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7.如图,在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形$(a＞b)$,再把剩余的部分剪拼成一个矩形,通过计算图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式是 ()
A.$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
B.$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
C.$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
D.$a(a+b)=a^2 + ab$
A.$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
B.$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
C.$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
D.$a(a+b)=a^2 + ab$
答案
A
解析
左边原图形的阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即$S_1=a^2 - b^2$；剪拼后得到的矩形，长为$a+b$，宽为$a-b$，其面积为$S_2=(a+b)(a-b)$。由于剪拼前后阴影部分面积相等，因此验证的等式为$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。
8. $(1-2x)(1+2x)$的计算结果是 （）
A.$4x^2 +1$
B.$1-4x^2$
C.$4x^2$
D.$-4x^2 -1$
A.$4x^2 +1$
B.$1-4x^2$
C.$4x^2$
D.$-4x^2 -1$
答案
B
解析
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，将$a=1$，$b=2x$代入计算，可得$(1-2x)(1+2x)=1^2-(2x)^2=1-4x^2$。
9.若$(x+2)^2=x^2+ax+4$，则$a$的值是。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
解：由完全平方公式展开左边得：
$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$
因为$(x+2)^2 = x^2 + ax + 4$，对比等式两边一次项的系数，可得
$a=4$
$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$
因为$(x+2)^2 = x^2 + ax + 4$，对比等式两边一次项的系数，可得
$a=4$
10.若$m+n=3$，则$2m^2+4mn+2n^2-4$的值为。
答案
$\boldsymbol{14}$
解析
解：
$2m^2+4mn+2n^2-4$
$=2(m^2+2mn+n^2)-4$
$=2(m+n)^2-4$
将$m+n=3$代入得：
原式$=2×3^2 -4$
$=2×9 -4$
$=18-4$
$=14$
$2m^2+4mn+2n^2-4$
$=2(m^2+2mn+n^2)-4$
$=2(m+n)^2-4$
将$m+n=3$代入得：
原式$=2×3^2 -4$
$=2×9 -4$
$=18-4$
$=14$
11.已知$(a^2 + b^2 + 3)(a^2 + b^2 - 3) = 7$，$ab = 1$，则$(a + b)^2 =$。
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
解：
由平方差公式展开得：
$(a^2 + b^2)^2 - 3^2 = 7$
整理得：$(a^2 + b^2)^2 = 16$
因为$a^2 + b^2 ≥ 0$，所以$a^2 + b^2 = 4$
根据完全平方公式：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
将$a^2 + b^2=4$，$ab=1$代入得：
$(a+b)^2 = 4 + 2×1 = 6$
最终
由平方差公式展开得：
$(a^2 + b^2)^2 - 3^2 = 7$
整理得：$(a^2 + b^2)^2 = 16$
因为$a^2 + b^2 ≥ 0$，所以$a^2 + b^2 = 4$
根据完全平方公式：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
将$a^2 + b^2=4$，$ab=1$代入得：
$(a+b)^2 = 4 + 2×1 = 6$
最终
12. 根据完全平方公式填空：
(1)$x^2 -8x + (\_\_\_\_\_\_)$；
(2)$(\dfrac{3}{5}x -5y)^2 = \dfrac{9}{25}x^2 + (\_\_\_\_\_\_)xy +25y^2$。
(1)$x^2 -8x + (\_\_\_\_\_\_)$；
(2)$(\dfrac{3}{5}x -5y)^2 = \dfrac{9}{25}x^2 + (\_\_\_\_\_\_)xy +25y^2$。
答案
(1) $\boldsymbol{16}$；(2) $\boldsymbol{-6}$
解析
解：
(1) 根据完全平方公式 $x^2 - 2ax +a^2=(x-a)^2$，对比式子 $x^2-8x$ 可得 $2a=8$，即 $a=4$，
因此 $a^2=4^2=16$，该空填16。
(2) 根据完全平方差公式展开计算：
$\begin{aligned}(\dfrac{3}{5}x -5y)^2&=(\dfrac{3}{5}x)^2 - 2× \dfrac{3}{5}x × 5y + (5y)^2\\&=\dfrac{9}{25}x^2 -6xy +25y^2\end{aligned}$
对比等式右侧，该空填$-6$。
最终
(1) 根据完全平方公式 $x^2 - 2ax +a^2=(x-a)^2$，对比式子 $x^2-8x$ 可得 $2a=8$，即 $a=4$，
因此 $a^2=4^2=16$，该空填16。
(2) 根据完全平方差公式展开计算：
$\begin{aligned}(\dfrac{3}{5}x -5y)^2&=(\dfrac{3}{5}x)^2 - 2× \dfrac{3}{5}x × 5y + (5y)^2\\&=\dfrac{9}{25}x^2 -6xy +25y^2\end{aligned}$
对比等式右侧，该空填$-6$。
最终
13.计算：$(a-b)^3=$。
答案
解：
$\begin{aligned}(a-b)^3&=(a-b)(a-b)^2\\&=(a-b)(a^2-2ab+b^2)\\&=a(a^2-2ab+b^2)-b(a^2-2ab+b^2)\\&=a^3-2a^2b+ab^2-a^2b+2ab^2-b^3\\&=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\end{aligned}$
最终结果为$\boldsymbol{a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}$。
$\begin{aligned}(a-b)^3&=(a-b)(a-b)^2\\&=(a-b)(a^2-2ab+b^2)\\&=a(a^2-2ab+b^2)-b(a^2-2ab+b^2)\\&=a^3-2a^2b+ab^2-a^2b+2ab^2-b^3\\&=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\end{aligned}$
最终结果为$\boldsymbol{a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}$。
14. 先化简，再求值：$3x^2 + (-\dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{3}y^2)(2x - \dfrac{2}{3}y)$，其中 $x=-2$，$y=1$。
答案
解：
先展开并化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3x^2 + (-\frac{3}{2}x)· 2x + (-\frac{3}{2}x)·(-\frac{2}{3}y) + \frac{1}{3}y^2· 2x + \frac{1}{3}y^2·(-\frac{2}{3}y)\\&=3x^2 - 3x^2 + xy + \frac{2}{3}xy^2 - \frac{2}{9}y^3\\&=xy + \frac{2}{3}xy^2 - \frac{2}{9}y^3\end{aligned}$
将$x=-2$，$y=1$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= (-2)×1 + \frac{2}{3}×(-2)×1^2 - \frac{2}{9}×1^3\\&=-2 - \frac{4}{3} - \frac{2}{9}\\&=-\frac{18}{9} - \frac{12}{9} - \frac{2}{9}\\&=-\frac{32}{9}\end{aligned}$
先展开并化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3x^2 + (-\frac{3}{2}x)· 2x + (-\frac{3}{2}x)·(-\frac{2}{3}y) + \frac{1}{3}y^2· 2x + \frac{1}{3}y^2·(-\frac{2}{3}y)\\&=3x^2 - 3x^2 + xy + \frac{2}{3}xy^2 - \frac{2}{9}y^3\\&=xy + \frac{2}{3}xy^2 - \frac{2}{9}y^3\end{aligned}$
将$x=-2$，$y=1$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= (-2)×1 + \frac{2}{3}×(-2)×1^2 - \frac{2}{9}×1^3\\&=-2 - \frac{4}{3} - \frac{2}{9}\\&=-\frac{18}{9} - \frac{12}{9} - \frac{2}{9}\\&=-\frac{32}{9}\end{aligned}$
15.已知$(a^2 + b^2)^4 - 8(a^2 + b^2)^2 + 16 = 0$，求$a^2 + b^2$的值。
答案
解：
设$ x = a^2 + b^2 $，由平方的非负性可得$ x ≥ 0 $。
原方程可转化为：
$ x^4 - 8x^2 + 16 = 0 $
由完全平方公式因式分解得：
$ (x^2 - 4)^2 = 0 $
即$ x^2 - 4 = 0 $，解得$ x^2 = 4 $，$ x = 2 $或$ x = -2 $。
因为$ x ≥ 0 $，所以舍去$ x = -2 $，得$ x = 2 $。
即$ a^2 + b^2 = 2 $。
设$ x = a^2 + b^2 $，由平方的非负性可得$ x ≥ 0 $。
原方程可转化为：
$ x^4 - 8x^2 + 16 = 0 $
由完全平方公式因式分解得：
$ (x^2 - 4)^2 = 0 $
即$ x^2 - 4 = 0 $，解得$ x^2 = 4 $，$ x = 2 $或$ x = -2 $。
因为$ x ≥ 0 $，所以舍去$ x = -2 $，得$ x = 2 $。
即$ a^2 + b^2 = 2 $。
16.先化简,再求值:$(a+2b)(a+b)+(a-b)^2$,其中$a=-1,b=2$。
答案
解：
先化简原式：
$\begin{aligned}&(a+2b)(a+b)+(a-b)^2\\=&a^2+ab+2ab+2b^2+a^2-2ab+b^2\\=&2a^2+ab+3b^2\end{aligned}$
将$a=-1$，$b=2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(-1)^2 + (-1)×2 + 3×2^2\\&=2×1 - 2 + 3×4\\&=2-2+12\\&=12\end{aligned}$
先化简原式：
$\begin{aligned}&(a+2b)(a+b)+(a-b)^2\\=&a^2+ab+2ab+2b^2+a^2-2ab+b^2\\=&2a^2+ab+3b^2\end{aligned}$
将$a=-1$，$b=2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(-1)^2 + (-1)×2 + 3×2^2\\&=2×1 - 2 + 3×4\\&=2-2+12\\&=12\end{aligned}$
