1. 计算：
(1)$(\frac{x^3}{-y^2})^4 = $；
(2)$(\frac{a^2b}{-c^3})^3 = $.

(1)$\frac{x^{12}}{y^{8}}$
(2)$-\frac{a^6b^3}{c^9}$

(1) 根据分式的乘方运算法则，分别对分子和分母进行乘方运算：$(\frac{x^3}{-y^2})^4=\frac{(x^3)^4}{(-y^2)^4}$。
根据幂的乘方法则$(a^m)^n = a^{mn}$，可得$(x^3)^4 = x^{3×4}=x^{12}$，$(-y^2)^4=(-1)^4×(y^2)^4 = y^8$。
所以$(\frac{x^3}{-y^2})^4=\frac{x^{12}}{y^{8}}$。
(2)同样根据分式的乘方运算法则，$(\frac{a^2b}{-c^3})^3=\frac{(a^2b)^3}{(-c^3)^3}$。
根据积的乘方法则$(ab)^n = a^nb^n$，可得$(a^2b)^3=(a^2)^3× b^3 = a^6b^3$，$(-c^3)^3=(-1)^3×(c^3)^3=-c^9$。
所以$(\frac{a^2b}{-c^3})^3=-\frac{a^6b^3}{c^9}$。

2. 计算：$8x^2y^3·(-\frac{3x}{4y^3})÷(-\frac{x^2y}{2}) = $.

$\frac{12x}{y}$

$8x^2y^3·(-\frac{3x}{4y^3})÷(-\frac{x^2y}{2})$
$=8x^2y^3·(-\frac{3x}{4y^3})·(-\frac{2}{x^2y})$
$=8×(-\frac{3}{4})×(-\frac{2})·x^2·x·\frac{1}{x^2}·y^3·\frac{1}{y^3}·\frac{1}{y}$
$=12·x·\frac{1}{y}$
$=\frac{12x}{y}$

3. (1) 计算：$\frac{1}{m^2 - 2m + 1}÷\frac{1 + m}{1 - m}·(m^2 - 1) = $；
(2) 若$(\frac{a^2}{b})^2÷(\frac{a}{b^2})^2 = 3$,则$a^4b^4 = $.

(1)-1；(2)9

(1)原式=$\frac{1}{(m-1)^2}÷\frac{m+1}{1-m}·(m+1)(m-1)$
=$\frac{1}{(m-1)^2}·\frac{-(m-1)}{m+1}·(m+1)(m-1)$
=$\frac{1·[-(m-1)]·(m+1)(m-1)}{(m-1)^2·(m+1)}$
=$-1$
(2)$(\frac{a^2}{b})^2÷(\frac{a}{b^2})^2=\frac{a^4}{b^2}÷\frac{a^2}{b^4}=\frac{a^4}{b^2}·\frac{b^4}{a^2}=a^2b^2=3$，则$a^4b^4=(a^2b^2)^2=3^2=9$

4. 计算$4m^2÷(\frac{2m}{n})^2$的结果为()
A.$\frac{16m^4}{n^2}$
B.$2n^2$
C.$n^2$
D.$-n^2$

C

$4m^2÷(\frac{2m}{n})^2 = 4m^2÷\frac{4m^2}{n^2} = 4m^2×\frac{n^2}{4m^2} = n^2$

5. 下列计算,正确的是()

A.$(\frac{x}{3y})^2 = \frac{x^2}{6y^2}$
B.$(\frac{-2x}{y})^3 = \frac{2x^3}{y^3}$
C.$(-\frac{x}{3y})^3 = -\frac{x^3}{27y}$
D.$(\frac{b}{a})^2÷(\frac{a}{b})^2 = \frac{b^4}{a^4}$

D

A. 对于选项A，计算$(\frac{x}{3y})^2$，根据分式乘方的规则，有：
$(\frac{x}{3y})^2 = \frac{x^2}{(3y)^2} = \frac{x^2}{9y^2}$，
与选项A给出的$\frac{x^2}{6y^2}$不符，故A错误。
B. 对于选项B，计算$(\frac{-2x}{y})^3$，根据分式乘方的规则，有：
$(\frac{-2x}{y})^3 = \frac{(-2x)^3}{y^3} = -\frac{8x^3}{y^3}$，
与选项B给出的$\frac{2x^3}{y^3}$不符，故B错误。
C. 对于选项C，计算$(-\frac{x}{3y})^3$，根据分式乘方的规则，有：
$(-\frac{x}{3y})^3 = -\frac{x^3}{27y^3}$，
与选项C给出的$-\frac{x^3}{27y}$不符，故C错误。
D. 对于选项D，计算$(\frac{b}{a})^2÷(\frac{a}{b})^2$，根据分式的乘除规则，有：
$(\frac{b}{a})^2÷(\frac{a}{b})^2 = \frac{b^2}{a^2} × \frac{b^2}{a^2} = \frac{b^4}{a^4}$，
与选项D给出的$\frac{b^4}{a^4}$相符，故D正确。

6. 计算①$\frac{a}{y}·\frac{x}{b}$,②$(\frac{n}{m})^2·(\frac{2m}{n})^2$,③$\frac{4}{x}÷\frac{8}{x}$,④$\frac{a}{b^2}÷\frac{3a^2}{b^2}$四个算式,其结果是分式的有()
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

B

①$\frac{a}{y} \cdot \frac{x}{b} = \frac{a \cdot x}{y \cdot b} = \frac{ax}{by}$（结果为分式）；
②$\left( \frac{n}{m} \right)^2 \cdot \left( \frac{2m}{n} \right)^2 = \frac{n^2}{m^2} \cdot \frac{4m^2}{n^2} = \frac{4n^2 m^2}{m^2 n^2} = 4$（结果为整式）；
③$\frac{4}{x} ÷ \frac{8}{x} = \frac{4}{x} \cdot \frac{x}{8} = \frac{4x}{8x} = \frac{1}{2}$（结果为整式）；
④$\frac{a}{b^2} ÷ \frac{3a^2}{b^2} = \frac{a}{b^2} \cdot \frac{b^2}{3a^2} = \frac{ab^2}{3a^2 b^2} = \frac{1}{3a}$（结果为分式）；
结果为分式的有①和④，共2个。

7. 化简$(\frac{a - b}{a})^4·(\frac{a}{b - a})^5$的结果是()
A.$-1$
B.$\frac{a}{a - b}$
C.$\frac{1}{a}$
D.$\frac{a}{b - a}$

D

$(\frac{a - b}{a})^4·(\frac{a}{b - a})^5$
$=\frac{(a - b)^4}{a^4}·\frac{a^5}{(b - a)^5}$
$=\frac{(a - b)^4}{a^4}·\frac{a^5}{-(a - b)^5}$
$=\frac{(a - b)^4·a^5}{a^4·[-(a - b)^5]}$
$=\frac{a}{-(a - b)}$
$=\frac{a}{b - a}$

8. 先化简,再求值：$(\frac{2ab^2}{a + b})^3÷(\frac{ab^3}{a^2 - b^2})^2·[\frac{1}{2(a - b)}]^2$,其中$a = -\frac{1}{2}$,$b = \frac{2}{3}$.

$-6$

化简过程：
$\begin{aligned}&(\frac{2ab^2}{a + b})^3÷(\frac{ab^3}{a^2 - b^2})^2·[\frac{1}{2(a - b)}]^2\\=&\frac{(2ab^2)^3}{(a + b)^3}÷\frac{(ab^3)^2}{(a^2 - b^2)^2}·\frac{1^2}{[2(a - b)]^2}\\=&\frac{8a^3b^6}{(a + b)^3}÷\frac{a^2b^6}{[(a + b)(a - b)]^2}·\frac{1}{4(a - b)^2}\\=&\frac{8a^3b^6}{(a + b)^3}·\frac{(a + b)^2(a - b)^2}{a^2b^6}·\frac{1}{4(a - b)^2}\\=&\frac{8a^3b^6}{(a + b)^3}·\frac{(a + b)^2(a - b)^2}{a^2b^6}·\frac{1}{4(a - b)^2}\\=&\frac{8a^3b^6·(a + b)^2(a - b)^2·1}{(a + b)^3·a^2b^6·4(a - b)^2}\\=&\frac{2a}{a + b}\end{aligned}$
求值过程：
当$a = -\frac{1}{2}$，$b = \frac{2}{3}$时，
$\frac{2a}{a + b}=\frac{2×(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}=\frac{-1}{\frac{1}{6}}=-6$

9. 阅读下面的解题过程：
已知$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{3}$,求$\frac{x^2}{x^4 + 1}$的值.
解：由$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{3}知x ≠ 0$,所以$\frac{x^2 + 1}{x} = 3$,即$x + \frac{1}{x} = 3$.所以$\frac{x^4 + 1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7$.故$\frac{x^2}{x^4 + 1}的值为\frac{1}{7}$.
该题的解法叫作“倒数法”,请你利用“倒数法”解下面的题目：
已知$\frac{x}{x^2 - 3x + 1} = \frac{1}{5}$,求$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$的值.

$\frac{1}{63}$

由$\frac{x}{x^2 - 3x + 1} = \frac{1}{5}$知$x \neq 0$，取倒数得$\frac{x^2 - 3x + 1}{x} = 5$，即$x - 3 + \frac{1}{x} = 5$，故$x + \frac{1}{x} = 8$。
求$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$的值，先取倒数：$\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2} = x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}$。
因为$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 8^2 - 2 = 62$，所以$\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2} = 62 + 1 = 63$。
故$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1} = \frac{1}{63}$。