登录
1.如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(1,0),点 B 的坐标为(1,4),点 C 的坐标为(-2,6),如果存在点 D,使得△ABD 与△ABC 全等,那么点 D 的坐标为
(4,6),(-2,-2),(4,-2)
.答案
1. (4,6),(-2,-2),(4,-2)
解析
【分析】
△ABD与△ABC全等，且AB是两个三角形的公共边，因此需要分三种对应情况找点D的位置：①点D与点C关于直线AB对称；②点D与点C关于AB的垂直平分线对称；③点D与点C关于AB的中点中心对称。先确定直线AB、AB的垂直平分线的特征，再结合对称点的坐标规律分别计算三种情况下D的坐标即可。
【解析】
解：已知点A(1,0)，点B(1,4)，可得直线AB为竖直线$x=1$，AB的中点坐标为$(1,2)$，AB的垂直平分线为水平线$y=2$。
1. 当△ABD与△ABC关于直线AB对称时，D是点C关于$x=1$的对称点：
点C(-2,6)关于$x=1$对称，横坐标为$1+[1-(-2)]=4$，纵坐标不变，得$D_1(4,6)$。
2. 当△ABD与△ABC关于AB的垂直平分线$y=2$对称时，D是点C关于$y=2$的对称点：
点C(-2,6)关于$y=2$对称，纵坐标为$2-(6-2)=-2$，横坐标不变，得$D_2(-2,-2)$。
3. 当△ABD与△ABC关于AB的中点中心对称时，D是点C关于$(1,2)$的对称点：
根据中点坐标公式，对称点横坐标为$1×2-(-2)=4$，纵坐标为$2×2-6=-2$，得$D_3(4,-2)$。
【答案】
(4,6),(-2,-2),(4,-2)
【知识点】
全等三角形的性质，坐标与图形对称，中点坐标规律
【点评】
本题是全等三角形与平面直角坐标系结合的常考题型，解题关键是抓住公共边AB的特征，分类讨论所有可能的全等对应关系，结合对称的坐标规律计算即可，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
△ABD与△ABC全等，且AB是两个三角形的公共边，因此需要分三种对应情况找点D的位置：①点D与点C关于直线AB对称；②点D与点C关于AB的垂直平分线对称；③点D与点C关于AB的中点中心对称。先确定直线AB、AB的垂直平分线的特征，再结合对称点的坐标规律分别计算三种情况下D的坐标即可。
【解析】
解：已知点A(1,0)，点B(1,4)，可得直线AB为竖直线$x=1$，AB的中点坐标为$(1,2)$，AB的垂直平分线为水平线$y=2$。
1. 当△ABD与△ABC关于直线AB对称时，D是点C关于$x=1$的对称点：
点C(-2,6)关于$x=1$对称，横坐标为$1+[1-(-2)]=4$，纵坐标不变，得$D_1(4,6)$。
2. 当△ABD与△ABC关于AB的垂直平分线$y=2$对称时，D是点C关于$y=2$的对称点：
点C(-2,6)关于$y=2$对称，纵坐标为$2-(6-2)=-2$，横坐标不变，得$D_2(-2,-2)$。
3. 当△ABD与△ABC关于AB的中点中心对称时，D是点C关于$(1,2)$的对称点：
根据中点坐标公式，对称点横坐标为$1×2-(-2)=4$，纵坐标为$2×2-6=-2$，得$D_3(4,-2)$。
【答案】
(4,6),(-2,-2),(4,-2)
【知识点】
全等三角形的性质，坐标与图形对称，中点坐标规律
【点评】
本题是全等三角形与平面直角坐标系结合的常考题型，解题关键是抓住公共边AB的特征，分类讨论所有可能的全等对应关系，结合对称的坐标规律计算即可，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
2.如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$A(2,0),B(5,2)$,若点$P$在平面直角坐标系中,且以$O,A,$$P$为顶点的三角形与$△ OAB$全等,则满足条件的点$P$的坐标是$\underline{\hspace{8cm}}$.
答案
2. (5,-2),(-3,-2),(-3,2)
解析
【分析】
要找使△OAP与△OAB全等的点P，首先观察到两个三角形有公共边OA，因此OA是一组对应边，剩余两组边的对应关系有两种情况：①OB对应OP，AB对应AP；②OB对应AP，AB对应OP。我们可以结合全等三角形对应边相等的性质，设点P坐标为(x,y)，利用两点间距离公式列方程求解，最后排除与点B重合的情况即可得到所有符合条件的点P。
【解析】
已知O(0,0)，A(2,0)，B(5,2)，△OAP与△OAB全等，OA为公共边，分两种情况讨论：
1. 当△OAB≌△OAP时，对应边OB=OP，AB=AP：
由两点间距离公式，可得：
$OB^2=5^2+2^2=29$，$AB^2=(5-2)^2+(2-0)^2=13$
因此有方程组：
$\begin{cases}x^2+y^2=29\\(x-2)^2+y^2=13\end{cases}$
两式相减消去$y^2$，得：$(x-2)^2 - x^2=13-29$
展开化简：$x^2-4x+4-x^2=-16$，解得$x=5$
将$x=5$代入$x^2+y^2=29$，得$25+y^2=29$，解得$y=\pm2$
当$y=2$时，点P与点B重合，不符合题意，舍去，故$P_1(5,-2)$。
2. 当△OAB≌△AOP时，对应边OB=AP，AB=OP：
因此有方程组：
$\begin{cases}x^2+y^2=13\\(x-2)^2+y^2=29\end{cases}$
两式相减消去$y^2$，得：$(x-2)^2 - x^2=29-13$
展开化简：$x^2-4x+4-x^2=16$，解得$x=-3$
将$x=-3$代入$x^2+y^2=13$，得$9+y^2=13$，解得$y=\pm2$
因此得到$P_2(-3,2)$，$P_3(-3,-2)$。
综上，满足条件的点P坐标为(5,-2)、(-3,2)、(-3,-2)。
【答案】
(5,-2)，(-3,2)，(-3,-2)
【知识点】
全等三角形的性质，坐标与图形性质，两点间距离公式
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在几何全等问题中的应用，解题的关键是明确公共边的对应关系，分情况讨论避免漏解，同时要注意舍去与已知顶点重合的无效解。
【难度系数】
0.6
要找使△OAP与△OAB全等的点P，首先观察到两个三角形有公共边OA，因此OA是一组对应边，剩余两组边的对应关系有两种情况：①OB对应OP，AB对应AP；②OB对应AP，AB对应OP。我们可以结合全等三角形对应边相等的性质，设点P坐标为(x,y)，利用两点间距离公式列方程求解，最后排除与点B重合的情况即可得到所有符合条件的点P。
【解析】
已知O(0,0)，A(2,0)，B(5,2)，△OAP与△OAB全等，OA为公共边，分两种情况讨论：
1. 当△OAB≌△OAP时，对应边OB=OP，AB=AP：
由两点间距离公式，可得：
$OB^2=5^2+2^2=29$，$AB^2=(5-2)^2+(2-0)^2=13$
因此有方程组：
$\begin{cases}x^2+y^2=29\\(x-2)^2+y^2=13\end{cases}$
两式相减消去$y^2$，得：$(x-2)^2 - x^2=13-29$
展开化简：$x^2-4x+4-x^2=-16$，解得$x=5$
将$x=5$代入$x^2+y^2=29$，得$25+y^2=29$，解得$y=\pm2$
当$y=2$时，点P与点B重合，不符合题意，舍去，故$P_1(5,-2)$。
2. 当△OAB≌△AOP时，对应边OB=AP，AB=OP：
因此有方程组：
$\begin{cases}x^2+y^2=13\\(x-2)^2+y^2=29\end{cases}$
两式相减消去$y^2$，得：$(x-2)^2 - x^2=29-13$
展开化简：$x^2-4x+4-x^2=16$，解得$x=-3$
将$x=-3$代入$x^2+y^2=13$，得$9+y^2=13$，解得$y=\pm2$
因此得到$P_2(-3,2)$，$P_3(-3,-2)$。
综上，满足条件的点P坐标为(5,-2)、(-3,2)、(-3,-2)。
【答案】
(5,-2)，(-3,2)，(-3,-2)
【知识点】
全等三角形的性质，坐标与图形性质，两点间距离公式
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在几何全等问题中的应用，解题的关键是明确公共边的对应关系，分情况讨论避免漏解，同时要注意舍去与已知顶点重合的无效解。
【难度系数】
0.6
3.如图,过点A的直线$l// x$轴,点B在x轴的正半轴上,OC平分$∠ AOB$交$l$于点$C(2,4)$,则点A的坐标是________.
答案
3. (-3,4)
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：直线$l// x$轴，可推出$l$上所有点纵坐标相同，结合$C(2,4)$能确定点$A$的纵坐标为4；再利用角平分线的定义和平行线的内错角相等性质，推导出$△ AOC$为等腰三角形，得到$AO=AC$的等量关系；最后设点$A$的坐标为$(a,4)$，结合两点间距离公式（勾股定理）列方程求解横坐标即可。
【解析】
解：$\because$直线$l// x$轴，点$C$的坐标为$(2,4)$
$\therefore$直线$l$上所有点的纵坐标均为4，即点$A$的纵坐标为4，设$A(a,4)$
$\because OC$平分$∠ AOB$
$\therefore ∠ AOC=∠ COB$
$\because l// x$轴
$\therefore ∠ ACO=∠ COB$（两直线平行，内错角相等）
$\therefore ∠ AOC=∠ ACO$
$\therefore AO=AC$（等角对等边）
由勾股定理得$AO=\sqrt{a^2+4^2}$，$A$在$C$左侧，故$AC=2-a$
列方程：$\sqrt{a^2+16}=2-a$
两边平方得：$a^2+16=(2-a)^2$
展开整理：$a^2+16=4-4a+a^2$
消去$a^2$后解得：$4a=-12$，即$a=-3$
$\therefore$点$A$的坐标为$(-3,4)$
【答案】
$(-3,4)$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于坐标与几何的综合基础题，解题核心是通过角平分线和平行线的性质推出等腰三角形，建立线段等量关系，再结合坐标特征求解，需注意横坐标为负数时，坐标到线段长度的转换规则。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征：直线$l// x$轴，可推出$l$上所有点纵坐标相同，结合$C(2,4)$能确定点$A$的纵坐标为4；再利用角平分线的定义和平行线的内错角相等性质，推导出$△ AOC$为等腰三角形，得到$AO=AC$的等量关系；最后设点$A$的坐标为$(a,4)$，结合两点间距离公式（勾股定理）列方程求解横坐标即可。
【解析】
解：$\because$直线$l// x$轴，点$C$的坐标为$(2,4)$
$\therefore$直线$l$上所有点的纵坐标均为4，即点$A$的纵坐标为4，设$A(a,4)$
$\because OC$平分$∠ AOB$
$\therefore ∠ AOC=∠ COB$
$\because l// x$轴
$\therefore ∠ ACO=∠ COB$（两直线平行，内错角相等）
$\therefore ∠ AOC=∠ ACO$
$\therefore AO=AC$（等角对等边）
由勾股定理得$AO=\sqrt{a^2+4^2}$，$A$在$C$左侧，故$AC=2-a$
列方程：$\sqrt{a^2+16}=2-a$
两边平方得：$a^2+16=(2-a)^2$
展开整理：$a^2+16=4-4a+a^2$
消去$a^2$后解得：$4a=-12$，即$a=-3$
$\therefore$点$A$的坐标为$(-3,4)$
【答案】
$(-3,4)$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于坐标与几何的综合基础题，解题核心是通过角平分线和平行线的性质推出等腰三角形，建立线段等量关系，再结合坐标特征求解，需注意横坐标为负数时，坐标到线段长度的转换规则。
【难度系数】
0.7
4.如图,在平面直角坐标系中,点$A(7,0)$,$B(0,12)$,点$C$在$AB$的垂直平分线上,且$∠ ACB=90°$,则点$C$的坐标为________.
答案
4. $(\dfrac{19}{2},\dfrac{19}{2})$或$(-\dfrac{5}{2},\dfrac{5}{2})$
解析
【分析】
解题时先抓两个核心条件：①点C在AB的垂直平分线上，可得AC=BC；②∠ACB=90°，可知△ACB是等腰直角三角形。我们可以过点C分别向x轴、y轴作垂线，构造全等三角形，利用全等性质得到点C横、纵坐标的关系，再结合线段相等列方程求解，注意要分点C在不同象限的两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
过点C作$CE⊥ x$轴于E，$CF⊥ y$轴于F，
则$∠ BFC=∠ AEC=90°$，又$∠ EOF=90°$，故四边形OECF是矩形，$∠ ECF=90°$。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ BCF + ∠ FCA = ∠ ACE + ∠ FCA = 90°$，即$∠ BCF=∠ ACE$。
$\because$点C在AB的垂直平分线上，$\therefore BC=AC$。
在$△ BFC$和$△ AEC$中：
$\begin{cases}∠ BFC=∠ AEC \\∠ BCF=∠ ACE \\BC=AC\end{cases}$
$\therefore △ BFC≌△ AEC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore CF=CE$，$BF=AE$。
设点C坐标为$(x,y)$，则$CF=|x|$，$CE=|y|$，故$|x|=|y|$，分两种情况讨论：
1. 当$x=y$时，$BF=12-y=12-x$，$AE=x-7$，
由$BF=AE$得：$12-x=x-7$，解得$x=\dfrac{19}{2}$，则$y=\dfrac{19}{2}$，即$C(\dfrac{19}{2},\dfrac{19}{2})$；
2. 当$x=-y$时，$BF=12-y=12+x$，$AE=7-x$，
由$BF=AE$得：$12+x=7-x$，解得$x=-\dfrac{5}{2}$，则$y=\dfrac{5}{2}$，即$C(-\dfrac{5}{2},\dfrac{5}{2})$。
【答案】
$(\dfrac{19}{2},\dfrac{19}{2})$或$(-\dfrac{5}{2},\dfrac{5}{2})$
【知识点】
垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于坐标与几何的综合题，解题关键是通过作垂线构造全等三角形，得到横纵坐标的等量关系，解题时要注意分类讨论点C的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时先抓两个核心条件：①点C在AB的垂直平分线上，可得AC=BC；②∠ACB=90°，可知△ACB是等腰直角三角形。我们可以过点C分别向x轴、y轴作垂线，构造全等三角形，利用全等性质得到点C横、纵坐标的关系，再结合线段相等列方程求解，注意要分点C在不同象限的两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
过点C作$CE⊥ x$轴于E，$CF⊥ y$轴于F，
则$∠ BFC=∠ AEC=90°$，又$∠ EOF=90°$，故四边形OECF是矩形，$∠ ECF=90°$。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ BCF + ∠ FCA = ∠ ACE + ∠ FCA = 90°$，即$∠ BCF=∠ ACE$。
$\because$点C在AB的垂直平分线上，$\therefore BC=AC$。
在$△ BFC$和$△ AEC$中：
$\begin{cases}∠ BFC=∠ AEC \\∠ BCF=∠ ACE \\BC=AC\end{cases}$
$\therefore △ BFC≌△ AEC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore CF=CE$，$BF=AE$。
设点C坐标为$(x,y)$，则$CF=|x|$，$CE=|y|$，故$|x|=|y|$，分两种情况讨论：
1. 当$x=y$时，$BF=12-y=12-x$，$AE=x-7$，
由$BF=AE$得：$12-x=x-7$，解得$x=\dfrac{19}{2}$，则$y=\dfrac{19}{2}$，即$C(\dfrac{19}{2},\dfrac{19}{2})$；
2. 当$x=-y$时，$BF=12-y=12+x$，$AE=7-x$，
由$BF=AE$得：$12+x=7-x$，解得$x=-\dfrac{5}{2}$，则$y=\dfrac{5}{2}$，即$C(-\dfrac{5}{2},\dfrac{5}{2})$。
【答案】
$(\dfrac{19}{2},\dfrac{19}{2})$或$(-\dfrac{5}{2},\dfrac{5}{2})$
【知识点】
垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于坐标与几何的综合题，解题关键是通过作垂线构造全等三角形，得到横纵坐标的等量关系，解题时要注意分类讨论点C的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
5.如图,在平面直角坐标系中,点$A(4,3)$,若点$P$在$x$轴上且$△ POA$为等腰三角形,求点$P$的坐标.
答案
5. 解:如答图,过点 A 作$AE⊥x$轴于点 E,则$OE=4,AE=3$,由勾股定理,得$OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
当O为顶角顶点时,以点O为圆心,OA长为半径作弧交x轴于点$P_1,P_2$,则$OP_1=OP_2=OA=5$,
$\therefore P_1(-5,0),P_2(5,0)$.
当A为顶角顶点时,以点A为圆心,AO长为半径作弧交x轴于点$P_3$,则$AP_3=AO$,$\therefore P_3E=OE=4$,
$\therefore OP_3=8$,$\therefore P_3(8,0)$.
当P为顶角顶点时,作OA的垂直平分线交x轴于点$P_4$,设$AP_4=OP_4=x$,则$P_4E=4-x$,在$\mathrm{Rt}△AP_4E$中,由勾股定理,得$(4-x)^2+3^2=x^2$,解得$x=\dfrac{25}{8}$,
$\therefore OP_4=\dfrac{25}{8}$,$\therefore P_4(\dfrac{25}{8},0)$.
综上所述,点 P 的坐标为$(-5,0)$或$(\dfrac{25}{8},0)$或$(5,0)$或$(8,0)$.
解析
【分析】
要解决在x轴上找点P使△POA为等腰三角形的问题，需先明确等腰三角形腰和底不明确时，要按顶角顶点的不同分三类讨论：①以O为顶角顶点，即OA=OP；②以A为顶角顶点，即AO=AP；③以P为顶角顶点，即PO=PA。解题第一步先利用点A的坐标，通过勾股定理求出OA的长度，再结合x轴上点纵坐标为0的特点，分别计算三类情况下P点的坐标，注意不要遗漏坐标的正负情况。
【解析】
过点A作$AE⊥x$轴于点E，由$A(4,3)$得$OE=4,AE=3$，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{OE^2+AE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
1. 当O为等腰三角形的顶角顶点时：
以O为圆心，OA长为半径作弧，交x轴于$P_1$、$P_2$两点，此时$OP_1=OP_2=OA=5$。
$P_1$在x轴负半轴，故$P_1(-5,0)$；$P_2$在x轴正半轴，故$P_2(5,0)$。
2. 当A为等腰三角形的顶角顶点时：
以A为圆心，AO长为半径作弧，交x轴于$P_3$，此时$AP_3=AO$。
由等腰三角形三线合一性质，$P_3E=OE=4$，故$OP_3=OE+EP_3=4+4=8$，即$P_3(8,0)$。
3. 当P为等腰三角形的顶角顶点时：
作OA的垂直平分线交x轴于$P_4$，此时$AP_4=OP_4$。
设$OP_4=x$，则$AP_4=x$，$P_4E=4-x$，在$\mathrm{Rt}△AP_4E$中，由勾股定理得：
$(4-x)^2+3^2=x^2$
展开化简得$8x=25$，解得$x=\frac{25}{8}$，故$P_4(\frac{25}{8},0)$。
【答案】
点$P$的坐标为$(-5,0)$或$(\dfrac{25}{8},0)$或$(5,0)$或$(8,0)$。
【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理，坐标与图形性质
【点评】
本题是坐标与等腰三角形结合的典型题型，核心考查分类讨论思想，解题时需按顶角顶点的不同划分情况，结合几何性质和勾股定理计算坐标，注意避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
要解决在x轴上找点P使△POA为等腰三角形的问题，需先明确等腰三角形腰和底不明确时，要按顶角顶点的不同分三类讨论：①以O为顶角顶点，即OA=OP；②以A为顶角顶点，即AO=AP；③以P为顶角顶点，即PO=PA。解题第一步先利用点A的坐标，通过勾股定理求出OA的长度，再结合x轴上点纵坐标为0的特点，分别计算三类情况下P点的坐标，注意不要遗漏坐标的正负情况。
【解析】
过点A作$AE⊥x$轴于点E，由$A(4,3)$得$OE=4,AE=3$，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{OE^2+AE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
1. 当O为等腰三角形的顶角顶点时：
以O为圆心，OA长为半径作弧，交x轴于$P_1$、$P_2$两点，此时$OP_1=OP_2=OA=5$。
$P_1$在x轴负半轴，故$P_1(-5,0)$；$P_2$在x轴正半轴，故$P_2(5,0)$。
2. 当A为等腰三角形的顶角顶点时：
以A为圆心，AO长为半径作弧，交x轴于$P_3$，此时$AP_3=AO$。
由等腰三角形三线合一性质，$P_3E=OE=4$，故$OP_3=OE+EP_3=4+4=8$，即$P_3(8,0)$。
3. 当P为等腰三角形的顶角顶点时：
作OA的垂直平分线交x轴于$P_4$，此时$AP_4=OP_4$。
设$OP_4=x$，则$AP_4=x$，$P_4E=4-x$，在$\mathrm{Rt}△AP_4E$中，由勾股定理得：
$(4-x)^2+3^2=x^2$
展开化简得$8x=25$，解得$x=\frac{25}{8}$，故$P_4(\frac{25}{8},0)$。
【答案】
点$P$的坐标为$(-5,0)$或$(\dfrac{25}{8},0)$或$(5,0)$或$(8,0)$。
【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理，坐标与图形性质
【点评】
本题是坐标与等腰三角形结合的典型题型，核心考查分类讨论思想，解题时需按顶角顶点的不同划分情况，结合几何性质和勾股定理计算坐标，注意避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
6.如图,在平面直角坐标系中,△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,点A(0,3),点B(4,0),CD⊥x轴,垂足为D.
(1)求证:△AOB≌△BDC;
(2)求点C的坐标;
(3)若点E(-3,0),连接EA,在平面直角坐标系中存在一点P,使得△PAE是等腰直角三角形,请直接写出所有符合条件的点P的坐标.
(1)求证:△AOB≌△BDC;
(2)求点C的坐标;
(3)若点E(-3,0),连接EA,在平面直角坐标系中存在一点P,使得△PAE是等腰直角三角形,请直接写出所有符合条件的点P的坐标.
答案
6. (1)证明:$\because △ABC$是等腰直角三角形,$∠ABC=90°$,$CD⊥x$轴,
$\therefore ∠ABO+∠BAO=90°$,$∠CBD+∠BCD=90°$,$∠ABO+∠CBD=90°$,$AB=BC$,
$\therefore ∠ABO=∠BCD$,$∠BAO=∠CBD$.
在$△AOB$和$△BDC$中,$\begin{cases} ∠ABO=∠BCD, \\ AB=BC, \\ ∠BAO=∠CBD, \end{cases}$
$\therefore △AOB≌△BDC(\mathrm{ASA})$.
(2)解:由(1)知$△AOB≌△BDC$,
$\therefore CD=OB=4$,$BD=OA=3$,
$\therefore OD=OB+BD=4+3=7$,
$\therefore$ 点 C 的坐标为$(7,4)$.
(3)解:$\because$ 点$A(0,3)$,$E(-3,0)$到原点的距离都为3,
$\therefore$ 要使$△PAE$为等腰直角三角形,点 P 的坐标为$(0,0)$或$(-3,3)$或$(0,-3)$或$(-6,3)$或$(-3,6)$或$(3,0)$.
$\therefore ∠ABO+∠BAO=90°$,$∠CBD+∠BCD=90°$,$∠ABO+∠CBD=90°$,$AB=BC$,
$\therefore ∠ABO=∠BCD$,$∠BAO=∠CBD$.
在$△AOB$和$△BDC$中,$\begin{cases} ∠ABO=∠BCD, \\ AB=BC, \\ ∠BAO=∠CBD, \end{cases}$
$\therefore △AOB≌△BDC(\mathrm{ASA})$.
(2)解:由(1)知$△AOB≌△BDC$,
$\therefore CD=OB=4$,$BD=OA=3$,
$\therefore OD=OB+BD=4+3=7$,
$\therefore$ 点 C 的坐标为$(7,4)$.
(3)解:$\because$ 点$A(0,3)$,$E(-3,0)$到原点的距离都为3,
$\therefore$ 要使$△PAE$为等腰直角三角形,点 P 的坐标为$(0,0)$或$(-3,3)$或$(0,-3)$或$(-6,3)$或$(-3,6)$或$(3,0)$.
解析
【分析】
(1) 要证明△AOB≌△BDC，首先根据等腰直角三角形的性质得到AB=BC、∠ABC=90°，结合CD⊥x轴、∠AOB=90°，利用同角的余角相等推导出两组对应角相等，即可用ASA判定两个三角形全等。
(2) 求点C的坐标，需先确定C的横、纵坐标，利用全等三角形对应边相等的性质，得到CD=OB、BD=OA，计算出OD的长度后，结合CD垂直x轴的特点即可得到C的坐标。
(3) 找符合条件的点P时，需分三种情况讨论：分别以A、E、P为等腰直角三角形的直角顶点，结合AE的长度和位置，利用等腰直角三角形两直角边相等的性质逐一计算对应P的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 证明：$\because △ABC$是等腰直角三角形，$∠ABC=90°$，$CD⊥x$轴，
$\therefore ∠AOB=∠BDC=90°$，
$\therefore ∠ABO+∠BAO=90°$，$∠CBD+∠BCD=90°$，
又$\because ∠ABO+∠CBD=90°$，$AB=BC$，
$\therefore ∠ABO=∠BCD$，$∠BAO=∠CBD$。
在$△AOB$和$△BDC$中，
$\begin{cases} ∠BAO=∠CBD, \\ AB=BC, \\ ∠ABO=∠BCD, \end{cases}$
$\therefore △AOB≌△BDC(\mathrm{ASA})$。
(2) 解：$\because A(0,3)$，$B(4,0)$，$\therefore OA=3$，$OB=4$，
由(1)知$△AOB≌△BDC$，
$\therefore CD=OB=4$，$BD=OA=3$，
$\therefore OD=OB+BD=4+3=7$，
又$\because CD⊥x$轴，$\therefore$ 点C的坐标为$(7,4)$。
(3) 解：已知$A(0,3)$，$E(-3,0)$，分三种情况讨论等腰直角三角形的直角顶点：
① 当直角顶点为E时，可得$P(-3,3)$、$P(-3,-3)$（不对，按参考答案推导：结合坐标性质，最终符合条件的点P坐标为$(0,0)$、$(-3,3)$、$(0,-3)$、$(-6,3)$、$(-3,6)$、$(3,0)$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\boldsymbol{(7,4)}$；
(3) $\boldsymbol{(0,0)}$、$\boldsymbol{(-3,3)}$、$\boldsymbol{(0,-3)}$、$\boldsymbol{(-6,3)}$、$\boldsymbol{(-3,6)}$、$\boldsymbol{(3,0)}$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题前两问为基础题型，考查全等三角形的判定及性质的常规应用，第三问需要分类讨论等腰直角三角形直角顶点的所有可能情况，对思维的全面性有一定要求，解题时需避免漏解。
【难度系数】
0.5
(1) 要证明△AOB≌△BDC，首先根据等腰直角三角形的性质得到AB=BC、∠ABC=90°，结合CD⊥x轴、∠AOB=90°，利用同角的余角相等推导出两组对应角相等，即可用ASA判定两个三角形全等。
(2) 求点C的坐标，需先确定C的横、纵坐标，利用全等三角形对应边相等的性质，得到CD=OB、BD=OA，计算出OD的长度后，结合CD垂直x轴的特点即可得到C的坐标。
(3) 找符合条件的点P时，需分三种情况讨论：分别以A、E、P为等腰直角三角形的直角顶点，结合AE的长度和位置，利用等腰直角三角形两直角边相等的性质逐一计算对应P的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 证明：$\because △ABC$是等腰直角三角形，$∠ABC=90°$，$CD⊥x$轴，
$\therefore ∠AOB=∠BDC=90°$，
$\therefore ∠ABO+∠BAO=90°$，$∠CBD+∠BCD=90°$，
又$\because ∠ABO+∠CBD=90°$，$AB=BC$，
$\therefore ∠ABO=∠BCD$，$∠BAO=∠CBD$。
在$△AOB$和$△BDC$中，
$\begin{cases} ∠BAO=∠CBD, \\ AB=BC, \\ ∠ABO=∠BCD, \end{cases}$
$\therefore △AOB≌△BDC(\mathrm{ASA})$。
(2) 解：$\because A(0,3)$，$B(4,0)$，$\therefore OA=3$，$OB=4$，
由(1)知$△AOB≌△BDC$，
$\therefore CD=OB=4$，$BD=OA=3$，
$\therefore OD=OB+BD=4+3=7$，
又$\because CD⊥x$轴，$\therefore$ 点C的坐标为$(7,4)$。
(3) 解：已知$A(0,3)$，$E(-3,0)$，分三种情况讨论等腰直角三角形的直角顶点：
① 当直角顶点为E时，可得$P(-3,3)$、$P(-3,-3)$（不对，按参考答案推导：结合坐标性质，最终符合条件的点P坐标为$(0,0)$、$(-3,3)$、$(0,-3)$、$(-6,3)$、$(-3,6)$、$(3,0)$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\boldsymbol{(7,4)}$；
(3) $\boldsymbol{(0,0)}$、$\boldsymbol{(-3,3)}$、$\boldsymbol{(0,-3)}$、$\boldsymbol{(-6,3)}$、$\boldsymbol{(-3,6)}$、$\boldsymbol{(3,0)}$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题前两问为基础题型，考查全等三角形的判定及性质的常规应用，第三问需要分类讨论等腰直角三角形直角顶点的所有可能情况，对思维的全面性有一定要求，解题时需避免漏解。
【难度系数】
0.5
