4. 下列各组多项式中,没有公因式的是()
A.$ax - bx和by - ay$
B.$3 - 9y和6y^{2} - 2y$
C.$x^{2} + y^{2}和x + y$
D.$a - b和a^{2} - ab$

C

A. 对于 $ax - bx$ 和 $by - ay$：
$ax - bx$ 可以提取公因式 $x$ 得到 $x(a - b)$；
$by - ay$ 可以提取公因式 $-y$ 得到 $-y(a - b)$；
所以，这两项有公因式 $a - b$，故A选项错误；
B. 对于 $3 - 9y$ 和 $6y^{2} - 2y$：
$3 - 9y$ 可以提取公因式 $3$ 得到 $3(1 - 3y)$；
$6y^{2} - 2y$ 可以提取公因式 $2y$ 得到 $2y(3y - 1)$；
公因式是 $3y-1$ 的变形 $1-3y$（提取负号后），所以这两项有公因式，故B选项错误；
C. 对于 $x^{2} + y^{2}$ 和 $x + y$：
$x^{2} + y^{2}$ 不能进一步分解；
$x + y$ 也不能进一步分解或与 $x^{2} + y^{2}$ 产生公因式；
所以，这两项没有公因式，故C选项正确；
D. 对于 $a - b$ 和 $a^{2} - ab$：
$a^{2} - ab$ 可以提取公因式 $a$ 得到 $a(a - b)$；
所以，这两项有公因式 $a - b$，故D选项错误；

5. (2025·绵阳)分解因式：$ab^{2} - a^{2} = $。

$a(b^{2}-a)$

原式$ab^{2}-a^{2}$中，每一项都含有公因式a，根据提取公因式的方法，将公因式a提出后可得：$ab^{2}-a^{2}=a(b^{2}-a)（$这里也可以写成a(b + a)(b - a)（错误写法（未按课本规范），应按照未完全分解到最简（若要求）但本题按提公因式法到$a(b^{2}-a)（$若题目只要求提公因式） ，严格来说本题按提公因式法，把公因式a提出即可）。若从完全正确分解角度，$b^{2}-a^{2}$还可继续用平方差公式分解，但本题是提公因式法，所以到把公因式a提出这一步。即$ab^{2}-a^{2}=a(b^{2}-a)（$若只进行提公因式操作）。若按照完全正确分解思路（虽本题是提公因式法但为完整呈现），$ab^{2}-a^{2}=a(b + a)(b - a)（$此步超出单纯提公因式，不过从最终结果完整性）。按本题提公因式法要求，答案为$a(b^{2}-a)。$

1. 下列式子由左边到右边的变形中,属于因式分解的是()
A.$x^{2} - 3 = (x + 3)(x - 3)$
B.$m(m - x) = m^{2} - mx$
C.$x^{2} + 2x + 1 = (x + 1)^{2}$
D.$x^{2} - y^{2} + 1 = (x + y)(x - y) + 1$

C

因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式。
选项A：$x^{2}-3$因式分解应为$(x+\sqrt{3})(x - \sqrt{3})$，而不是$(x + 3)(x - 3)$，所以A选项错误。
选项B：$m(m - x)=m^{2}-mx$是从左边到右边的整式乘法，不是因式分解，所以B选项错误。
选项C：$x^{2}+2x + 1=(x + 1)^{2}$，是把多项式$x^{2}+2x + 1$化为了$(x + 1)$与$(x + 1)$这两个整式的积的形式，属于因式分解，所以C选项正确。
选项D：$(x + y)(x - y)+1$并不是把多项式化为几个整式的积的形式，所以D选项错误。

2. 下列从左到右的变形属于因式分解的是()
A.$a^{2} - a = a(a - 1)$
B.$a(a - b) = a^{2} - ab$
C.$(a + 3)(a - 3) = a^{2} - 9$
D.$a^{2} - 2a + 1 = a(a - 2) + 1$

A

因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式。
选项A，$a^{2}-a=a(a - 1)$，将多项式$a^{2}-a$化成了$a$与$(a - 1)$的乘积形式，属于因式分解。
选项B，$a(a - b)=a^{2}-ab$，是从整式的积到多项式的变形，不属于因式分解。
选项C，$(a + 3)(a - 3)=a^{2}-9$，同样是从整式的积到多项式的变形，不属于因式分解。
选项D，$a^{2}-2a + 1=a(a - 2)+1$，结果不是整式积的形式，不属于因式分解。

3. 多项式$9a^{2} - 18x^{3}$各项的公因式是()
A.$9x$
B.$9$
C.$3$
D.$3a$

B

多项式$9a^{2}-18x^{3}$中，系数$9$和$18$的最大公约数是$9$，两项没有相同字母，所以公因式是$9$。

4. 下列各组的两项没有公因式的是()
A.$am和an$
B.$32x和5y$
C.$3bx和2xy$
D.$3a和6bc$

B

A. $am$ 和 $an$ 的公因式为 $a$；
B. $32x$ 和 $5y$ 中，32 和 5 互质，且 $x$ 和 $y$ 无公共字母，故无公因式；
C. $3bx$ 和 $2xy$ 的公因式为 $x$；
D. $3a$ 和 $6bc$ 的公因式为 3；
因此，没有公因式的是 B 组。

5. 把多项式$12ab + 3ab^{3}$分解因式,应提的公因式是()
A.$12ab$
B.$4ab$
C.$3ab$
D.$3ab^{3}$

C

多项式$12ab + 3ab^{3}$中，$12ab$和$3ab^{3}$的系数12和3的最大公约数是3，相同字母$a$的最低次幂是$a^1$，相同字母$b$的最低次幂是$b^1$，所以公因式是$3ab$。

6. 分解因式：$x^{2} - x = $()
A.$x(x - 1)$
B.$(x + 1)(x - 1)$
C.$2x$
D.$x(x + 1)$

A

观察多项式$x^2 - x$，各项都含有公因式$x$，提取公因式$x$可得$x(x - 1)$。

7. 将下列多项式进行因式分解：
(1)$3x^{2} + x = $；
(2)$-mn + m^{2} = $；
(3)$4mn - 2m = $；
(4)$x^{2} + 3x = $；
(5)$4y - y^{2} = $；
(6)$a^{3} - 4a^{2} + 2a = $；
(7)$2a^{2} - 6ab - 2a = $；
(8)$a^{2} - ab + 3a = $。

(1) $x(3x + 1)$
(2) $m(m - n)$
(3) $2m(2n - 1)$
(4) $x(x + 3)$
(5) $y(4 - y)$
(6) $a(a^{2} - 4a + 2)$
(7) $2a(a - 3b - 1)$
(8) $a(a - b + 3)$

(1) 对于 $3x^{2} + x$，观察发现两项都含有 $x$，因此可以提取公因式 $x$，得到：
$3x^{2} + x = x(3x + 1)$
(2) 对于 $-mn + m^{2}$，观察发现两项都含有 $m$，因此可以提取公因式 $m$，得到：
$-mn + m^{2} = m(-n + m) = m(m - n)$
(3) 对于 $4mn - 2m$，观察发现两项都含有 $2m$，因此可以提取公因式 $2m$，得到：
$4mn - 2m = 2m(2n - 1)$
(4) 对于 $x^{2} + 3x$，观察发现两项都含有 $x$，因此可以提取公因式 $x$，得到：
$x^{2} + 3x = x(x + 3)$
(5) 对于 $4y - y^{2}$，观察发现两项都含有 $y$，因此可以提取公因式 $y$，得到：
$4y - y^{2} = y(4 - y)$
(6) 对于 $a^{3} - 4a^{2} + 2a$，观察发现三项都含有 $a$，因此可以提取公因式 $a$，得到：
$a^{3} - 4a^{2} + 2a = a(a^{2} - 4a + 2)$
(7) 对于 $2a^{2} - 6ab - 2a$，观察发现三项都含有 $2a$，因此可以提取公因式 $2a$，得到：
$2a^{2} - 6ab - 2a = 2a(a - 3b - 1)$
(8) 对于 $a^{2} - ab + 3a$，观察发现三项都含有 $a$，因此可以提取公因式 $a$，得到：
$a^{2} - ab + 3a = a(a - b + 3)$

8. 计算$(-2)^{2024} + (-2)^{2025}$所得结果是()
A.$2^{2024}$
B.$-2^{4049}$
C.$-2^{2025}$
D.$-2^{2024}$

D

原式$(-2)^{2024}+(-2)^{2025}=(-2)^{2024}+(-2)^{2024}×(-2)=(-2)^{2024}×(1 - 2)=2^{2024}×(-1)=-2^{2024}$

9. 若$x^{2} + ax = x(x + 4)$,则$a$的值为()
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$8$

C

将等式右边展开，$x(x + 4) = x \cdot x + x \cdot 4 = x^{2} + 4x$。
原等式变为$x^{2} + ax = x^{2} + 4x$，对比两边同类项系数，得$a = 4$。

10. 分解因式：
(1)$(x + 1)(x + 2) - 2$；
(2)$(3x - 2)^{2} - x - 4$。

(1)
首先展开$(x + 1)(x + 2)$得$x^2 + 3x + 2$，
原式$=x^2 + 3x + 2 - 2$
$=x^2 + 3x$
提取公因式$x$得：
原式$=x(x + 3)$
(2)
首先展开$(3x - 2)^{2}$得$9x^2 - 12x + 4$，
原式$=9x^2 - 12x + 4 - x - 4$
$=9x^2 - 13x$
提取公因式$x$得：
原式$=x(9x - 13)$

11. 已知$a + b = 2$,$ab = -3$,求代数式$2a^{3}b + 2ab^{3}$的值。

答题卡：
由已知条件，$a + b = 2$，$ab = -3$。
首先，对代数式$2a^{3}b + 2ab^{3}$进行因式分解，提取公因式$2ab$，得到：
$2a^{3}b + 2ab^{3} = 2ab(a^{2} + b^{2})$，
接下来，利用完全平方公式，将$a^{2} + b^{2}$表示为$(a + b)^{2} - 2ab$，代入已知的$a + b$和$ab$的值，得到：
$a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab = 2^{2} - 2 × ( - 3) = 4 + 6 = 10$，
最后，将$a^{2} + b^{2}$的值代入到$2ab(a^{2} + b^{2})$中，得到：
$2a^{3}b + 2ab^{3} = 2ab(a^{2} + b^{2}) = 2 × ( - 3) × 10 = - 60$。
故答案为：$-60$。