：
选择其中一个点，作该点关于直线的对称点；
连接这个对称点与另一个点，该线段与直线的交点即为最短路径经过的点。
结论：通过作对称点并连接，与直线的交点为所求的最短路径点。
1. (2024·重庆)如图所示,河道m的同侧有M,N两个村庄,计划铺设一条管道将河水引至M,N两地,下面的四个方案中,管道长度最短的是(
根据插图中对应选项选择，此处因无插图无法确定具体字母，正确思路为上述对称法
)答案
（根据插图中对应选项选择，此处因无插图无法确定具体字母，正确思路为上述对称法）
解析
作点M关于直线m的对称点M'，连接M'N，与直线m交于点P，连接MP，则MP+PN最短，对应方案为沿MP、PN铺设管道。
2. 如图所示,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于点E,F。若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为(
A.6
B.8
C.10
D.12
C
)A.6
B.8
C.10
D.12
答案
C
解析
∵△ABC是等腰三角形，D为BC中点，BC=4，∴CD=2。EF是AC的垂直平分线，∴MA=MC（垂直平分线性质）。△CDM周长=CD+DM+MC=2+DM+MA，要使周长最小，需DM+MA最小。A、D为定点，M在EF上，A、D在EF两侧（计算得A(0,8)，D(0,0)，EF方程x-4y+15=0，代入A、D符号相反），故MA+MD最小值为AD。由面积16，BC=4，得高AD=8。∴△CDM周长最小值=2+8=10。
3. 如图所示,在四边形ABCD中,∠B= ∠D= 90°,∠BAD= 140°,点E,F分别为BC和CD上的动点,连接AE,AF,EF。当△AEF的周长最小时,∠EAF的度数为(
A.60°
B.90°
C.100°
D.120°
C
)A.60°
B.90°
C.100°
D.120°
答案
C
解析
作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''，连接A'A''交BC于E，交CD于F，此时△AEF周长最小。由对称知AE=A'E，AF=A''F，∠BAE=∠BA'E=α，∠DAF=∠DA''F=β。∠BAD=140°，∠B=∠D=90°，则∠C=40°。在△CEF中，∠CEF=90°-α，∠CFE=90°-β，(90°-α)+(90°-β)+40°=180°，得α+β=40°。∠EAF=∠BAD-(α+β)=140°-40°=100°。
4. 如图所示,点E在等边三角形ABC的边BC上,BE= 8,射线CD⊥BC于点C,P是射线CD上一动点,F是线段AB上一动点,当EP+PF的值最小时,BF= 9,则AC的长为
13
。答案
13
解析
作点E关于CD的对称点E'，连接E'F交CD于P，此时EP+PF最小（两点之间线段最短）。
∵CD⊥BC，∴CE'=CE（对称性质），E'在BC延长线上。
设AC=BC=AB=x，BE=8，则CE=BC-BE=x-8，∴CE'=x-8，BE'=BC+CE'=x+(x-8)=2x-8。
∵F为E'到AB的垂足（此时E'F最小），在Rt△BE'F中，∠EBF=60°（等边三角形内角），cos60°=BF/BE'，即1/2=9/BE'，∴BE'=18。
∴2x-8=18，解得x=13。
∵CD⊥BC，∴CE'=CE（对称性质），E'在BC延长线上。
设AC=BC=AB=x，BE=8，则CE=BC-BE=x-8，∴CE'=x-8，BE'=BC+CE'=x+(x-8)=2x-8。
∵F为E'到AB的垂足（此时E'F最小），在Rt△BE'F中，∠EBF=60°（等边三角形内角），cos60°=BF/BE'，即1/2=9/BE'，∴BE'=18。
∴2x-8=18，解得x=13。
