9.(★★)如图,在四边形ABCD中,R,P分别是$BC,CD$上的点,E,F分别是AP,RP的中点,当点P在CD上从C向D移动而点R不动时,下列结论成立的是 【 】

A.线段EF的长逐渐增大
B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不变
D.变化不定

$\boldsymbol{C}$

10.(★★)如图,在$△ ABC$中,EF为$△ ABC$的中位线,D为BC边上一点,AD与EF交于点O,连接DE,DF,要使四边形AEDF为平行四边形,需要添加条件(添加一个条件即可)。

答案不唯一,如$BD=CD$

11.(★★)如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是$AB,CD$的中点,$AD=BC$,$∠ PEF=18°$,则$∠ FPE$的度数是。

$144°$

12.(★★)如图,在$△ ABC$中,AE平分$∠ BAC$,D是BC的中点,$AE⊥ BE$,$AB=10$,$AC=6$,则线段DE的长为。

$2$

13.(★★)我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫作中点四边形。同学们在探究学习中发现:任意一个四边形的中点四边形都是平行四边形。下面是证明一个四边形的中点四边形是平行四边形的三种添加辅助线的方法,请选择其中一种方法并进行证明。

已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边$AB,BC,CD,DA$的中点。
求证:四边形EFGH是平行四边形。
方法一:
证明:如图,连接AC。……
方法二:
证明:如图,连接BD。……
(续表)
方法三:
证明:如图,连接$AC,BD$。……

方法一:$\boldsymbol{∵ E,F,G,H}$分别是边$\boldsymbol{AB,BC,CD,DA}$的中点,
$\boldsymbol{∴ EF}$是$\boldsymbol{△ ABC}$的中位线,$\boldsymbol{HG}$是$\boldsymbol{△ ADC}$的中位线。
$\boldsymbol{∴ EF// AC}$,且$\boldsymbol{EF=\dfrac{1}{2}AC}$,$\boldsymbol{HG// AC}$,且$\boldsymbol{HG=\dfrac{1}{2}AC}$。
$\boldsymbol{∴ EF// HG}$,且$\boldsymbol{EF=HG}$。
$\boldsymbol{∴}$四边形$\boldsymbol{EFGH}$是平行四边形。
方法二:$\boldsymbol{∵ E,F,G,H}$分别是边$\boldsymbol{AB,BC,CD,DA}$的中点,
$\boldsymbol{∴ EH}$是$\boldsymbol{△ ABD}$的中位线,$\boldsymbol{FG}$是$\boldsymbol{△ BDC}$的中位线。
$\boldsymbol{∴ EH// BD}$,且$\boldsymbol{EH=\dfrac{1}{2}BD}$,$\boldsymbol{FG// BD}$,且$\boldsymbol{FG=\dfrac{1}{2}BD}$。
$\boldsymbol{∴ EH// FG}$,且$\boldsymbol{EH=FG}$。
$\boldsymbol{∴}$四边形$\boldsymbol{EFGH}$是平行四边形。
方法三:$\boldsymbol{∵ E,F,G,H}$分别是边$\boldsymbol{AB,BC,CD,DA}$的中点,
$\boldsymbol{∴ EF}$是$\boldsymbol{△ ABC}$的中位线,$\boldsymbol{HG}$是$\boldsymbol{△ ADC}$的中位线。
$\boldsymbol{∴ EF// AC,HG// AC}$。$\boldsymbol{∴ EF// HG}$。
同理$\boldsymbol{EH// FG}$。
$\boldsymbol{∴}$四边形$\boldsymbol{EFGH}$是平行四边形。