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1. (2024 南京市联合体期中)如图,已知 $PA$,$PB$ 是$\odot O$ 的两条切线,$A,B$ 为切点,线段$OP$ 交$\odot O$ 于点 $M$. 给出下列四种说法:
①$PA=PB$; ②$OP⊥ AB$; ③四边形 $OAPB$有外接圆; ④点 $M$ 是$△ ABP$ 的内心. 其中所有正确说法的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
①$PA=PB$; ②$OP⊥ AB$; ③四边形 $OAPB$有外接圆; ④点 $M$ 是$△ ABP$ 的内心. 其中所有正确说法的个数是（
D
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1. D
解析
【分析】
要判断四种说法的正确性，需结合切线长定理、等腰三角形性质、四点共圆判定、三角形内心定义逐一推导：先利用切线长定理得到PA=PB，再由等腰三角形性质得OP垂直平分AB；接着根据切线垂直于半径，判断四边形OAPB的对角互补，进而确定其有外接圆；最后通过弦切角定理和等腰三角形性质，证明M是△ABP的角平分线交点，即内心。
【解析】
解：对四种说法逐一分析：
1. 说法①：根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，PA、PB是⊙O的切线，故PA=PB，①正确；
2. 说法②：OA=OB（⊙O半径），PA=PB，因此点O、P都在AB的垂直平分线上，所以OP垂直平分AB，即OP⊥AB，②正确；
3. 说法③：PA是⊙O的切线，故OA⊥PA，即∠OAP=90°，同理∠OBP=90°，则∠OAP+∠OBP=180°，对角互补的四边形有外接圆，因此四边形OAPB有外接圆，③正确；
4. 说法④：由弦切角定理，∠PAB=∠AOB/2；OP平分∠AOB，故∠AOM=∠AOB/2，因此∠PAB=∠AOM。在△OAM中，OA=OM，所以∠OAM=∠OMA；结合∠OAP=90°，∠AOP+∠APO=90°，可推得∠MAP=∠PAB/2，即AM平分∠PAB；又PM平分∠APB，所以M是△ABP的角平分线交点，即内心，④正确。
综上，四个说法都正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理、四点共圆、三角形内心
【点评】
本题综合考查圆的性质与三角形内心的判定，需熟练运用切线长定理、弦切角定理等知识，逐一分析各说法是解题核心，属于中等难度的期中考题。
【难度系数】
0.5
要判断四种说法的正确性，需结合切线长定理、等腰三角形性质、四点共圆判定、三角形内心定义逐一推导：先利用切线长定理得到PA=PB，再由等腰三角形性质得OP垂直平分AB；接着根据切线垂直于半径，判断四边形OAPB的对角互补，进而确定其有外接圆；最后通过弦切角定理和等腰三角形性质，证明M是△ABP的角平分线交点，即内心。
【解析】
解：对四种说法逐一分析：
1. 说法①：根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，PA、PB是⊙O的切线，故PA=PB，①正确；
2. 说法②：OA=OB（⊙O半径），PA=PB，因此点O、P都在AB的垂直平分线上，所以OP垂直平分AB，即OP⊥AB，②正确；
3. 说法③：PA是⊙O的切线，故OA⊥PA，即∠OAP=90°，同理∠OBP=90°，则∠OAP+∠OBP=180°，对角互补的四边形有外接圆，因此四边形OAPB有外接圆，③正确；
4. 说法④：由弦切角定理，∠PAB=∠AOB/2；OP平分∠AOB，故∠AOM=∠AOB/2，因此∠PAB=∠AOM。在△OAM中，OA=OM，所以∠OAM=∠OMA；结合∠OAP=90°，∠AOP+∠APO=90°，可推得∠MAP=∠PAB/2，即AM平分∠PAB；又PM平分∠APB，所以M是△ABP的角平分线交点，即内心，④正确。
综上，四个说法都正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理、四点共圆、三角形内心
【点评】
本题综合考查圆的性质与三角形内心的判定，需熟练运用切线长定理、弦切角定理等知识，逐一分析各说法是解题核心，属于中等难度的期中考题。
【难度系数】
0.5
2. 如图,在$4 × 4$的正方形网格中,点A,B,C,D,O均在格点上,则点O是 （
A.$△ ACD$的外心
B.$△ ACD$的内心
C.$△ ABC$的外心
D.$△ ABC$的内心
A
）A.$△ ACD$的外心
B.$△ ACD$的内心
C.$△ ABC$的外心
D.$△ ABC$的内心
答案
2. D 提示:设$\odot O$与边AC,AB,BC的切点分别为F,G,H,$\odot O$的半径为r,连接OG,OH.易证四边形BGOH是正方形,所以$OG=OH=BG=BH=OF=r$.由旋转的性质,得$OF=ED=r$,$CF=CD$,$∠FCO=∠DCE$,所以$∠ACB=2∠DCE$.因为$BC=AD$,所以$BC-BH=AD-ED$,即$CH=AE$.由切线长定理,得$CH=CF$,$AF=AG$,所以$AB=CD=CF=CH=AE=6$,$AF=AG=6-r$,所以$AC=12-r$.在$Rt△ABC$中,由勾股定理,得$AB^2+BC^2=AC^2$,即$6^2+(6+r)^2=(12-r)^2$,解得$r=2$.所以$BC=8$,$AC=10$.所以$BC+DE=AC$,$\odot O$的半径是2,所以选项A,B,C正确.因为$AE=CD$,$CD＜CE$,所以$AE＜CE$,所以选项D不正确.
解析
【分析】要判断点O是哪个三角形的外心或内心，需先明确：外心是三角形三边垂直平分线的交点，核心特征是到三角形三个顶点的距离相等；内心是三角形三条角平分线的交点，核心特征是到三角形三边的距离相等。我们通过建立平面直角坐标系，利用网格边长计算点O到各顶点、各边的距离，结合定义判断即可。
【解析】设每个小正方形网格的边长为1，建立平面直角坐标系，确定各点坐标：A(0,2)，C(4,2)，B(2,4)，D(1,0)，O(2,2)。
1. 计算点O到△ABC各顶点的距离：
$OA=\sqrt{(2-0)^2+(2-2)^2}=2$；
$OB=\sqrt{(2-2)^2+(4-2)^2}=2$；
$OC=\sqrt{(4-2)^2+(2-2)^2}=2$；
因此$OA=OB=OC$，说明点O到△ABC三个顶点的距离相等，符合外心的定义。
2. 验证其他选项：
对△ACD，计算$OD=\sqrt{(2-1)^2+(2-0)^2}=\sqrt{5}≠OA=2$，故O不是△ACD的外心；且O在AC边上，到AC的距离为0，到AD、CD的距离不为0，故不是△ACD的内心。
对△ABC，O到AC的距离为0，而内心需到三边距离相等，显然不符合，故不是△ABC的内心。
【答案】C
【知识点】三角形外心的定义、坐标与图形性质
【点评】本题利用坐标法结合外心的核心特征判断点的位置，关键是明确外心“到三顶点距离相等”的本质，通过网格计算距离即可快速得出结论。
【难度系数】0.5
【解析】设每个小正方形网格的边长为1，建立平面直角坐标系，确定各点坐标：A(0,2)，C(4,2)，B(2,4)，D(1,0)，O(2,2)。
1. 计算点O到△ABC各顶点的距离：
$OA=\sqrt{(2-0)^2+(2-2)^2}=2$；
$OB=\sqrt{(2-2)^2+(4-2)^2}=2$；
$OC=\sqrt{(4-2)^2+(2-2)^2}=2$；
因此$OA=OB=OC$，说明点O到△ABC三个顶点的距离相等，符合外心的定义。
2. 验证其他选项：
对△ACD，计算$OD=\sqrt{(2-1)^2+(2-0)^2}=\sqrt{5}≠OA=2$，故O不是△ACD的外心；且O在AC边上，到AC的距离为0，到AD、CD的距离不为0，故不是△ACD的内心。
对△ABC，O到AC的距离为0，而内心需到三边距离相等，显然不符合，故不是△ABC的内心。
【答案】C
【知识点】三角形外心的定义、坐标与图形性质
【点评】本题利用坐标法结合外心的核心特征判断点的位置，关键是明确外心“到三顶点距离相等”的本质，通过网格计算距离即可快速得出结论。
【难度系数】0.5
3. 小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编:如图,一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门,出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树,向树的方向走9里到达城堡边,再往前走6里到达树下,则该城堡的外围直径为
9
里.答案
3. 9 提示:设该圆形城堡的外围半径为r里.由题意可知,向树的方向走的那条路线与该圆形城堡相切,所以由切线长定理可知,出南门向正东走的路程为9里.由等积法,得$\frac{1}{2}×9×\sqrt{(9+6)^2-9^2}=\frac{1}{2}×(9+6)r+\frac{1}{2}×9r$,解得$r=\frac{9}{2}$,所以该城堡的外围直径为9里.(也可由勾股定理列方程解之)
解析
【分析】
首先将实际问题转化为几何模型：圆形城堡的正东、正南、正西、北门对应圆周上的四个特殊点，大树在北门外侧，从南门向东的路线与圆形城堡相切，切点为“向树走9里到达城堡边”的点。根据切线长定理，可确定出南门向东的路程为9里。设城堡半径为$r$里，通过分析直角三角形的边长关系，利用面积法建立等量关系，求解半径后即可得到直径。
【解析】
设该圆形城堡的半径为$r$里。
由题意可知，切点到大树的距离为6里，切点到南门向东的点的距离为9里，因此直角三角形的两条直角边分别为9里和$\sqrt{(9+6)^2 - 9^2}=12$里，该直角三角形的面积为：
$S=\frac{1}{2}×9×12=54$（平方里）
同时，该直角三角形的面积也可拆分为两个以半径$r$为高的三角形的面积和，即：
$S=\frac{1}{2}×(9+6)×r + \frac{1}{2}×9×r=12r$
联立面积相等得：$12r=54$，解得$r=\frac{9}{2}$里。
因此，城堡的外围直径为$2r=2×\frac{9}{2}=9$里。
【答案】
9
【知识点】
圆的切线性质、切线长定理、面积法
【点评】
本题改编自古代数学问题，将实际场景转化为几何模型，核心考查圆的切线相关性质，需要学生灵活运用切线长定理和面积法建立等量关系求解，是几何知识在实际问题中的典型应用。
【难度系数】
0.5
首先将实际问题转化为几何模型：圆形城堡的正东、正南、正西、北门对应圆周上的四个特殊点，大树在北门外侧，从南门向东的路线与圆形城堡相切，切点为“向树走9里到达城堡边”的点。根据切线长定理，可确定出南门向东的路程为9里。设城堡半径为$r$里，通过分析直角三角形的边长关系，利用面积法建立等量关系，求解半径后即可得到直径。
【解析】
设该圆形城堡的半径为$r$里。
由题意可知，切点到大树的距离为6里，切点到南门向东的点的距离为9里，因此直角三角形的两条直角边分别为9里和$\sqrt{(9+6)^2 - 9^2}=12$里，该直角三角形的面积为：
$S=\frac{1}{2}×9×12=54$（平方里）
同时，该直角三角形的面积也可拆分为两个以半径$r$为高的三角形的面积和，即：
$S=\frac{1}{2}×(9+6)×r + \frac{1}{2}×9×r=12r$
联立面积相等得：$12r=54$，解得$r=\frac{9}{2}$里。
因此，城堡的外围直径为$2r=2×\frac{9}{2}=9$里。
【答案】
9
【知识点】
圆的切线性质、切线长定理、面积法
【点评】
本题改编自古代数学问题，将实际场景转化为几何模型，核心考查圆的切线相关性质，需要学生灵活运用切线长定理和面积法建立等量关系求解，是几何知识在实际问题中的典型应用。
【难度系数】
0.5
4. 如图,$\odot O$是$△ ABC$的内切圆,切点分别为$D,F,G,∠ B=65°,∠ C=45°$,则$∠ DGF$的度数是
$55°$
.答案
4. $55°$
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合三角形内切圆的性质、三角形内角和定理、四边形内角和以及圆周角定理逐步推导：首先计算△ABC中∠A的度数，再利用内切圆切线垂直于过切点半径的性质求出对应圆心角，最后通过圆周角定理得到所求角度。
【解析】
1. 计算△ABC中∠A的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 65° - 45° = 70°。
2. 利用内切圆的切线性质：
因为⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、F，所以OD⊥AB，OF⊥AC，即∠ADO = ∠AFO = 90°。
3. 求圆心角∠DOF的度数：
在四边形ADOF中，内角和为360°，因此：
∠DOF = 360° - ∠ADO - ∠AFO - ∠A = 360° - 90° - 90° - 70° = 110°。
4. 利用圆周角定理求∠DGF：
∠DGF是⊙O中弧DF所对的圆周角，∠DOF是弧DF所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
∠DGF = $\frac{1}{2}$∠DOF = $\frac{1}{2}$×110° = 55°。
【答案】
55°
【知识点】
三角形内切圆、圆周角定理、三角形内角和
【点评】
本题综合考查圆与三角形的相关性质，解题核心是通过内切圆的切线性质确定圆心角，再结合圆周角定理完成角度转换，步骤清晰，需掌握各基础定理的应用。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需结合三角形内切圆的性质、三角形内角和定理、四边形内角和以及圆周角定理逐步推导：首先计算△ABC中∠A的度数，再利用内切圆切线垂直于过切点半径的性质求出对应圆心角，最后通过圆周角定理得到所求角度。
【解析】
1. 计算△ABC中∠A的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 65° - 45° = 70°。
2. 利用内切圆的切线性质：
因为⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、F，所以OD⊥AB，OF⊥AC，即∠ADO = ∠AFO = 90°。
3. 求圆心角∠DOF的度数：
在四边形ADOF中，内角和为360°，因此：
∠DOF = 360° - ∠ADO - ∠AFO - ∠A = 360° - 90° - 90° - 70° = 110°。
4. 利用圆周角定理求∠DGF：
∠DGF是⊙O中弧DF所对的圆周角，∠DOF是弧DF所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
∠DGF = $\frac{1}{2}$∠DOF = $\frac{1}{2}$×110° = 55°。
【答案】
55°
【知识点】
三角形内切圆、圆周角定理、三角形内角和
【点评】
本题综合考查圆与三角形的相关性质，解题核心是通过内切圆的切线性质确定圆心角，再结合圆周角定理完成角度转换，步骤清晰，需掌握各基础定理的应用。
【难度系数】
0.5
5. 如图,点 $ P $ 为 $ △ ABC $ 的内心,经过点 $ P $ 的线段分别与 $ AC,BC $ 相交于点 $ D,E $. 若 $ CD=CE=4,DE=2 $, 则点 $ P $ 到 $ AB $ 的距离为
$\frac{\sqrt{15}}{4}$
.答案
5. $\frac{\sqrt{15}}{4}$ 提示:连接CP,BP,过点P作$PH⊥BC$于点H,$PG⊥AB$于点G.因为点P为$△ABC$的内心,所以CP平分$∠DCE$,BP平分$∠ABC$,所以$PH=PG$.因为$CD=CE=4$,所以$PD=PE=1$,$CP⊥DE$,所以$CP=\sqrt{CE^2-PE^2}=\sqrt{15}$.因为$S_{△PCE}=\frac{1}{2}PE·PC=\frac{1}{2}PH·CE$,所以$PH=\frac{PE·CP}{CE}=\frac{\sqrt{15}}{4}$,即点P到AB的距离PG为$\frac{\sqrt{15}}{4}$.
解析
【分析】
要解决本题，需先利用三角形内心的性质（内心是角平分线交点，到三角形各边距离相等），结合已知CD=CE判断△CDE为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得到CP⊥DE且P为DE中点；再通过勾股定理求出CP的长度；最后用面积法转换求出P到BC的距离，再借助内心性质得到P到AB的距离。
【解析】
连接CP、BP，过点P作PH⊥BC于点H，PG⊥AB于点G。
∵点P为△ABC的内心，
∴CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，且内心到各边距离相等，即PH=PG。
∵CD=CE=4，
∴△CDE是等腰三角形，
又
∵CP平分∠DCE，根据等腰三角形三线合一，得CP⊥DE，且P为DE中点，
∴PE=½DE=½×2=1。
在Rt△CPE中，由勾股定理得：
CP=√(CE² - PE²)=√(4² -1²)=√15。
∵S△PCE=½×PE×CP=½×PH×CE，
代入数值：½×1×√15=½×PH×4，
两边同乘2得：√15=4PH，
解得PH=√15/4，
∴PG=PH=√15/4，即点P到AB的距离为$\frac{\sqrt{15}}{4}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{15}}{4}$
【知识点】
三角形内心性质，等腰三角形三线合一，勾股定理
【点评】
本题综合考查三角形内心性质、等腰三角形性质、勾股定理及面积法的应用，核心是利用内心到各边距离相等的性质，结合等腰三角形三线合一推导线段关系，通过面积转换计算目标距离，是一道中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先利用三角形内心的性质（内心是角平分线交点，到三角形各边距离相等），结合已知CD=CE判断△CDE为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得到CP⊥DE且P为DE中点；再通过勾股定理求出CP的长度；最后用面积法转换求出P到BC的距离，再借助内心性质得到P到AB的距离。
【解析】
连接CP、BP，过点P作PH⊥BC于点H，PG⊥AB于点G。
∵点P为△ABC的内心，
∴CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，且内心到各边距离相等，即PH=PG。
∵CD=CE=4，
∴△CDE是等腰三角形，
又
∵CP平分∠DCE，根据等腰三角形三线合一，得CP⊥DE，且P为DE中点，
∴PE=½DE=½×2=1。
在Rt△CPE中，由勾股定理得：
CP=√(CE² - PE²)=√(4² -1²)=√15。
∵S△PCE=½×PE×CP=½×PH×CE，
代入数值：½×1×√15=½×PH×4，
两边同乘2得：√15=4PH，
解得PH=√15/4，
∴PG=PH=√15/4，即点P到AB的距离为$\frac{\sqrt{15}}{4}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{15}}{4}$
【知识点】
三角形内心性质，等腰三角形三线合一，勾股定理
【点评】
本题综合考查三角形内心性质、等腰三角形性质、勾股定理及面积法的应用，核心是利用内心到各边距离相等的性质，结合等腰三角形三线合一推导线段关系，通过面积转换计算目标距离，是一道中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
6. 如图,点$ O,I $分别是锐角三角形$ ABC $的外心、内心. 若$∠ CAB=6∠ OAC=48^{\circ }$,则$∠ BCI=\_\_\_\_\_\_^{\circ }.$
答案
6. 25 提示:连接OC.因为$∠CAB=6∠OAC=48°$,所以$∠OAC=8°$.因为点O是$△ABC$的外心,所以$OA=OC$,所以$∠OCA=∠OAC=8°$,所以$∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC=164°$,所以$∠ABC=\frac{1}{2}∠AOC=82°$.因为$∠ACB+∠CAB+∠ABC=180°$,所以$∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=50°$.因为点I是$△ABC$的内心,所以$∠BCI=\frac{1}{2}∠ACB=25°$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先根据已知条件求出∠OAC的度数；再利用外心的性质（外心是三角形外接圆圆心，外接圆半径相等，故OA=OC）得到等腰三角形OAC，求出∠AOC；接着用圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）算出∠ABC；然后通过三角形内角和求出∠ACB；最后根据内心的性质（内心是三角形角平分线的交点，CI平分∠ACB）计算出∠BCI。
【解析】
1. 由已知∠CAB=6∠OAC=48°，可得∠OAC=48°÷6=8°。
2. 连接OC，因为O是△ABC的外心，所以OA=OC，△OAC为等腰三角形，因此∠OCA=∠OAC=8°。
3. 在△AOC中，根据三角形内角和为180°，得∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-8°-8°=164°。
4. 根据圆周角定理，同弧AC所对的圆周角∠ABC是圆心角∠AOC的一半，故∠ABC=½∠AOC=½×164°=82°。
5. 在△ABC中，由三角形内角和为180°，得∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-48°-82°=50°。
6. 因为I是△ABC的内心，内心是三角形角平分线的交点，CI平分∠ACB，所以∠BCI=½∠ACB=½×50°=25°。
【答案】
25
【知识点】
三角形外心性质，三角形内心性质，圆周角定理
【点评】
本题综合考查了三角形外心、内心的性质及圆周角定理，解题时需熟练运用相关几何定理逐步推导角度，是一道基础的几何角度计算题，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，首先根据已知条件求出∠OAC的度数；再利用外心的性质（外心是三角形外接圆圆心，外接圆半径相等，故OA=OC）得到等腰三角形OAC，求出∠AOC；接着用圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）算出∠ABC；然后通过三角形内角和求出∠ACB；最后根据内心的性质（内心是三角形角平分线的交点，CI平分∠ACB）计算出∠BCI。
【解析】
1. 由已知∠CAB=6∠OAC=48°，可得∠OAC=48°÷6=8°。
2. 连接OC，因为O是△ABC的外心，所以OA=OC，△OAC为等腰三角形，因此∠OCA=∠OAC=8°。
3. 在△AOC中，根据三角形内角和为180°，得∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-8°-8°=164°。
4. 根据圆周角定理，同弧AC所对的圆周角∠ABC是圆心角∠AOC的一半，故∠ABC=½∠AOC=½×164°=82°。
5. 在△ABC中，由三角形内角和为180°，得∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-48°-82°=50°。
6. 因为I是△ABC的内心，内心是三角形角平分线的交点，CI平分∠ACB，所以∠BCI=½∠ACB=½×50°=25°。
【答案】
25
【知识点】
三角形外心性质，三角形内心性质，圆周角定理
【点评】
本题综合考查了三角形外心、内心的性质及圆周角定理，解题时需熟练运用相关几何定理逐步推导角度，是一道基础的几何角度计算题，难度适中。
【难度系数】
0.5
7. 如图,已知$△ ABC$.
(1) 求作$△ ABC$的内心$E$(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2) 在(1)的条件下,若$∠ C=78°$,求$∠ AEB$的度数.
(1) 求作$△ ABC$的内心$E$(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2) 在(1)的条件下,若$∠ C=78°$,求$∠ AEB$的度数.
答案
7. 解:(1) 如图所示,点E即为所求.
(2) 连接AE.因为$∠CAB+∠CBA+∠ACB=180°$,所以$∠CAB+∠CBA=180°-∠ACB$.因为点E是$△ABC$的内心,所以AE平分$∠CAB$,BE平分$∠CBA$,所以$∠EAB=\frac{1}{2}∠CAB$,$∠EBA=\frac{1}{2}∠CBA$,所以$∠EAB+∠EBA=\frac{1}{2}(∠CAB+∠CBA)=\frac{1}{2}(180°-∠ACB)$.因为$∠ACB=78°$,所以$∠EAB+∠EBA=\frac{1}{2}(180°-78°)=51°$,所以$∠AEB=180°-(∠EAB+∠EBA)=180°-51°=129°$.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需明确三角形内心的定义：内心是三角形三条角平分线的交点，因此尺规作图时，只需作出△ABC两个内角的角平分线，其交点即为内心E，保留作图痕迹即可；第(2)问利用三角形内角和定理，结合内心的角平分线性质，先求出∠CAB与∠CBA的和，再推导∠EAB与∠EBA的和，最后计算∠AEB的度数。
【解析】
(1) 尺规作∠CAB和∠CBA的角平分线，两条角平分线的交点即为△ABC的内心E，作图痕迹保留（如图所示）；
(2) 连接AE、BE，在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠CAB + ∠CBA + ∠ACB = 180°，
已知∠ACB=78°，则∠CAB + ∠CBA = 180° - 78° = 102°。
因为E是△ABC的内心，所以AE平分∠CAB，BE平分∠CBA，因此：
∠EAB = 1/2∠CAB，∠EBA = 1/2∠CBA，
则∠EAB + ∠EBA = 1/2(∠CAB + ∠CBA) = 1/2×102° = 51°。
在△AEB中，再次利用三角形内角和定理：
∠AEB = 180° - (∠EAB + ∠EBA) = 180° - 51° = 129°。
【答案】
(1) 如图所示，点E即为所求。；(2) ∠AEB的度数为129°。
【知识点】
三角形内心、角平分线性质、三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形内心的尺规作图及角度计算，核心是利用内心为角平分线交点的性质，结合三角形内角和定理求解，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第(1)问需明确三角形内心的定义：内心是三角形三条角平分线的交点，因此尺规作图时，只需作出△ABC两个内角的角平分线，其交点即为内心E，保留作图痕迹即可；第(2)问利用三角形内角和定理，结合内心的角平分线性质，先求出∠CAB与∠CBA的和，再推导∠EAB与∠EBA的和，最后计算∠AEB的度数。
【解析】
(1) 尺规作∠CAB和∠CBA的角平分线，两条角平分线的交点即为△ABC的内心E，作图痕迹保留（如图所示）；
(2) 连接AE、BE，在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠CAB + ∠CBA + ∠ACB = 180°，
已知∠ACB=78°，则∠CAB + ∠CBA = 180° - 78° = 102°。
因为E是△ABC的内心，所以AE平分∠CAB，BE平分∠CBA，因此：
∠EAB = 1/2∠CAB，∠EBA = 1/2∠CBA，
则∠EAB + ∠EBA = 1/2(∠CAB + ∠CBA) = 1/2×102° = 51°。
在△AEB中，再次利用三角形内角和定理：
∠AEB = 180° - (∠EAB + ∠EBA) = 180° - 51° = 129°。
【答案】
(1) 如图所示，点E即为所求。
；(2) ∠AEB的度数为129°。【知识点】
三角形内心、角平分线性质、三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形内心的尺规作图及角度计算，核心是利用内心为角平分线交点的性质，结合三角形内角和定理求解，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
