【例1】在下列代数式中,哪些是分式?哪些是整式?

【解析】根据分式的概念可知,分式的分母中必然含有字母,由此可知$\frac{1}{t},\frac{x^2 -2x +1}{x -1},\frac{2x +4}{x},\frac{x +1}{3x^2 -2x -1},\frac{a^3 +a^2}{3a}$为分式;$\frac{x}{3}(x +2),\frac{5a}{2},2m,\frac{3 -x}{π}$为整式.
注意:$\frac{3 -x}{π}$的分母中的$π$是一个常数,因此它不是分式,而$\frac{x^2 -2x +1}{x -1},\frac{a^3 +a^2}{3a}$中,尽管分式化简后可以是整式的形式,但原式仍是分式.

解：根据分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式；整式的分母中不含字母，且$π$是常数不属于字母。
分式为：$\frac{1}{t},\frac{x^2-2x+1}{x-1},\frac{2x+4}{x},\frac{x+1}{3x^2-2x-1},\frac{a^3+a^2}{3a}$；
整式为：$\frac{x}{3}(x+2),\frac{5a}{2},2m,\frac{3-x}{π}$。

【例2】求下列分式有意义的条件：
(1)$\frac{3}{x}$；(2)$-\frac{a+b}{2a-b}$；(3)；(4)$\frac{x+y}{x^2+y^2}$；(5)$\frac{x^2-9}{x+3}$
【解析】(1)$x≠0$；
(2)$2a-b≠0$，即$2a≠b$，$a≠\frac{1}{2}b$；
(3)$m^2+1≠0$，即$m$为任何实数；
(4)$x^2+y^2≠0$，故$x,y$不同时为0；
(5)$x+3≠0$，即$x≠-3$。
注意：当我们求使分式有意义的字母的取值范围时，同样要看原式，而不是化简之后的结果。

解：
要使分式有意义，需满足分式的分母不等于0：
(1) 分式$\frac{3}{x}$的分母为$x$，令$x≠0$，
因此该分式有意义的条件是$x≠0$。
(2) 分式$-\frac{a+b}{2a-b}$的分母为$2a-b$，令$2a-b≠0$，
解得$a≠\frac{1}{2}b$，因此该分式有意义的条件是$a≠\frac{1}{2}b$。
(3) 分式$\frac{n}{m^2+1}$的分母为$m^2+1$，
对任意实数$m$，都有$m^2≥0$，因此$m^2+1≥1$，$m^2+1≠0$恒成立，
因此该分式有意义的条件是$m$取全体实数。
(4) 分式$\frac{x+y}{x^2+y^2}$的分母为$x^2+y^2$，
由$x^2≥0$，$y^2≥0$可知，仅当$x=0$且$y=0$时$x^2+y^2=0$，令$x^2+y^2≠0$，
因此该分式有意义的条件是$x,y$不同时为0。
(5) 分式$\frac{x^2-9}{x+3}$的分母为$x+3$，令$x+3≠0$，
解得$x≠-3$，因此该分式有意义的条件是$x≠-3$。