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19.若最简二次根式$\sqrt[a+1]{2a+5}$与$\sqrt{4a+3b}$相等，则$b=$.
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
解：
∵ $\sqrt[a+1]{2a+5}$是最简二次根式，
∴ 根指数满足 $a+1=2$，
解得 $a=1$。
∵ 两个最简二次根式相等，
∴ 二者被开方数相等，即 $2a+5=4a+3b$，
将$a=1$代入上式：
$2×1 +5 = 4×1 +3b$，
整理得 $7=4+3b$，
解得 $b=1$。
∵ $\sqrt[a+1]{2a+5}$是最简二次根式，
∴ 根指数满足 $a+1=2$，
解得 $a=1$。
∵ 两个最简二次根式相等，
∴ 二者被开方数相等，即 $2a+5=4a+3b$，
将$a=1$代入上式：
$2×1 +5 = 4×1 +3b$，
整理得 $7=4+3b$，
解得 $b=1$。
20.若$\sqrt{45}$与最简二次根式$\sqrt{m+1}$是同类二次根式，则$m$的值为。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
解：
化简$\sqrt{45}$，得$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。
因为$\sqrt{45}$与最简二次根式$\sqrt{m+1}$是同类二次根式，同类最简二次根式的被开方数相等，
所以$m+1=5$，
解得$m=4$。
最终
化简$\sqrt{45}$，得$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。
因为$\sqrt{45}$与最简二次根式$\sqrt{m+1}$是同类二次根式，同类最简二次根式的被开方数相等，
所以$m+1=5$，
解得$m=4$。
最终
21.若最简二次根式$\sqrt{3x - 8}$和$\sqrt{17 - 2x}$可以合并，则$x=$。
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
解：
∵ 最简二次根式$\sqrt{3x - 8}$和$\sqrt{17 - 2x}$可以合并，
∴ 两个二次根式的被开方数相等，即：
$3x - 8 = 17 - 2x$
移项得：$3x + 2x = 17 + 8$
合并同类项得：$5x = 25$
系数化为1得：$x = 5$
经检验，当$x=5$时，两个根式的被开方数均为7，符合最简二次根式的要求。
∵ 最简二次根式$\sqrt{3x - 8}$和$\sqrt{17 - 2x}$可以合并，
∴ 两个二次根式的被开方数相等，即：
$3x - 8 = 17 - 2x$
移项得：$3x + 2x = 17 + 8$
合并同类项得：$5x = 25$
系数化为1得：$x = 5$
经检验，当$x=5$时，两个根式的被开方数均为7，符合最简二次根式的要求。
22. 计算：$\sqrt{\dfrac{ab^3}{16}} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{a}} × \sqrt{8b^2}$
答案
解：由二次根式有意义的条件可得$a＞0$，$b\ge0$，
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{\dfrac{ab^3}{16}÷\dfrac{1}{a}×8b^2}\\&=\sqrt{\dfrac{ab^3}{16}· a·8b^2}\\&=\sqrt{\dfrac{8a^2b^5}{16}}\\&=\sqrt{\dfrac{a^2b^4·2b}{4}}\\&=\dfrac{ab^2}{2}\sqrt{2b}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{\dfrac{ab^3}{16}÷\dfrac{1}{a}×8b^2}\\&=\sqrt{\dfrac{ab^3}{16}· a·8b^2}\\&=\sqrt{\dfrac{8a^2b^5}{16}}\\&=\sqrt{\dfrac{a^2b^4·2b}{4}}\\&=\dfrac{ab^2}{2}\sqrt{2b}\end{aligned}$
23.已知实数$a,b,c$在数轴上的位置如图所示，化简：$|a|-\sqrt{(a+c)^2}+\sqrt{(c-a)^2}-(\sqrt{b})^2$.
答案
解：
由数轴可知：$c ＜ 0 ＜ a ＜ b$，且$|c| ＞ |a|$，
因此$a＞0$，$a+c＜0$，$c-a＜0$，$b＞0$。
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=|a| - |a+c| + |c-a| - b\\&=a - [-(a+c)] + [-(c-a)] - b\\&=a + a + c - c + a - b\\&=3a - b\end{aligned}$
由数轴可知：$c ＜ 0 ＜ a ＜ b$，且$|c| ＞ |a|$，
因此$a＞0$，$a+c＜0$，$c-a＜0$，$b＞0$。
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=|a| - |a+c| + |c-a| - b\\&=a - [-(a+c)] + [-(c-a)] - b\\&=a + a + c - c + a - b\\&=3a - b\end{aligned}$
