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1. 同底数幂的除法法则
(1) 同底数幂相除,底数
(2) 公式：$a^{m} ÷ a^{n} = $
2. $0$次幂
任何
(1) 同底数幂相除,底数
不变
,指数相减
。(2) 公式：$a^{m} ÷ a^{n} = $
$a^{m - n}$
($a \neq 0$,$m$,$n$都是正整数,并且$m ＞ n$)。2. $0$次幂
任何
非零
的数的$0$次幂都等于1
,即$a^{0} = $1
($a \neq 0$)。答案
1.(1)不变，相减；(2)$a^{m - n}$；
2.非零，1，1；
2.非零，1，1；
解析
1. (1) 根据同底数幂的除法法则，当同底数幂相除时，底数保持不变，指数进行相减运算。
(2) 公式为：$a^{m} ÷ a^{n} = a^{m-n}$，其中 $a \neq 0$，$m$ 和 $n$ 都是正整数，并且 $m ＞ n$。
2. 对于0次幂，任何非零数的0次幂都等于1，即 $a^{0} = 1$（$a \neq 0$）。
(2) 公式为：$a^{m} ÷ a^{n} = a^{m-n}$，其中 $a \neq 0$，$m$ 和 $n$ 都是正整数，并且 $m ＞ n$。
2. 对于0次幂，任何非零数的0次幂都等于1，即 $a^{0} = 1$（$a \neq 0$）。
【例1】 计算$(-a^{2})^{3} ÷ a^{4}$的结果是 (
A. $-a^{2}$ B. $a^{2}$ C. $-a^{3}$ D. $a^{3}$
同底数幂的除法法则解读
(1) 法则的条件：同底数幂相除。结论：底数不变,指数相减。
(2) 底数$a不能为0$,若$a$为零,则除数为零,除法无意义。
(3) 底数可以是单项式,也可以是多项式。
(4) 此法则也适用于三个或三个以上的同底数幂相除,即$a^{m} ÷ a^{n} ÷ a^{p} = a^{m - n - p}$($a \neq 0$,$m$,$n$,$p$都是正整数,并且$m ＞ n + p$)。
A
)A. $-a^{2}$ B. $a^{2}$ C. $-a^{3}$ D. $a^{3}$
同底数幂的除法法则解读
(1) 法则的条件：同底数幂相除。结论：底数不变,指数相减。
(2) 底数$a不能为0$,若$a$为零,则除数为零,除法无意义。
(3) 底数可以是单项式,也可以是多项式。
(4) 此法则也适用于三个或三个以上的同底数幂相除,即$a^{m} ÷ a^{n} ÷ a^{p} = a^{m - n - p}$($a \neq 0$,$m$,$n$,$p$都是正整数,并且$m ＞ n + p$)。
答案
A
解析
首先计算$(-a^{2})^{3}$：
$(-a^{2})^{3} = (-1)^{3} × (a^{2})^{3} = -1 × a^{6} = -a^{6}$，
接着，将$-a^{6}$除以$a^{4}$：
$-a^{6} ÷ a^{4} = -a^{6-4} = -a^{2}$。
$(-a^{2})^{3} = (-1)^{3} × (a^{2})^{3} = -1 × a^{6} = -a^{6}$，
接着，将$-a^{6}$除以$a^{4}$：
$-a^{6} ÷ a^{4} = -a^{6-4} = -a^{2}$。
1. $(-a^{6}) ÷ (-a)^{2}$的运算结果是 (
A.$a^{4}$
B.$-a^{4}$
C.$a^{3}$
D.$-a^{3}$
B
)A.$a^{4}$
B.$-a^{4}$
C.$a^{3}$
D.$-a^{3}$
答案
B
解析
首先计算$(-a)^{2}$，由于指数为2，结果为$a^{2}$。
原式变为$(-a^{6}) ÷ a^{2}$。
根据同底数幂的除法法则，$a^{m} ÷ a^{n} = a^{m-n}$，这里$m=6$，$n=2$，所以$a^{6} ÷ a^{2} = a^{4}$。
再考虑符号，$-a^{6} ÷ a^{2} = -a^{4-0（或理解为负号保留）} = -a^{4}$（实际为$- (a^{6} ÷ a^{2}) = -a^{4}$）。
2. 若$m$,$n满足2m - n - 2 = 0$,则$9^{m} ÷ 3^{n} = $
9
。答案
9
解析
由$2m - n - 2 = 0$，可得$2m - n = 2$。
根据同底数幂的除法法则，将$9^m$转化为以$3$为底数的形式，即$9^m=(3^2)^m = 3^{2m}$。
则$9^m÷3^n = 3^{2m}÷3^n$，再根据同底数幂除法法则$a^m÷ a^n=a^{m - n}$（$a\neq0$，$m$、$n$为整数），可得$3^{2m}÷3^n = 3^{2m - n}$。
把$2m - n = 2$代入$3^{2m - n}$，得到$3^2 = 9$。
根据同底数幂的除法法则，将$9^m$转化为以$3$为底数的形式，即$9^m=(3^2)^m = 3^{2m}$。
则$9^m÷3^n = 3^{2m}÷3^n$，再根据同底数幂除法法则$a^m÷ a^n=a^{m - n}$（$a\neq0$，$m$、$n$为整数），可得$3^{2m}÷3^n = 3^{2m - n}$。
把$2m - n = 2$代入$3^{2m - n}$，得到$3^2 = 9$。
3. 计算：
(1) $-m^{9} ÷ m^{3}$；
(2) $(-a)^{6} ÷ (a^{2})^{3}$；
(3) $(-8)^{6} ÷ (-8)^{5}$；
(4) $6^{2m + 3} ÷ 6^{m}$。
(1) $-m^{9} ÷ m^{3}$；
(2) $(-a)^{6} ÷ (a^{2})^{3}$；
(3) $(-8)^{6} ÷ (-8)^{5}$；
(4) $6^{2m + 3} ÷ 6^{m}$。
答案
(1) $-m^{9} ÷ m^{3} = -m^{9 - 3} = -m^{6}$
(2) $(-a)^{6} ÷ (a^{2})^{3} = a^{6} ÷ a^{6} = a^{6 - 6} = a^{0} = 1$
(3) $(-8)^{6} ÷ (-8)^{5} = (-8)^{6 - 5} = (-8)^{1} = -8$
(4) $6^{2m + 3} ÷ 6^{m} = 6^{(2m + 3) - m} = 6^{m + 3}$
(2) $(-a)^{6} ÷ (a^{2})^{3} = a^{6} ÷ a^{6} = a^{6 - 6} = a^{0} = 1$
(3) $(-8)^{6} ÷ (-8)^{5} = (-8)^{6 - 5} = (-8)^{1} = -8$
(4) $6^{2m + 3} ÷ 6^{m} = 6^{(2m + 3) - m} = 6^{m + 3}$
【例2】 (2024·成都)已知$2^{x} = 3$,$4^{y} = 5$,则$2^{x - 2y}$的值为
$\frac{3}{5}$（或 填$0.6$）
。答案
$\frac{3}{5}$（或 填$0.6$）
解析
已知$2^x = 3$，$4^y = 5$。
首先，将$4^y$转化为以$2$为底数的形式，
即$4^y = (2^2)^y = 2^{2y} = 5$。
接下来，要求$2^{x - 2y}$，
根据同底数幂的除法法则，有：
$2^{x - 2y} = \frac{2^x}{2^{2y}}$
将已知的$2^x = 3$和$2^{2y} = 5$代入上式，得：
$2^{x - 2y} = \frac{3}{5}$
首先，将$4^y$转化为以$2$为底数的形式，
即$4^y = (2^2)^y = 2^{2y} = 5$。
接下来，要求$2^{x - 2y}$，
根据同底数幂的除法法则，有：
$2^{x - 2y} = \frac{2^x}{2^{2y}}$
将已知的$2^x = 3$和$2^{2y} = 5$代入上式，得：
$2^{x - 2y} = \frac{3}{5}$
4. (2025·南充)若$3^{x} = 2$,$9^{y} = 7$,则$3^{2y - x}$的值为 (
A.$\frac{4}{7}$
B.$\frac{49}{2}$
C.$\frac{2}{7}$
D.$\frac{7}{2}$
D
)A.$\frac{4}{7}$
B.$\frac{49}{2}$
C.$\frac{2}{7}$
D.$\frac{7}{2}$
答案
D
解析
因为$9^{y}=(3^{2})^{y}=3^{2y}=7$，$3^{x}=2$，所以$3^{2y - x}=3^{2y}÷3^{x}=7÷2=\frac{7}{2}$
5. (2024·武汉)若$a^{m} = 4$,$a^{n} = 16$,则$a^{m - 2n}$的值为
$\frac{1}{64}$
。答案
$\frac{1}{64}$（或填$ \frac{1}{64}$对应形式，若以分数形式呈现答案则按此）
解析
根据同底数幂的除法法则，有$a^{m - 2n} = a^{m} ÷ (a^{n})^{2}$。
已知$a^{m} = 4$，$a^{n} = 16$，将其代入上式，先计算$(a^{n})^{2}$的值：
$(a^{n})^{2}=16^{2} = 256$。
再计算$a^{m - 2n}$的值：
$a^{m - 2n}=a^{m}÷(a^{n})^{2}=4÷256=\frac{4}{256}=\frac{1}{64}$。
已知$a^{m} = 4$，$a^{n} = 16$，将其代入上式，先计算$(a^{n})^{2}$的值：
$(a^{n})^{2}=16^{2} = 256$。
再计算$a^{m - 2n}$的值：
$a^{m - 2n}=a^{m}÷(a^{n})^{2}=4÷256=\frac{4}{256}=\frac{1}{64}$。
【例3】 计算$(-3)^{0} - 2$的结果是 (
A. $0$ B. $-1$ C. $1$ D. $-5$
$0$指数幂的注意事项
(1) 若$0$指数幂的底数是实数($0$除外),则直接将$0指数幂化为1$；
(2) 若$0$指数幂的底数是未知数,则未知数不能取$0$。
B
)A. $0$ B. $-1$ C. $1$ D. $-5$
$0$指数幂的注意事项
(1) 若$0$指数幂的底数是实数($0$除外),则直接将$0指数幂化为1$；
(2) 若$0$指数幂的底数是未知数,则未知数不能取$0$。
答案
B
解析
根据0指数幂的注意事项(1)，任何非0实数的0次幂都等于1，所以$(-3)^0 = 1$。则$(-3)^0 - 2 = 1 - 2 = -1$。
