8. (★★)如图,等边三角形ABC的边长为1。求:
(1)高AD的长;
(2)这个三角形的面积。

(1) $\because$ $△ ABC$为等边三角形,且边长为1,
$\therefore$ $AB=BC=CA=1$。
又$\because$ $AD$为高,
$\therefore$ $BD=CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$,$∠ ADB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,由勾股定理,得$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
(2)$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$。

9. (★)四边形ABCD的边长如图所示,对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化。当△ABC为等腰三角形时,对角线AC的长为

【 】

A.2
B.3
C.4
D.3或4

B

10. (★★)如图,郑州二七纪念塔的顶端可看作等腰三角形ABC,AB=AC,D是边BC上的一点。下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是

【 】

A.∠ADB=∠ADC
B.BD=CD
C.BC=2AD
D.$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$

C

11. (★★)如图,∠A=15°,AB=BC=CD=DE=EF,则∠DEF的度数等于。

$60°$

12. (★★)求证:顶角为锐角的等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于其顶角的一半。
根据条件和结论,结合下面的图形,补充写出“已知”和“求证”,并进行证明。
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠A为锐角,。
求证:。

已知:$CD⊥ AB$于点$D$
求证:$∠ BCD=\frac{1}{2}∠ A$
证明如下:
$\because$ $CD⊥ AB$,
$\therefore$ $∠ BCD=90°-∠ B$。
$\because$ $AB=AC$,
$\therefore$ $∠ B=∠ ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=90°-\frac{1}{2}∠ A$。
$\therefore$ $∠ BCD=90°-∠ B=90°-(90°-\frac{1}{2}∠ A)=\frac{1}{2}∠ A$。
$\therefore$ $∠ BCD=\frac{1}{2}∠ A$。