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1. 算筹是我国古代用于记数和计算的工具，它利用小竹棍在平面上的不同摆放形式(纵式和横式)来表示数字，如下图所示。
当表示一个多位数时，算筹的摆放遵循以下规则：各数位的算筹从左到右排列，并保持纵、横相间——个位、百位、万位等奇数数位采用纵式，十位、千位、十万位等偶数数位则采用横式，数字 $0$ 用空位表示。例如，$3306$ 用算筹表示为“$=$ Ⅲ $T$”。用算筹“$⊥$ Ⅲ $=$ $T$”表示的数为
当表示一个多位数时，算筹的摆放遵循以下规则：各数位的算筹从左到右排列，并保持纵、横相间——个位、百位、万位等奇数数位采用纵式，十位、千位、十万位等偶数数位则采用横式，数字 $0$ 用空位表示。例如，$3306$ 用算筹表示为“$=$ Ⅲ $T$”。用算筹“$⊥$ Ⅲ $=$ $T$”表示的数为
6327
。答案
6327
2. 已知有公共端点的射线 $OA$，$OB$，$OC$，$OD$，若点 $P_{1}$，$P_{2}$，$P_{3}$，$\cdots$ 按如图所示的规律排列，则点 $P_{2024}$ 落在射线
OC
上。答案
OC
3. 如图所示，从点 $A$ 开始，以 $AB = 1$ 为直径画半圆，记为第 $1$ 个半圆；以 $BC = 2$ 为直径画半圆，记为第 $2$ 个半圆；以 $CD = 4$ 为直径画半圆，记为第 $3$ 个半圆；以 $DE = 8$ 为直径画半圆，记为第 $4$ 个半圆 $\cdots\cdots$ 按此规律继续画半圆，第 $7$ 个半圆的面积为
512π
(结果保留 $\pi$)。答案
512π
4. 在数学探究课上，小明将一张面积为 $1$ 的正方形纸片进行分割，如图所示。
第 $1$ 次分割时将正方形纸片三等分，并记空白部分的面积为 $S_{1}$；
第 $2$ 次分割时将第 $1$ 次分割得到的空白部分继续三等分，记空白部分的面积为 $S_{2}$；
第 $3$ 次分割时将第 $2$ 次分割得到的空白部分继续三等分，记空白部分的面积为 $S_{3}$；
$\cdots\cdots$
根据以上规律，解答下列问题。
(1) 第 $4$ 次分割后，空白部分的面积 $S_{4} =$
(2) 求 $\frac{2}{3} + \frac{2}{3^{2}} + \frac{2}{3^{3}} + \frac{2}{3^{4}}$ 的值。
(3) 求 $\frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + \cdots + \frac{1}{3^{n}}$ 的值。
第 $1$ 次分割时将正方形纸片三等分，并记空白部分的面积为 $S_{1}$；
第 $2$ 次分割时将第 $1$ 次分割得到的空白部分继续三等分，记空白部分的面积为 $S_{2}$；
第 $3$ 次分割时将第 $2$ 次分割得到的空白部分继续三等分，记空白部分的面积为 $S_{3}$；
$\cdots\cdots$
根据以上规律，解答下列问题。
(1) 第 $4$ 次分割后，空白部分的面积 $S_{4} =$
\frac{1}{81}
。(2) 求 $\frac{2}{3} + \frac{2}{3^{2}} + \frac{2}{3^{3}} + \frac{2}{3^{4}}$ 的值。
(3) 求 $\frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + \cdots + \frac{1}{3^{n}}$ 的值。
答案
$\frac{1}{81}$
解：$(2)$第$1$次分割后，空白部分的面积
为$\frac {1}{3}=1-\frac {2}{3}；$
第$2$次分割后，空白部分的面积为
$\frac {1}{3}×\frac {1}{3}=\frac {1}{3^2}=1-(\frac {2}{3}+\frac {2}{3^2})；$
第$3$次分割后，空白部分的面积为
$\frac {1}{3}×\frac {1}{3}×\frac {1}{3}=\frac {1}{3^3}=1-(\frac {2}{3}+\frac {2}{3^2}+\frac {2}{3^3})；$
第$4$次分割后，空白部分的面积为
$\frac {1}{3}×\frac {1}{3}×\frac {1}{3}×\frac {1}{3}=\frac {1}{3^4}=1-(\frac {2}{3}+\frac {2}{3^2}+$
$\frac {2}{3^3}+\frac {2}{3^4})。$
所以$\frac {2}{3}+\frac {2}{3^2}+\frac {2}{3^3}+\frac {2}{3^4}=1-\frac {1}{3^4}$
$=1-\frac {1}{81}=\frac {80}{81}。$
$(3)$由$(2)$得，第$n$次分割后，空白部分
的面积为$\frac {1}{3}×\frac {1}{3}×…×\frac {1}{3}=\frac {1}{3^{n}}$
$= 1 - (\frac {2}{3} + \frac {2}{3^2} + \frac {2}{3^3} + \frac {2}{3^4} + … + \frac {2}{3^{n}})。$
所以$\frac {1}{3^{n}} = 1 - 2×(\frac {1}{3} + \frac {1}{3^2} + \frac {1}{3^3} + \frac {1}{3^4} +$
$… + \frac {1}{3^{n}})。$
所以$\frac {1}{3} + \frac {1}{3^2} + \frac {1}{3^3} + \frac {1}{3^4} + … + \frac {1}{3^{n}}$
$= (1 - \frac {1}{3^{n}})×\frac {1}{2} = \frac {1}{2} - \frac {1}{2×3^{n}}。$
解：$(2)$第$1$次分割后，空白部分的面积
为$\frac {1}{3}=1-\frac {2}{3}；$
第$2$次分割后，空白部分的面积为
$\frac {1}{3}×\frac {1}{3}=\frac {1}{3^2}=1-(\frac {2}{3}+\frac {2}{3^2})；$
第$3$次分割后，空白部分的面积为
$\frac {1}{3}×\frac {1}{3}×\frac {1}{3}=\frac {1}{3^3}=1-(\frac {2}{3}+\frac {2}{3^2}+\frac {2}{3^3})；$
第$4$次分割后，空白部分的面积为
$\frac {1}{3}×\frac {1}{3}×\frac {1}{3}×\frac {1}{3}=\frac {1}{3^4}=1-(\frac {2}{3}+\frac {2}{3^2}+$
$\frac {2}{3^3}+\frac {2}{3^4})。$
所以$\frac {2}{3}+\frac {2}{3^2}+\frac {2}{3^3}+\frac {2}{3^4}=1-\frac {1}{3^4}$
$=1-\frac {1}{81}=\frac {80}{81}。$
$(3)$由$(2)$得，第$n$次分割后，空白部分
的面积为$\frac {1}{3}×\frac {1}{3}×…×\frac {1}{3}=\frac {1}{3^{n}}$
$= 1 - (\frac {2}{3} + \frac {2}{3^2} + \frac {2}{3^3} + \frac {2}{3^4} + … + \frac {2}{3^{n}})。$
所以$\frac {1}{3^{n}} = 1 - 2×(\frac {1}{3} + \frac {1}{3^2} + \frac {1}{3^3} + \frac {1}{3^4} +$
$… + \frac {1}{3^{n}})。$
所以$\frac {1}{3} + \frac {1}{3^2} + \frac {1}{3^3} + \frac {1}{3^4} + … + \frac {1}{3^{n}}$
$= (1 - \frac {1}{3^{n}})×\frac {1}{2} = \frac {1}{2} - \frac {1}{2×3^{n}}。$
