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8. (2026·盐城校级月考) 如图, $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $AC ⊥ BC, AC=8, BC=12, P$ 是 $△ ABC$ 内部的一个动点,且满足 $∠ PCA = ∠ PBC$, 则线段 $AP$ 长的最小值为（
A.4
B.$\dfrac{16\sqrt{13}}{13}$
C.3
D.$\dfrac{12\sqrt{13}}{13}$
A
）A.4
B.$\dfrac{16\sqrt{13}}{13}$
C.3
D.$\dfrac{12\sqrt{13}}{13}$
答案
∵ ∠PCA = ∠PBC, 而∠PCA + ∠PCB = 90°,
∴ ∠PBC+∠PCB=90°,
∴ ∠BPC=90°,
∴ 点 P 在以 BC 为直径的⊙O 上,连接 OA 交⊙O 于 P,此时 PA 的长最小.
∵ OA=$\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$,
∴ PA 长的最小值为 10-6=4.故选 A.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先根据已知角相等关系，结合直角三角形内角和性质推导出∠BPC=90°，确定动点P的轨迹是以BC为直径的圆；再利用“圆外一点到圆上点的最短距离是该点到圆心的距离减去圆半径”的规律，结合勾股定理计算线段长度，进而求出AP的最小值。
【解析】
1. 推导∠BPC的度数：
因为AC⊥BC，所以∠ACB=90°，即∠PCA + ∠PCB = 90°。
又已知∠PCA = ∠PBC，代入得∠PBC + ∠PCB = 90°。
在△BPC中，由三角形内角和为180°，可得∠BPC = 180° - (∠PBC + ∠PCB) = 180° - 90° = 90°。
2. 确定动点P的轨迹：
由于∠BPC=90°，BC为定边，根据圆周角定理推论，定边对定角的动点轨迹是圆，因此点P在以BC为直径的⊙O上。
3. 计算AP的最小值：
连接OA，OA与⊙O交于点P，此时AP最短（圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减半径）。
因为BC=12，所以⊙O的半径OC=6，O为BC中点。
在Rt△ACO中，AC=8，OC=6，由勾股定理得OA=√(AC²+OC²)=√(8²+6²)=10。
因此AP的最小值为OA - OP = 10 - 6 = 4。
【答案】
A.
【知识点】
圆周角定理、点与圆的位置关系、勾股定理
【点评】
本题是几何最值问题，核心是通过定角确定动点轨迹（圆），再利用圆的性质求最短距离，考查了几何转化能力和勾股定理的应用，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，首先根据已知角相等关系，结合直角三角形内角和性质推导出∠BPC=90°，确定动点P的轨迹是以BC为直径的圆；再利用“圆外一点到圆上点的最短距离是该点到圆心的距离减去圆半径”的规律，结合勾股定理计算线段长度，进而求出AP的最小值。
【解析】
1. 推导∠BPC的度数：
因为AC⊥BC，所以∠ACB=90°，即∠PCA + ∠PCB = 90°。
又已知∠PCA = ∠PBC，代入得∠PBC + ∠PCB = 90°。
在△BPC中，由三角形内角和为180°，可得∠BPC = 180° - (∠PBC + ∠PCB) = 180° - 90° = 90°。
2. 确定动点P的轨迹：
由于∠BPC=90°，BC为定边，根据圆周角定理推论，定边对定角的动点轨迹是圆，因此点P在以BC为直径的⊙O上。
3. 计算AP的最小值：
连接OA，OA与⊙O交于点P，此时AP最短（圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减半径）。
因为BC=12，所以⊙O的半径OC=6，O为BC中点。
在Rt△ACO中，AC=8，OC=6，由勾股定理得OA=√(AC²+OC²)=√(8²+6²)=10。
因此AP的最小值为OA - OP = 10 - 6 = 4。
【答案】
A.
【知识点】
圆周角定理、点与圆的位置关系、勾股定理
【点评】
本题是几何最值问题，核心是通过定角确定动点轨迹（圆），再利用圆的性质求最短距离，考查了几何转化能力和勾股定理的应用，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
9. (威海中考) 如图，$△ ABC$ 为等边三角形，$AB=2$. 若点 $P$ 为 $△ ABC$ 内一动点，且满足 $∠ PAB=∠ ACP$，则线段 $PB$ 长度的最小值为
$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
.答案
∵ ∠ACB = ∠BAC = 60°, ∠PAB = ∠ACP,
∴ ∠PAC+∠ACP=60°,
∴ ∠APC=120°,
∴ 点 P 的运动轨迹是$\overset{\frown}{AC}$,当 O,P,B 三点共线且 OB⊥AC 时,线段 PB 的长度最小.设 OB 交 AC 于点 D,如图所示,此时 PA=PC,则 AD=CD=$\frac{1}{2}AC=1$,∠PAC=∠ACP=30°,∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°,
∴ PD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,BD=$\sqrt{3}$,
∴ PB 长度的最小值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
解析
【分析】
要找到PB的最小值，首先需确定点P的运动轨迹：已知△ABC是等边三角形，结合∠PAB=∠ACP，可推出∠APC=120°，根据“定弦定角的点的轨迹是圆”，可知点P在以AC为弦、圆周角为120°的圆弧上。接下来，点到圆上点的最短距离是该点到圆心的线段与圆的交点，因此当B、P、圆心共线且该线垂直AC时，PB最小，再结合等边三角形和圆的相关性质计算即可。
【解析】
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，AC=AB=2。
又
∵∠PAB=∠ACP，
∴∠PAC + ∠ACP = ∠PAC + ∠PAB = ∠BAC=60°，
在△APC中，∠APC=180° - (∠PAC + ∠ACP)=180°-60°=120°，
∴点P的运动轨迹是AC为弦、圆周角为120°的圆弧。
设该圆弧所在圆的圆心为O，连接OB交AC于点D，当OB⊥AC时，PB长度最小（此时P为OB与圆弧的交点）。
∵△ABC是等边三角形，OB⊥AC，
∴AD=CD=½AC=1，BD是AC边上的高，
∴BD=√(AB² - AD²)=√(2² -1²)=√3，
此时PA=PC，∠PAC=∠ACP=30°，
在Rt△APD中，∠PAD=30°，AD=1，
∴PD=AD·tan30°=1×(√3/3)=√3/3，
∴PB=BD - PD=√3 - √3/3=2√3/3。
【答案】
2√3/3
【知识点】
等边三角形性质，圆周角定理，点与圆的最短距离
【点评】
本题结合等边三角形性质，利用“定弦定角确定点的轨迹”，将求线段最小值转化为点到圆的最短距离问题，是几何中常见的最值题型，需要学生掌握轨迹判断和几何线段计算。
【难度系数】
0.4
要找到PB的最小值，首先需确定点P的运动轨迹：已知△ABC是等边三角形，结合∠PAB=∠ACP，可推出∠APC=120°，根据“定弦定角的点的轨迹是圆”，可知点P在以AC为弦、圆周角为120°的圆弧上。接下来，点到圆上点的最短距离是该点到圆心的线段与圆的交点，因此当B、P、圆心共线且该线垂直AC时，PB最小，再结合等边三角形和圆的相关性质计算即可。
【解析】
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，AC=AB=2。
又
∵∠PAB=∠ACP，
∴∠PAC + ∠ACP = ∠PAC + ∠PAB = ∠BAC=60°，
在△APC中，∠APC=180° - (∠PAC + ∠ACP)=180°-60°=120°，
∴点P的运动轨迹是AC为弦、圆周角为120°的圆弧。
设该圆弧所在圆的圆心为O，连接OB交AC于点D，当OB⊥AC时，PB长度最小（此时P为OB与圆弧的交点）。
∵△ABC是等边三角形，OB⊥AC，
∴AD=CD=½AC=1，BD是AC边上的高，
∴BD=√(AB² - AD²)=√(2² -1²)=√3，
此时PA=PC，∠PAC=∠ACP=30°，
在Rt△APD中，∠PAD=30°，AD=1，
∴PD=AD·tan30°=1×(√3/3)=√3/3，
∴PB=BD - PD=√3 - √3/3=2√3/3。
【答案】
2√3/3
【知识点】
等边三角形性质，圆周角定理，点与圆的最短距离
【点评】
本题结合等边三角形性质，利用“定弦定角确定点的轨迹”，将求线段最小值转化为点到圆的最短距离问题，是几何中常见的最值题型，需要学生掌握轨迹判断和几何线段计算。
【难度系数】
0.4
10. (广西中考) 已知$∠ MON = α$, 点$A$,$B$分别在射线$OM$,$ON$上运动,$AB = 6$.
(1) 如图①, 若$α = 90°$, 取$AB$的中点$D$, 点$A$,$B$运动时, 点$D$也随之运动, 点$A$,$B$,$D$的对应点分别为$A'$,$B'$,$D'$, 连接$OD$,$OD'$. 判断$OD$与$OD'$有什么数量关系? 证明你的结论.
(2) 如图②, 若$α = 60°$, 以$AB$为斜边在其右侧作等腰直角三角形$ABC$, 求点$O$与点$C$的最大距离.
(3) 如图③, 若$α = 45°$, 当点$A$,$B$运动到什么位置时,$△ AOB$的面积最大? 请说明理由,并求出$△ AOB$面积的最大值.
(1) 如图①, 若$α = 90°$, 取$AB$的中点$D$, 点$A$,$B$运动时, 点$D$也随之运动, 点$A$,$B$,$D$的对应点分别为$A'$,$B'$,$D'$, 连接$OD$,$OD'$. 判断$OD$与$OD'$有什么数量关系? 证明你的结论.
(2) 如图②, 若$α = 60°$, 以$AB$为斜边在其右侧作等腰直角三角形$ABC$, 求点$O$与点$C$的最大距离.
(3) 如图③, 若$α = 45°$, 当点$A$,$B$运动到什么位置时,$△ AOB$的面积最大? 请说明理由,并求出$△ AOB$面积的最大值.
答案
(1) $OD = OD'$. 证明:
∵ $∠AOB = α = 90°$,AB 的中点为 D,
∴ $OD = \frac{1}{2}AB$.
∵ $D'$ 为 $A'B'$ 的中点,且 $∠A'OB' = α = 90°$,
∴ $OD' = \frac{1}{2}A'B'$.
∵ $AB=A'B'$,
∴ $OD=OD'$.
(2) 如图①,作$△AOB$ 的外接圆⊙I,连接 CI 并延长,分别交 AB 和⊙I 于点 D 和点 $O'$,当点 O 运动到点 $O'$ 时,OC 最大,此时$△AO'B$ 是等边三角形,
∴ $BO'=AB=6$,$OC_{\mathrm{最大}}=CO'=CD+DO'=3+3\sqrt{3}$.
(3) 如图②,作$△AOB$ 的外接圆⊙$I_2$,连接 $AI_2$,$BI_2$,当 O 运动到 $O'$ 时,$O'I_2$ 的延长线与 AB 垂直,O 到 AB 的距离最大,$△AOB$ 的面积最大,此时 $O'A=O'B$,即当点 A,B 运动到 OA=OB 时,$△AOB$ 的面积最大.设点 O 在点 $O'$ 时,$O'I_2$ 的延长线与 AB 交于点 H,
∵ $∠AI_2B=2∠MON=90°$,$AB=6$,由勾股定理可得半径 $AI_2=3\sqrt{2}$,由垂径定理可得 AH=BH.又
∵ $∠AI_2B=90°$,
∴ $I_2H=\frac{1}{2}AB=3$,
∴ $O'H=3\sqrt{2}+3$,
∴ $△AOB$ 面积的最大值为$\frac{1}{2}AB· O'H=9\sqrt{2}+9$.
解析
【分析】
本题为几何综合题，分三小问逐步分析：
(1) 对于α=90°的情况，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，结合AB与A'B'长度相等，可推导OD与OD'的数量关系；
(2) 求OC的最大距离时，利用圆的性质：定点到圆上点的最大距离为过该点的最长线段，结合等腰直角三角形ABC的性质，找到OC最大的位置并计算；
(3) 求△AOB面积最大时，利用面积公式（面积=1/2×底×高），高最大时面积最大，结合外接圆的圆周角定理、垂径定理，找到高的最大值，进而计算面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠MON=α=90°，D是AB中点，
∴ 在Rt△AOB中，OD是斜边AB的中线，根据直角三角形斜边中线定理，OD=1/2 AB。
同理，D'是A'B'中点，∠A'OB'=90°，
∴ OD'=1/2 A'B'。
又
∵ AB=A'B'=6，
∴ OD=OD'。
(2) 解：
作△AOB的外接圆⊙I，连接CI并延长，交AB于D，交⊙I于O'，此时OC最大（定点到圆上点的最大距离为过该点的最长线段）。
∵ △ABC是等腰直角三角形，AB=6，
∴ CI⊥AB，AD=DB=3，CD=3（等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半）。
∵ ∠MON=60°，
∴ △AO'B是等边三角形，O'B=AB=6，
在Rt△O'DB中，∠O'BD=60°，DB=3，
∴ O'D=√(O'B² - DB²)=√(36-9)=3√3，
∴ OC最大=CO'=CD + O'D=3 + 3√3。
(3) 解：
作△AOB的外接圆⊙I₂，当O到AB的距离最大时，△AOB面积最大，此时OA=OB（O在O'位置，O'I₂延长线垂直AB）。
∵ ∠MON=45°，
∴ 圆周角∠AI₂B=2∠MON=90°，AB=6，
∴ 外接圆半径AI₂=BI₂=AB/√2=3√2。
由垂径定理，I₂H⊥AB，H为AB中点，
∴ I₂H=1/2 AB=3（等腰直角三角形AI₂B中，斜边上的高），
∴ O'H=OI₂ + I₂H=3√2 + 3，
∴ △AOB面积最大值=1/2×AB×O'H=1/2×6×(3√2 +3)=9√2 +9。
【答案】
(1) OD=OD'；
(2) OC的最大距离为3+3√3；
(3) 当OA=OB时，△AOB面积最大，最大值为9√2+9；
【知识点】
直角三角形斜边中线定理、圆的外接圆性质、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查直角三角形性质、圆的最值问题，需灵活运用圆周角定理、垂径定理等知识，是一道中等难度的几何综合题，能较好考查学生的几何分析与计算能力。
【难度系数】
0.4
本题为几何综合题，分三小问逐步分析：
(1) 对于α=90°的情况，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，结合AB与A'B'长度相等，可推导OD与OD'的数量关系；
(2) 求OC的最大距离时，利用圆的性质：定点到圆上点的最大距离为过该点的最长线段，结合等腰直角三角形ABC的性质，找到OC最大的位置并计算；
(3) 求△AOB面积最大时，利用面积公式（面积=1/2×底×高），高最大时面积最大，结合外接圆的圆周角定理、垂径定理，找到高的最大值，进而计算面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠MON=α=90°，D是AB中点，
∴ 在Rt△AOB中，OD是斜边AB的中线，根据直角三角形斜边中线定理，OD=1/2 AB。
同理，D'是A'B'中点，∠A'OB'=90°，
∴ OD'=1/2 A'B'。
又
∵ AB=A'B'=6，
∴ OD=OD'。
(2) 解：
作△AOB的外接圆⊙I，连接CI并延长，交AB于D，交⊙I于O'，此时OC最大（定点到圆上点的最大距离为过该点的最长线段）。
∵ △ABC是等腰直角三角形，AB=6，
∴ CI⊥AB，AD=DB=3，CD=3（等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半）。
∵ ∠MON=60°，
∴ △AO'B是等边三角形，O'B=AB=6，
在Rt△O'DB中，∠O'BD=60°，DB=3，
∴ O'D=√(O'B² - DB²)=√(36-9)=3√3，
∴ OC最大=CO'=CD + O'D=3 + 3√3。
(3) 解：
作△AOB的外接圆⊙I₂，当O到AB的距离最大时，△AOB面积最大，此时OA=OB（O在O'位置，O'I₂延长线垂直AB）。
∵ ∠MON=45°，
∴ 圆周角∠AI₂B=2∠MON=90°，AB=6，
∴ 外接圆半径AI₂=BI₂=AB/√2=3√2。
由垂径定理，I₂H⊥AB，H为AB中点，
∴ I₂H=1/2 AB=3（等腰直角三角形AI₂B中，斜边上的高），
∴ O'H=OI₂ + I₂H=3√2 + 3，
∴ △AOB面积最大值=1/2×AB×O'H=1/2×6×(3√2 +3)=9√2 +9。
【答案】
(1) OD=OD'；
(2) OC的最大距离为3+3√3；
(3) 当OA=OB时，△AOB面积最大，最大值为9√2+9；
【知识点】
直角三角形斜边中线定理、圆的外接圆性质、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查直角三角形性质、圆的最值问题，需灵活运用圆周角定理、垂径定理等知识，是一道中等难度的几何综合题，能较好考查学生的几何分析与计算能力。
【难度系数】
0.4
11.(2025·无锡校级月考)
问题提出:(1)如图①,已知线段AB,请以AB为斜边,在图中画出一个直角三角形.
(2)如图②,已知点A是直线l外一点,点B,C 均在直线 l 上,$AD ⊥ l$且$AD=4$,$∠ BAC=$$60°$,则$△ ABC$面积的最小值为
问题解决:(3)如图③,某园林单位要把四边形花园划分为几个区域种植不同花草,在四边形 ABCD 中,$∠ A=45°$,$∠ B=∠ D=90°$,$CB=CD=6\sqrt{2}\ \mathrm{m}$,点 E,F 分别为 AB,AD 上的点,若保持$CE ⊥ CF$,那么四边形 AECF 的面积是否存在最大值?若存在,请求出面积的最大值;若不存在,请说明理由.
问题提出:(1)如图①,已知线段AB,请以AB为斜边,在图中画出一个直角三角形.
(2)如图②,已知点A是直线l外一点,点B,C 均在直线 l 上,$AD ⊥ l$且$AD=4$,$∠ BAC=$$60°$,则$△ ABC$面积的最小值为
$\dfrac{16\sqrt{3}}{3}$
.问题解决:(3)如图③,某园林单位要把四边形花园划分为几个区域种植不同花草,在四边形 ABCD 中,$∠ A=45°$,$∠ B=∠ D=90°$,$CB=CD=6\sqrt{2}\ \mathrm{m}$,点 E,F 分别为 AB,AD 上的点,若保持$CE ⊥ CF$,那么四边形 AECF 的面积是否存在最大值?若存在,请求出面积的最大值;若不存在,请说明理由.
答案
(1) 如图①,Rt△ACB 即为所求.(合理即可)
(2) $\frac{16\sqrt{3}}{3}$ 解析:作$△ABC$ 的外接圆⊙O,连接 OA,OB,OC,过点 O 作 OE⊥BC 于点 E,如图②所示,则∠BOC=2∠BAC,OA=OB=OC,$BE=CE=\frac{1}{2}BC$.
∵ ∠BAC=60°,
∴ ∠BOC=120°,∠OBC=∠OCB=30°.设 OA=OB=OC=r.则 $OE=\frac{1}{2}r$,$BC=2BE=\sqrt{3}r$,
∵ AO+OE≥AD,AD=4,
∴ $r+\frac{1}{2}r≥4$,解得 $r≥\frac{8}{3}$,
∴ $BC=\sqrt{3}r≥\frac{8\sqrt{3}}{3}$,
∴ BC 的最小值为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$.
∵ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC· AD$,
∴ $△ABC$ 面积的最小值为$\frac{1}{2}×\frac{8\sqrt{3}}{3}×4=\frac{16\sqrt{3}}{3}$.
(3) 四边形 AECF 的面积存在最大值.分别延长 AB,DC 交于点 M,如图③所示,则△ADM,△CBM 均为等腰直角三角形.
∵ $CB=CD=6\sqrt{2}\ \mathrm{m}$,
∴ $BM=6\sqrt{2}\ \mathrm{m}$,$CM=6\sqrt{2}×\sqrt{2}=12(\mathrm{m})$,$AD=DM=(6\sqrt{2}+12)\mathrm{m}$,
∴ $S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ADM}-S_{△CBM}=\frac{1}{2}DM^2-\frac{1}{2}BC^2=\frac{1}{2}×(6\sqrt{2}+12)^2-\frac{1}{2}×(6\sqrt{2})^2=(72+72\sqrt{2})\mathrm{m}^2$.
∵ ∠BCD=360°-∠A-∠CDA-∠CBA=360°-45°-90°-90°=135°,
∴ 将△CBE 绕点 C 顺时针旋转135°得到△CDE',则 A,D,E' 三点共线,
∴ $S_{\mathrm{四边形}AECF}=S_{\mathrm{四边形}ABCD}-(S_{△CBE}+S_{△CDF})=S_{\mathrm{四边形}ABCD}-S_{△CFE'}$.
∵ $S_{\mathrm{四边形}ABCD}$为定值,
∴ 当 $S_{△CFE'}$ 取得最小值时,$S_{\mathrm{四边形}AECF}$ 取得最大值.
∵ ∠E'CF=135°-90°=45°,
∴ 以 E'F 为斜边作等腰直角三角形 OE'F,则△CE'F 的外接圆是以点 O 为圆心,OF 长为半径的圆.设△CE'F 的外接圆半径为 r m,则 $E'F=\sqrt{2}r\ \mathrm{m}$,又
∵ OC+OD≥CD,
∴ $\frac{\sqrt{2}}{2}r + r ≥6\sqrt{2}$,
∴ $r≥12\sqrt{2}-12$.当点 O 在 CD 上时,E'F 最短,此时 $E'F=\sqrt{2}r=(24-12\sqrt{2})\mathrm{m}$,
∴ △CE'F 的面积最小值=$\frac{1}{2}×(24-12\sqrt{2})×6\sqrt{2}=(72\sqrt{2}-72)\mathrm{m}^2$,
∴ 四边形 AECF 的面积最大值为$(72+72\sqrt{2})-(72\sqrt{2}-72)=144(\mathrm{m}^2)$.
解析
【分析】
本题分三个问题逐步解决：(1) 利用“直径所对圆周角为直角”，通过作AB的垂直平分线确定外接圆圆心，画圆即可构造以AB为斜边的直角三角形；(2) 要使△ABC面积最小，因高AD固定，需BC最小，结合圆周角定理构造外接圆，利用点到直线的距离关系求BC最小值，进而计算面积；(3) 通过延长AB、DC构造等腰直角三角形，计算四边形ABCD面积，再利用旋转将△CBE转化为△CDE'，将四边形AECF面积转化为定值减去△CFE'的面积，结合圆的外接圆求△CFE'的最小面积，从而得到四边形AECF的最大面积。
【解析】
(1) 画图步骤：① 作线段AB的垂直平分线，交AB于点O；② 以O为圆心，OA长为半径作圆；③ 在圆上（除A、B外）任取一点C，连接AC、BC，△ACB即为所求直角三角形（合理即可）。
(2) 作△ABC的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E，如图②所示。
∵ ∠BAC=60°，
∴ ∠BOC=2∠BAC=120°，又OB=OC，
∴ ∠OBC=∠OCB=30°。
设OA=OB=OC=r，则OE=OB·sin30°=r/2，BE=OB·cos30°=(√3/2)r，
∴ BC=2BE=√3 r。
∵ AO + OE ≥ AD（当O在AD上时取等号，此时BC最小），AD=4，
∴ r + r/2 ≥4，解得r≥8/3。
∴ BC的最小值为√3×(8/3)=8√3/3。
∵ S△ABC=1/2×BC×AD，
∴ △ABC面积的最小值为1/2×(8√3/3)×4=16√3/3。
(3) 分别延长AB、DC交于点M，如图③所示。
∵ ∠A=45°，∠D=∠CBA=90°，
∴ △ADM为等腰直角三角形，∠CBM=90°，∠M=45°，故△CBM为等腰直角三角形。
∵ CB=6√2 m，
∴ BM=6√2 m，CM=√2·BM=12 m，DM=DC + CM=6√2 +12 m，AD=DM，
∴ S四边形ABCD=S△ADM - S△CBM=1/2×(6√2 +12)² -1/2×(6√2)²= (72 +72√2) m²。
将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到△CDE'，则A、D、E'三点共线，
∴ S四边形AECF=S四边形ABCD - (S△CBE + S△CDF)=S四边形ABCD - S△CFE'。
∵ ∠BCD=360°-45°-90°-90°=135°，
∴ ∠E'CF=135°-90°=45°。
以E'F为斜边作等腰直角三角形OE'F，则△CE'F的外接圆是以O为圆心，OF长为半径的圆。设外接圆半径为r m，则E'F=√2 r m。
∵ OC + OD ≥ CD，即 (√2/2)r + r ≥6√2，解得r≥12√2 -12。
当点O在CD上时，E'F最短，此时E'F=√2 r=24 -12√2 m，
∴ S△CFE'的最小值=1/2×(24 -12√2)×6√2=72√2 -72 m²。
∴ 四边形AECF的面积最大值=(72 +72√2) - (72√2 -72)=144 m²。
【答案】
(1) 图略（合理即可）；(2) $\frac{16\sqrt{3}}{3}$；(3) 存在，最大值为$144\ \mathrm{m}^2$；
【知识点】
圆周角定理，三角形面积，旋转的性质，圆的最值
【点评】
本题综合考查几何作图、三角形面积计算、旋转的性质及圆的最值问题，需要学生灵活运用几何定理进行转化，逻辑推理要求较高，是一道综合性较强的中档题。
【难度系数】
0.3
本题分三个问题逐步解决：(1) 利用“直径所对圆周角为直角”，通过作AB的垂直平分线确定外接圆圆心，画圆即可构造以AB为斜边的直角三角形；(2) 要使△ABC面积最小，因高AD固定，需BC最小，结合圆周角定理构造外接圆，利用点到直线的距离关系求BC最小值，进而计算面积；(3) 通过延长AB、DC构造等腰直角三角形，计算四边形ABCD面积，再利用旋转将△CBE转化为△CDE'，将四边形AECF面积转化为定值减去△CFE'的面积，结合圆的外接圆求△CFE'的最小面积，从而得到四边形AECF的最大面积。
【解析】
(1) 画图步骤：① 作线段AB的垂直平分线，交AB于点O；② 以O为圆心，OA长为半径作圆；③ 在圆上（除A、B外）任取一点C，连接AC、BC，△ACB即为所求直角三角形（合理即可）。
(2) 作△ABC的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E，如图②所示。
∵ ∠BAC=60°，
∴ ∠BOC=2∠BAC=120°，又OB=OC，
∴ ∠OBC=∠OCB=30°。
设OA=OB=OC=r，则OE=OB·sin30°=r/2，BE=OB·cos30°=(√3/2)r，
∴ BC=2BE=√3 r。
∵ AO + OE ≥ AD（当O在AD上时取等号，此时BC最小），AD=4，
∴ r + r/2 ≥4，解得r≥8/3。
∴ BC的最小值为√3×(8/3)=8√3/3。
∵ S△ABC=1/2×BC×AD，
∴ △ABC面积的最小值为1/2×(8√3/3)×4=16√3/3。
(3) 分别延长AB、DC交于点M，如图③所示。
∵ ∠A=45°，∠D=∠CBA=90°，
∴ △ADM为等腰直角三角形，∠CBM=90°，∠M=45°，故△CBM为等腰直角三角形。
∵ CB=6√2 m，
∴ BM=6√2 m，CM=√2·BM=12 m，DM=DC + CM=6√2 +12 m，AD=DM，
∴ S四边形ABCD=S△ADM - S△CBM=1/2×(6√2 +12)² -1/2×(6√2)²= (72 +72√2) m²。
将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到△CDE'，则A、D、E'三点共线，
∴ S四边形AECF=S四边形ABCD - (S△CBE + S△CDF)=S四边形ABCD - S△CFE'。
∵ ∠BCD=360°-45°-90°-90°=135°，
∴ ∠E'CF=135°-90°=45°。
以E'F为斜边作等腰直角三角形OE'F，则△CE'F的外接圆是以O为圆心，OF长为半径的圆。设外接圆半径为r m，则E'F=√2 r m。
∵ OC + OD ≥ CD，即 (√2/2)r + r ≥6√2，解得r≥12√2 -12。
当点O在CD上时，E'F最短，此时E'F=√2 r=24 -12√2 m，
∴ S△CFE'的最小值=1/2×(24 -12√2)×6√2=72√2 -72 m²。
∴ 四边形AECF的面积最大值=(72 +72√2) - (72√2 -72)=144 m²。
【答案】
(1) 图略（合理即可）；(2) $\frac{16\sqrt{3}}{3}$；(3) 存在，最大值为$144\ \mathrm{m}^2$；
【知识点】
圆周角定理，三角形面积，旋转的性质，圆的最值
【点评】
本题综合考查几何作图、三角形面积计算、旋转的性质及圆的最值问题，需要学生灵活运用几何定理进行转化，逻辑推理要求较高，是一道综合性较强的中档题。
【难度系数】
0.3
