1. 已知方程$\frac{1}{x - 1} = \frac{a}{x + 1}的解为x = 2$,求$\frac{a}{a - 1} - \frac{1}{a^{2} - a}$的值。

将$x = 2$代入方程$\frac{1}{x - 1} = \frac{a}{x + 1}$，得：
$\frac{1}{2 - 1} = \frac{a}{2 + 1}$，
即：
$1 = \frac{a}{3}$
解得：
$a = 3$
将$a = 3$代入$\frac{a}{a - 1} - \frac{1}{a^{2} - a}$，得：
$\frac{3}{3 - 1} - \frac{1}{3^{2} - 3}$
$= \frac{3}{2} - \frac{1}{6}$
$= \frac{9}{6} - \frac{1}{6}$
$= \frac{8}{6}$
$= \frac{4}{3}$
所以，$\frac{a}{a - 1} - \frac{1}{a^{2} - a}$的值为$\frac{4}{3}$。

2. 已知关于$x的方程\frac{1}{x - 1} - 1 = \frac{2}{1 - x}的解比\frac{kx}{x - 1} - \frac{2k - 1}{x} = 2的解大1$,求$(k + 3)^{2}$的值。

25

1. 解第一个方程$\frac{1}{x - 1} - 1 = \frac{2}{1 - x}$：
方程两边同乘$x - 1$（$x \neq 1$），得$1 - (x - 1) = -2$，
化简：$1 - x + 1 = -2$，即$2 - x = -2$，解得$x = 4$。
检验：$x = 4$时，$x - 1 = 3 \neq 0$，故第一个方程解为$x = 4$。
2. 由题意，第二个方程的解为$4 - 1 = 3$。
3. 将$x = 3$代入第二个方程$\frac{kx}{x - 1} - \frac{2k - 1}{x} = 2$：
左边$=\frac{3k}{3 - 1} - \frac{2k - 1}{3} = \frac{3k}{2} - \frac{2k - 1}{3}$，
令其等于2：$\frac{3k}{2} - \frac{2k - 1}{3} = 2$。
4. 解方程求$k$：
两边同乘6：$9k - 2(2k - 1) = 12$，
化简：$9k - 4k + 2 = 12$，即$5k = 10$，解得$k = 2$。
5. 计算$(k + 3)^2$：$(2 + 3)^2 = 25$。

3. 当$m$为何值时,分式方程$\frac{m}{x + 1} - \frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x^{2} - 1}$会产生增根？

$m=-\dfrac{3}{2}$

1. 确定最简公分母及可能增根：
原方程分母为$x+1$、$x-1$、$x^2-1=(x+1)(x-1)$，最简公分母为$(x+1)(x-1)$。令分母为0，得可能增根$x=1$或$x=-1$。
2. 去分母化为整式方程：
方程两边乘$(x+1)(x-1)$，得：
$m(x-1)-2(x+1)=3$。
3. 代入增根求$m$：
化简整式方程：$mx - m - 2x - 2 = 3$，即$(m-2)x = m + 5$。
代入$x=1$：$(m-2)\cdot1 = m + 5$，化简得$-2=5$，矛盾，故$x=1$不是增根。
代入$x=-1$：$(m-2)\cdot(-1) = m + 5$，解得$-m + 2 = m + 5$，$-2m=3$，$m=-\frac{3}{2}$。
4. 结论：当$m=-\frac{3}{2}$时，分式方程产生增根。

4. 若关于$x的分式方程\frac{6}{x - 1} = \frac{x + 3}{x(x - 1)} - \frac{k}{x}$无解,则$k$的取值是()
A.$-3$
B.$-3或-5$
C.$1$
D.$1或-5$

B

首先将分式方程化为整式方程，两边同乘$x(x - 1)$得：
$6x = x + 3 - k(x - 1)$，
整理得：$(5 + k)x = 3 + k$。
当整式方程无解时，系数为零：
$5 + k = 0$且$3 + k \neq 0$，得$k = -5$。
当整式方程的解为原分式方程的增根时：
增根为$x = 0$或$x = 1$。
代入$x = 0$，得$0 = 3 + k$，即$k = -3$；
代入$x = 1$，得$5 + k = 3 + k$（无解）。
综上，$k = -5$或$k = -3$时原方程无解。

5. 已知关于$x的分式方程\frac{x}{x - 3} - \frac{3a}{3 - x} = 4$的解为非负数,则$a$的取值范围是()
A.$a \geq -4$
B.$a ＞ -4$
C.$a \geq -4且a \neq -1$
D.$a ＞ -4且a \neq -1$

C

首先将分式方程 $\frac{x}{x - 3} - \frac{3a}{3 - x} = 4$ 两边通分，注意到 $3 - x = -(x - 3)$，因此方程可变形为：
$\frac{x}{x - 3} + \frac{3a}{x - 3} = 4$，
合并分母后得到：
$\frac{x + 3a}{x - 3} = 4$，
两边乘以 $x - 3$（注意 $x \neq 3$）得：
$x + 3a = 4(x - 3)$，
化简为：
$x + 3a = 4x - 12$，
移项得：
$-3x = -12 - 3a$，
解得：
$x = 4 + a$。
根据题意，解为非负数，即 $4 + a \geq 0$，因此 $a \geq -4$。
同时，原方程的分母不能为零，即 $x \neq 3$，代入 $x = 4 + a$ 得 $4 + a \neq 3$，即 $a \neq -1$。
综上，$a \geq -4$ 且 $a \neq -1$。

6. 若关于$x的不等式组\begin{cases} \frac{3x + 5}{4} \leq \frac{x + 3}{2}, \\ x + \frac{1}{2} ＞ \frac{x + a}{2} \end{cases} $无解,且关于$y的分式方程\frac{5 - ay}{2 - y} - 1 = \frac{3}{y - 2}$有整数解,则满足条件的整数$a$的值为()
A.$2或3$
B.$2或7$
C.$3或7$
D.$2或3或7$

D

解不等式组：
解$\frac{3x + 5}{4} \leq \frac{x + 3}{2}$，得$x \leq 1$；
解$x + \frac{1}{2} ＞ \frac{x + a}{2}$，得$x ＞ a - 1$。
不等式组无解，则$a - 1 \geq 1$，即$a \geq 2$。
解分式方程$\frac{5 - ay}{2 - y} - 1 = \frac{3}{y - 2}$：
两边乘$2 - y$得$5 - ay - (2 - y) = -3$，化简得$y = \frac{6}{a - 1}$。
$y$为整数且$y \neq 2$，则$a - 1$为6的因数：$\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$。
结合$a \geq 2$，$a - 1$可取1,2,3,6，得$a=2,3,4,7$。
$a=4$时$y=2$（增根舍去），故$a=2,3,7$。