9 如图,从边长为 $m+n$ 的正方形纸片中剪下一个边长为 $m$ 的正方形,再将余下的部分剪拼成一个长方形(不重叠、无缝隙),则这个长方形的面积是.

9. $2mn+n^{2}$

【分析】
本题利用图形剪拼前后面积不变的性质，要求长方形的面积，只需计算原大正方形面积减去剪下的小正方形面积即可，核心是整式的运算。
【解析】
根据面积不变性，长方形的面积等于边长为$m+n$的正方形面积减去边长为$m$的正方形面积：
$\begin{aligned}\mathrm{长方形面积}&=(m+n)^2 - m^2\\&=m^2 + 2mn + n^2 - m^2\\&=2mn + n^2\end{aligned}$
【答案】
$2mn + n^2$
【知识点】
整式的加减、正方形面积公式
【点评】
本题通过图形剪拼考查整式运算，关键是利用面积不变性简化计算，属于基础几何代数结合题，难度适中。
【难度系数】
0.6

10 教材P117习题16.3第2题变式 运用完全平方公式计算：
(1) $(4x-5y)^2$;
(2) $(-3x-2)^2-(2x+5)(2x-5)$.

10. (1) $16x^{2}-40xy+25y^{2}$ (2) $5x^{2}+12x+29$

【分析】
本题考查整式的乘法运算，需运用完全平方公式和平方差公式解题。第(1)题式子符合完全平方差公式，确定对应项后代入公式计算即可；第(2)题需分别用完全平方公式和平方差公式计算两部分，再合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 根据完全平方公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，其中$a=4x$，$b=5y$，
则原式$=(4x)^2 - 2×4x×5y + (5y)^2 = 16x^2 - 40xy + 25y^2$。
(2) 先计算$(-3x-2)^2$：
将$(-3x-2)^2$变形为$(3x+2)^2$，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得：
$(3x+2)^2=(3x)^2 + 2×3x×2 + 2^2=9x^2 +12x +4$；
再计算$(2x+5)(2x-5)$，根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 -b^2$，得：
$(2x+5)(2x-5)=(2x)^2 -5^2=4x^2 -25$；
则原式$=(9x^2 +12x +4) - (4x^2 -25)=9x^2 +12x +4 -4x^2 +25=5x^2 +12x +29$。
【答案】
(1) $16x^{2}-40xy+25y^{2}$；(2) $5x^{2}+12x+29$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式的加减
【点评】
本题是整式乘法的基础变式题，重点考查公式的应用，需准确记忆公式结构，注意符号处理，是初中代数核心基础题型，掌握公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

11 教材 P117 习题 16.3 第 4 题变式 先化简,再求值:$(x+2y)^2-2x(3x+2y)+(x+3y)(x-3y)$,其中$x=-\dfrac{1}{2},y=-1.$

11. 原式$=x^{2}+4xy+4y^{2}-6x^{2}-4xy+x^{2}-9y^{2}=-4x^{2}-5y^{2}.$当 $x=-\dfrac{1}{2},y=-1$ 时,原式$=-4× (-\dfrac{1}{2})^{2}-5× (-1)^{2}=-1-5=-6$

【分析】
本题是整式的化简求值题，解题思路为：先利用完全平方公式、单项式乘多项式法则、平方差公式分别展开原式中的各项，再通过合并同类项将式子化为最简形式，最后把给定的x、y的值代入最简式计算结果。具体步骤：①展开完全平方项$(x+2y)^2$；②计算单项式乘多项式项$-2x(3x+2y)$；③展开平方差项$(x+3y)(x-3y)$；④合并同类项得到最简整式；⑤代入$x=-\dfrac{1}{2}$、$y=-1$计算最终值。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}原式&=(x^2 + 4xy + 4y^2) - (6x^2 + 4xy) + (x^2 - 9y^2)\\&=x^2 + 4xy + 4y^2 - 6x^2 - 4xy + x^2 - 9y^2\\&=(x^2 - 6x^2 + x^2) + (4xy - 4xy) + (4y^2 - 9y^2)\\&=-4x^2 -5y^2\end{aligned}$
将$x=-\dfrac{1}{2}$，$y=-1$代入最简式：
$\begin{aligned}原式&=-4×(-\dfrac{1}{2})^2 -5×(-1)^2\\&=-4×\dfrac{1}{4} -5×1\\&=-1 -5\\&=-6\end{aligned}$
【答案】
-6
【知识点】
整式的化简求值、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题考查整式的混合运算，核心是运用乘法公式和合并同类项法则化简式子，计算时需注意去括号的符号变化，属于基础题型，只要掌握基本公式和运算规则即可正确解答。
【难度系数】
0.7

12 [2026 通州期中]人教版八年级上册数学教材第 118 页的第 7 题:已知 $a+b=5,ab=3$,求 $a^2+b^2$ 的值.
老师讲解了这道题的解法:
$\because a+b=5,\therefore (a+b)^2=25.\therefore a^2+2ab+b^2=25.\because ab=3,\therefore a^2+b^2=25-2ab=25-6=19.$
请你参照上面解法,解答以下问题.
(1) 已知 $a-b=1,a^2+b^2=9$,求 $ab$ 的值.
(2) 在(1)的条件下,求 $(a+b)^2$ 的值.
(3) 如图,在六边形 $ABCDEF$ 中,对角线 $BE$ 和 $CF$ 相交于点 $G$. 当四边形 $ABGF$ 和四边形 $CDEG$ 都为正方形,且 $BE=8$ 时,正方形 $ABGF$ 和正方形 $CDEG$ 的面积和为 36,求此时图中涂色部分的面积.

12. (1) $\because a-b=1,\therefore (a-b)^{2}=1.\therefore a^{2}-2ab+b^{2}=1.$
$\therefore 2ab=a^{2}+b^{2}-1.\because a^{2}+b^{2}=9,\therefore 2ab=9-1=8.\therefore ab=4$
(2) 由(1),得 $ab=4,\therefore (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=9+2× 4=17$
(3) 设 $EG=b,BG=a.$ 由题意,得 $a+b=BE=8,a^{2}+b^{2}=BG^{2}+EG^{2}=36,BG=FG,EG=CG.\therefore (a+b)^{2}=64,$即 $a^{2}+2ab+b^{2}=64.\therefore 36+2ab=64.\therefore ab=14.\therefore S_{涂色}=\dfrac{1}{2}FG· EG+\dfrac{1}{2}BG· CG=BG· EG=ab=14$

【分析】
本题参照完全平方公式的应用思路解题：
(1) 已知$a-b$和$a^2+b^2$，利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，代入已知值即可求出$ab$；
(2) 利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$，代入(1)的结果和已知的$a^2+b^2$计算；
(3) 设正方形$ABGF$边长为$a$，正方形$CDEG$边长为$b$，根据正方形性质得$BG=FG=a$、$EG=CG=b$，结合题意得$a+b=8$、$a^2+b^2=36$；涂色部分是两个直角三角形，面积和化简后为$ab$，再用完全平方公式求出$ab$即得涂色面积。
【解析】
(1)
∵ $a-b=1$，
∴ $(a-b)^2=1$，展开得$a^2-2ab+b^2=1$。
又
∵ $a^2+b^2=9$，
∴ $9-2ab=1$，解得$ab=4$。
(2) 由(1)知$ab=4$，且$a^2+b^2=9$，
∴ $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=9+2×4=17$。
(3) 设$BG=a$，$EG=b$，
∵ 四边形$ABGF$和$CDEG$是正方形，
∴ $BG=FG=a$，$EG=CG=b$，
由题意得：$BE=a+b=8$，两正方形面积和为$a^2+b^2=36$。
对$a+b=8$两边平方得：$(a+b)^2=64$，
展开得$a^2+2ab+b^2=64$，
代入$a^2+b^2=36$，得$36+2ab=64$，解得$ab=14$。
涂色部分面积：$S=\frac{1}{2}FG·EG+\frac{1}{2}BG·CG=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=ab=14$。
【答案】
(1) $ab=4$；(2) $(a+b)^2=17$；(3) 涂色部分面积为$14$
【知识点】
完全平方公式，正方形性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合代数公式与几何图形性质，考查完全平方公式的灵活应用，需将代数关系与几何边长、面积关联分析，难度适中。
【难度系数】
0.6