登录
14. 计算：
(1)$(-6x^{2}y^{5})^{2}$；
(2)$[-3(x - y)^{3}]^{2}$；
(3)$(-2m)^{6}-(3m^{3})^{2}+(-2m^{2})^{3}$。
(1)$(-6x^{2}y^{5})^{2}$；
(2)$[-3(x - y)^{3}]^{2}$；
(3)$(-2m)^{6}-(3m^{3})^{2}+(-2m^{2})^{3}$。
答案
(1)
$(-6x^{2}y^{5})^{2}$
$ = (-6)^{2} × (x^{2})^{2} × (y^{5})^{2}$
$ = 36x^{4}y^{10}$
(2)
$[-3(x - y)^{3}]^{2}$
$ = (-3)^{2} × [(x - y)^{3}]^{2}$
$ = 9(x - y)^{6}$
(3)
$(-2m)^{6}-(3m^{3})^{2}+(-2m^{2})^{3}$
$ = (-2)^{6} × m^{6} - 3^{2} × (m^{3})^{2} + (-2)^{3} × (m^{2})^{3}$
$ = 64m^{6} - 9m^{6} - 8m^{6}$
$ = 47m^{6}$
$(-6x^{2}y^{5})^{2}$
$ = (-6)^{2} × (x^{2})^{2} × (y^{5})^{2}$
$ = 36x^{4}y^{10}$
(2)
$[-3(x - y)^{3}]^{2}$
$ = (-3)^{2} × [(x - y)^{3}]^{2}$
$ = 9(x - y)^{6}$
(3)
$(-2m)^{6}-(3m^{3})^{2}+(-2m^{2})^{3}$
$ = (-2)^{6} × m^{6} - 3^{2} × (m^{3})^{2} + (-2)^{3} × (m^{2})^{3}$
$ = 64m^{6} - 9m^{6} - 8m^{6}$
$ = 47m^{6}$
15. 计算：
(1)$(-1\frac{2}{5})^{6}×0.25^{4}×(\frac{5}{7})^{6}×(-4)^{4}$；
(2)$-8^{2024}×(-0.125)^{2024}+(\frac{2}{3})^{2023}×(\frac{3}{2})^{2023}$。
(1)$(-1\frac{2}{5})^{6}×0.25^{4}×(\frac{5}{7})^{6}×(-4)^{4}$；
(2)$-8^{2024}×(-0.125)^{2024}+(\frac{2}{3})^{2023}×(\frac{3}{2})^{2023}$。
答案
(1)原式$=(-\frac{7}{5})^{6}×(\frac{1}{4})^{4}×(\frac{5}{7})^{6}×(-4)^{4}$
$=[(-\frac{7}{5})^{6}×(\frac{5}{7})^{6}]×[(\frac{1}{4})^{4}×(-4)^{4}]$
$=[(-\frac{7}{5}×\frac{5}{7})^{6}]×[(\frac{1}{4}×(-4))^{4}]$
$=(-1)^{6}×(-1)^{4}$
$=1×1$
$=1$
(2)原式$=-[8^{2024}×(-0.125)^{2024}]+[(\frac{2}{3})^{2023}×(\frac{3}{2})^{2023}]$
$=-[8×(-0.125)]^{2024}+(\frac{2}{3}×\frac{3}{2})^{2023}$
$=-(-1)^{2024}+1^{2023}$
$=-1 + 1$
$=0$
$=[(-\frac{7}{5})^{6}×(\frac{5}{7})^{6}]×[(\frac{1}{4})^{4}×(-4)^{4}]$
$=[(-\frac{7}{5}×\frac{5}{7})^{6}]×[(\frac{1}{4}×(-4))^{4}]$
$=(-1)^{6}×(-1)^{4}$
$=1×1$
$=1$
(2)原式$=-[8^{2024}×(-0.125)^{2024}]+[(\frac{2}{3})^{2023}×(\frac{3}{2})^{2023}]$
$=-[8×(-0.125)]^{2024}+(\frac{2}{3}×\frac{3}{2})^{2023}$
$=-(-1)^{2024}+1^{2023}$
$=-1 + 1$
$=0$
16. 若$a^{2m + n}= 12$,$a^{m}= 2$,则$a^{n}$等于(
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$6$
B
)A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$6$
答案
B
解析
根据幂的运算性质，有 $a^{2m + n} = a^{2m} \cdot a^{n} = (a^m)^2 \cdot a^n$。
已知 $a^{2m + n} = 12$ 和 $a^m = 2$，代入得：
$(a^m)^2 \cdot a^n = 12$，
$2^2 \cdot a^n = 12$，
$4 \cdot a^n = 12$，
$a^n = 12 ÷ 4$，
$a^n = 3$。
已知 $a^{2m + n} = 12$ 和 $a^m = 2$，代入得：
$(a^m)^2 \cdot a^n = 12$，
$2^2 \cdot a^n = 12$，
$4 \cdot a^n = 12$，
$a^n = 12 ÷ 4$，
$a^n = 3$。
17. 已知$m = 8^{9}$,$n = 9^{8}$,则$72^{72}$可以表示为(
A.$m^{8}n^{9}$
B.$m^{8}n^{8}$
C.$m^{9}n^{9}$
D.$m^{9}n^{8}$
A
)A.$m^{8}n^{9}$
B.$m^{8}n^{8}$
C.$m^{9}n^{9}$
D.$m^{9}n^{8}$
答案
A
解析
需要将$72^{72}$用$m = 8^9$和$n = 9^8$表示。
首先，将$72$分解为$8 × 9$，所以：
$72^{72} = (8 × 9)^{72} = 8^{72} × 9^{72}$。
根据幂的乘方运算法则，将$8^{72}$和$9^{72}$分别用$m$和$n$表示。
$8^{72} = (8^9)^8 = m^8$，
$9^{72} = (9^8)^9 = n^9$。
所以：
$72^{72} = m^8 × n^9$。
对比选项，发现选项A与结果一致。
首先，将$72$分解为$8 × 9$，所以：
$72^{72} = (8 × 9)^{72} = 8^{72} × 9^{72}$。
根据幂的乘方运算法则，将$8^{72}$和$9^{72}$分别用$m$和$n$表示。
$8^{72} = (8^9)^8 = m^8$，
$9^{72} = (9^8)^9 = n^9$。
所以：
$72^{72} = m^8 × n^9$。
对比选项，发现选项A与结果一致。
18. (1)若$a + 3b - 2 = 0$,则$4^{a}\cdot64^{b}=$
(2)已知$3x + 4y - 6 = 0$,则$8^{x}\cdot16^{y}=$
16
；(2)已知$3x + 4y - 6 = 0$,则$8^{x}\cdot16^{y}=$
64
。答案
(1) 16
(2) 64
(2) 64
解析
(1) 已知 $a + 3b - 2 = 0$，则 $a + 3b = 2$。
将 $4^{a} \cdot 64^{b}$ 转化为以 4 为底的幂：
$4^{a} \cdot (4^3)^{b} = 4^{a} \cdot 4^{3b} = 4^{a + 3b}$。
代入 $a + 3b = 2$，得 $4^2 = 16$。
(2) 已知 $3x + 4y - 6 = 0$，则 $3x + 4y = 6$。
将 $8^{x} \cdot 16^{y}$ 转化为以 2 为底的幂：
$(2^3)^{x} \cdot (2^4)^{y} = 2^{3x} \cdot 2^{4y} = 2^{3x + 4y}$。
代入 $3x + 4y = 6$，得 $2^6 = 64$。
将 $4^{a} \cdot 64^{b}$ 转化为以 4 为底的幂：
$4^{a} \cdot (4^3)^{b} = 4^{a} \cdot 4^{3b} = 4^{a + 3b}$。
代入 $a + 3b = 2$，得 $4^2 = 16$。
(2) 已知 $3x + 4y - 6 = 0$，则 $3x + 4y = 6$。
将 $8^{x} \cdot 16^{y}$ 转化为以 2 为底的幂：
$(2^3)^{x} \cdot (2^4)^{y} = 2^{3x} \cdot 2^{4y} = 2^{3x + 4y}$。
代入 $3x + 4y = 6$，得 $2^6 = 64$。
19. 已知$n$是正整数,且$x^{n}= 2$,则$(3x^{3n})^{2}+(-2x^{2n})^{3}$的值是
64
。答案
64
解析
$(3x^{3n})^{2}+(-2x^{2n})^{3}$
$=9x^{6n}-8x^{6n}$
$=9(x^{n})^{6}-8(x^{n})^{6}$
$\because x^{n}=2$
$\therefore$原式$=9×2^{6}-8×2^{6}$
$=9×64 - 8×64$
$=576 - 512$
$=64$
$=9x^{6n}-8x^{6n}$
$=9(x^{n})^{6}-8(x^{n})^{6}$
$\because x^{n}=2$
$\therefore$原式$=9×2^{6}-8×2^{6}$
$=9×64 - 8×64$
$=576 - 512$
$=64$
20. 若$a^{m}= a^{n}$($a\gt0且a\neq1$,$m$,$n$是正整数),则$m = n$。
利用上面的结论解决下面两个问题：
(1)若$2×8^{x}×16^{x}= 2^{22}$,求$x$的值；
(2)若$(27^{x})^{2}= 3^{12}$,求$x$的值。
利用上面的结论解决下面两个问题：
(1)若$2×8^{x}×16^{x}= 2^{22}$,求$x$的值；
(2)若$(27^{x})^{2}= 3^{12}$,求$x$的值。
答案
(1)
已知$2×8^{x}×16^{x}=2^{22}$，
因为$8 = 2^{3}$，$16 = 2^{4}$，所以$8^{x}=(2^{3})^{x}=2^{3x}$，$16^{x}=(2^{4})^{x}=2^{4x}$。
则$2×8^{x}×16^{x}=2×2^{3x}×2^{4x}=2^{1 + 3x+4x}=2^{1 + 7x}$。
所以$2^{1 + 7x}=2^{22}$，根据$a^{m}=a^{n}$（$a\gt0$且$a\neq1$，$m$，$n$是正整数），则$m = n$，可得$1+7x = 22$，
$7x=21$，解得$x = 3$。
(2)
因为$27 = 3^{3}$，所以$27^{x}=(3^{3})^{x}=3^{3x}$，则$(27^{x})^{2}=(3^{3x})^{2}=3^{6x}$。
已知$(27^{x})^{2}=3^{12}$，即$3^{6x}=3^{12}$，
根据$a^{m}=a^{n}$（$a\gt0$且$a\neq1$，$m$，$n$是正整数），则$m = n$，可得$6x = 12$，
解得$x = 2$。
综上，(1)中$x$的值为$3$；(2)中$x$的值为$2$。
已知$2×8^{x}×16^{x}=2^{22}$，
因为$8 = 2^{3}$，$16 = 2^{4}$，所以$8^{x}=(2^{3})^{x}=2^{3x}$，$16^{x}=(2^{4})^{x}=2^{4x}$。
则$2×8^{x}×16^{x}=2×2^{3x}×2^{4x}=2^{1 + 3x+4x}=2^{1 + 7x}$。
所以$2^{1 + 7x}=2^{22}$，根据$a^{m}=a^{n}$（$a\gt0$且$a\neq1$，$m$，$n$是正整数），则$m = n$，可得$1+7x = 22$，
$7x=21$，解得$x = 3$。
(2)
因为$27 = 3^{3}$，所以$27^{x}=(3^{3})^{x}=3^{3x}$，则$(27^{x})^{2}=(3^{3x})^{2}=3^{6x}$。
已知$(27^{x})^{2}=3^{12}$，即$3^{6x}=3^{12}$，
根据$a^{m}=a^{n}$（$a\gt0$且$a\neq1$，$m$，$n$是正整数），则$m = n$，可得$6x = 12$，
解得$x = 2$。
综上，(1)中$x$的值为$3$；(2)中$x$的值为$2$。
21. 已知$a = 5$,$b = -\frac{1}{5}$,$n$为自然数,你能求出$a^{2n + 2}\cdot b^{2n}\cdot b^{4}$的值吗？
答案
$\frac{1}{25}$
解析
解：原式$=a^{2n+2} \cdot b^{2n} \cdot b^{4}$
$=a^{2n+2} \cdot b^{2n+4}$
$=a^{2n+2} \cdot b^{2n+2} \cdot b^{2}$
$=(ab)^{2n+2} \cdot b^{2}$
因为$a=5$，$b=-\frac{1}{5}$，所以$ab=5 × (-\frac{1}{5})=-1$。
则$(ab)^{2n+2}=(-1)^{2n+2}=1$（$2n+2$为偶数）。
$b^{2}=(-\frac{1}{5})^{2}=\frac{1}{25}$。
所以原式$=1 × \frac{1}{25}=\frac{1}{25}$。
$=a^{2n+2} \cdot b^{2n+4}$
$=a^{2n+2} \cdot b^{2n+2} \cdot b^{2}$
$=(ab)^{2n+2} \cdot b^{2}$
因为$a=5$，$b=-\frac{1}{5}$，所以$ab=5 × (-\frac{1}{5})=-1$。
则$(ab)^{2n+2}=(-1)^{2n+2}=1$（$2n+2$为偶数）。
$b^{2}=(-\frac{1}{5})^{2}=\frac{1}{25}$。
所以原式$=1 × \frac{1}{25}=\frac{1}{25}$。
22. 已知关于$x$,$y的方程组\begin{cases}x - y = 2a + 1\\2x + 3y = 9a - 8\end{cases} $,其中$a$是实数。若$2^{3x}= 3$,$2^{5y}= 24$,求$(4a + 9)^{2025}$的值。
答案
首先，根据题目给出的条件有：
$2^{3x} = 3$，
$2^{5y} = 24$，
对两个等式进行除法运算，得到：
$\frac{2^{3x}}{2^{5y}} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$，
根据幂的乘方与积的乘方运算法则，上式可化简为：
$2^{3x - 5y} = 2^{-3}$，
由于底数相同，可以得到指数也必须相同，即：
$3x - 5y = -3\quad(1)$
接下来，解原方程组：
$\begin{cases}x - y = 2a + 1 \quad (2) \\2x + 3y = 9a - 8 \quad (3)\end{cases}$
将方程(2)乘以3，然后与方程(3)相加，得到：
$3(x - y) + (2x + 3y) = 3(2a + 1) + (9a - 8)$
$3x - 3y + 2x + 3y = 6a + 3 + 9a - 8$
$5x = 15a - 5$
$x = 3a - 1\quad(4)$
将$x = 3a - 1$代入方程(2)，得到：
$3a - 1 - y = 2a + 1$
$y = a - 2\quad(5)$
将$x = 3a - 1$和$y = a - 2$代入(1)式，得到：
$3(3a - 1) - 5(a - 2) = -3$
$9a - 3 - 5a + 10 = -3$
$4a + 7 = -3$
$4a = -10$
$a = -2.5\quad(或a=-\frac{5}{2})$
最后，代入求$(4a + 9)^{2025}$的值：
$4a + 9 = 4 × (-2.5) + 9 = -10 + 9 = -1$
$(-1)^{2025} = -1$
故答案为$-1$。
$2^{3x} = 3$，
$2^{5y} = 24$，
对两个等式进行除法运算，得到：
$\frac{2^{3x}}{2^{5y}} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$，
根据幂的乘方与积的乘方运算法则，上式可化简为：
$2^{3x - 5y} = 2^{-3}$，
由于底数相同，可以得到指数也必须相同，即：
$3x - 5y = -3\quad(1)$
接下来，解原方程组：
$\begin{cases}x - y = 2a + 1 \quad (2) \\2x + 3y = 9a - 8 \quad (3)\end{cases}$
将方程(2)乘以3，然后与方程(3)相加，得到：
$3(x - y) + (2x + 3y) = 3(2a + 1) + (9a - 8)$
$3x - 3y + 2x + 3y = 6a + 3 + 9a - 8$
$5x = 15a - 5$
$x = 3a - 1\quad(4)$
将$x = 3a - 1$代入方程(2)，得到：
$3a - 1 - y = 2a + 1$
$y = a - 2\quad(5)$
将$x = 3a - 1$和$y = a - 2$代入(1)式，得到：
$3(3a - 1) - 5(a - 2) = -3$
$9a - 3 - 5a + 10 = -3$
$4a + 7 = -3$
$4a = -10$
$a = -2.5\quad(或a=-\frac{5}{2})$
最后，代入求$(4a + 9)^{2025}$的值：
$4a + 9 = 4 × (-2.5) + 9 = -10 + 9 = -1$
$(-1)^{2025} = -1$
故答案为$-1$。
