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【典例1】(1)当$x＜0$时，$x+\sqrt[4]{x^4}+\frac{\sqrt[3]{x^3}}{x}$的值是（）
A.$-1$
B.$2$
C.$1$
D.$-2$
A.$-1$
B.$2$
C.$1$
D.$-2$
答案
C
解析
根据根式的运算性质：n为正偶数时$\sqrt[n]{a^n}=|a|$，n为正奇数时$\sqrt[n]{a^n}=a$。已知$x＜0$，可得：
1. $\sqrt[4]{x^4}=|x|=-x$
2. $\frac{\sqrt[3]{x^3}}{x}=\frac{x}{x}=1$
代入原式计算：$x + \sqrt[4]{x^4} + \frac{\sqrt[3]{x^3}}{x}=x + (-x) +1=1$。
1. $\sqrt[4]{x^4}=|x|=-x$
2. $\frac{\sqrt[3]{x^3}}{x}=\frac{x}{x}=1$
代入原式计算：$x + \sqrt[4]{x^4} + \frac{\sqrt[3]{x^3}}{x}=x + (-x) +1=1$。
(2)(一题多解)若$a=\sqrt{10-4\sqrt{6}},b=\sqrt{10+4\sqrt{6}}$，则$a+b=$.
解题指导 (1)利用根式的性质计算即可.
(2)方法1:先将根式内化成平方形式,再开方求解;
方法2:利用$(a+b)^2$的值,开方求解.
解析 (1)当$x＜0$时,$x+\sqrt[4]{x^4}+\frac{\sqrt[3]{x^3}}{x}=x+|x|+1=x-x+1=1$.(偶次根号内开方出来的值为非负数,所以要加绝对值)
(2)(一题多解)方法1:因为$a=\sqrt{10-4\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{6}-2)^2}=\sqrt{6}-2$,$b=\sqrt{10+4\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{6}+2)^2}=\sqrt{6}+2$,所以$a+b=2\sqrt{6}$.
→被开方数化为平方形式.
方法2:因为$a＞0,b＞0$,所以$a+b=\sqrt{(a+b)^2}=\sqrt{(\sqrt{10-4\sqrt{6}}+\sqrt{10+4\sqrt{6}})^2}=\sqrt{10-4\sqrt{6}+10+4\sqrt{6}+2\sqrt{10^2-(4\sqrt{6})^2}}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$.
答案 (1)C (2)$2\sqrt{6}$
解题指导 (1)利用根式的性质计算即可.
(2)方法1:先将根式内化成平方形式,再开方求解;
方法2:利用$(a+b)^2$的值,开方求解.
解析 (1)当$x＜0$时,$x+\sqrt[4]{x^4}+\frac{\sqrt[3]{x^3}}{x}=x+|x|+1=x-x+1=1$.(偶次根号内开方出来的值为非负数,所以要加绝对值)
(2)(一题多解)方法1:因为$a=\sqrt{10-4\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{6}-2)^2}=\sqrt{6}-2$,$b=\sqrt{10+4\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{6}+2)^2}=\sqrt{6}+2$,所以$a+b=2\sqrt{6}$.
→被开方数化为平方形式.
方法2:因为$a＞0,b＞0$,所以$a+b=\sqrt{(a+b)^2}=\sqrt{(\sqrt{10-4\sqrt{6}}+\sqrt{10+4\sqrt{6}})^2}=\sqrt{10-4\sqrt{6}+10+4\sqrt{6}+2\sqrt{10^2-(4\sqrt{6})^2}}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$.
答案 (1)C (2)$2\sqrt{6}$
答案
$\boldsymbol{2\sqrt{6}}$
解析
解：
方法1：
对a化简：
$a=\sqrt{10-4\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{6})^2 - 2·\sqrt{6}·2 + 2^2}=\sqrt{(\sqrt{6}-2)^2}$
由$\sqrt{6}＞2$，得$a=\sqrt{6}-2$
对b化简：
$b=\sqrt{10+4\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{6})^2 + 2·\sqrt{6}·2 + 2^2}=\sqrt{(\sqrt{6}+2)^2}$
由$\sqrt{6}+2＞0$，得$b=\sqrt{6}+2$
因此$a+b=(\sqrt{6}-2)+(\sqrt{6}+2)=2\sqrt{6}$
方法2：
由已知得$a＞0,b＞0$，故$a+b＞0$
计算平方：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
代入$a^2=10-4\sqrt{6}$，$b^2=10+4\sqrt{6}$：
$ab=\sqrt{(10-4\sqrt{6})(10+4\sqrt{6})}=\sqrt{10^2-(4\sqrt{6})^2}=\sqrt{100-96}=2$
则$(a+b)^2=(10-4\sqrt{6})+(10+4\sqrt{6})+2×2=24$
因此$a+b=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
最终
方法1：
对a化简：
$a=\sqrt{10-4\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{6})^2 - 2·\sqrt{6}·2 + 2^2}=\sqrt{(\sqrt{6}-2)^2}$
由$\sqrt{6}＞2$，得$a=\sqrt{6}-2$
对b化简：
$b=\sqrt{10+4\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{6})^2 + 2·\sqrt{6}·2 + 2^2}=\sqrt{(\sqrt{6}+2)^2}$
由$\sqrt{6}+2＞0$，得$b=\sqrt{6}+2$
因此$a+b=(\sqrt{6}-2)+(\sqrt{6}+2)=2\sqrt{6}$
方法2：
由已知得$a＞0,b＞0$，故$a+b＞0$
计算平方：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
代入$a^2=10-4\sqrt{6}$，$b^2=10+4\sqrt{6}$：
$ab=\sqrt{(10-4\sqrt{6})(10+4\sqrt{6})}=\sqrt{10^2-(4\sqrt{6})^2}=\sqrt{100-96}=2$
则$(a+b)^2=(10-4\sqrt{6})+(10+4\sqrt{6})+2×2=24$
因此$a+b=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
最终
【变式1】(1)(一题多解)计算：$\sqrt{3+\sqrt{5}} + \sqrt{3-\sqrt{5}} =$
$\sqrt{10}$
；答案
方法1：
因为$\sqrt{3+\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{2}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{5}+1)^2}{2}}=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}$,
$\sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{2}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{2}}=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}$,
所以$\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\sqrt{10}$.
方法2：$(\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}})^2=3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}+2\sqrt{3+\sqrt{5}}×\sqrt{3-\sqrt{5}}=6+2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}=6+2×2=10$,所以$\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{10}$.
因为$\sqrt{3+\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{2}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{5}+1)^2}{2}}=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}$,
$\sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{2}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{2}}=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}$,
所以$\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\sqrt{10}$.
方法2：$(\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}})^2=3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}+2\sqrt{3+\sqrt{5}}×\sqrt{3-\sqrt{5}}=6+2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}=6+2×2=10$,所以$\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{10}$.
(2)使等式$\sqrt{(a-3)(a^2 - 9)}=(3 - a)\sqrt{a + 3}$成立的实数$a$的取值范围为
[-3,3]
。答案
$\sqrt{(a-3)(a^2-9)}=\sqrt{(a-3)^2(a+3)}=|a-3|\sqrt{a+3}$.
要使$|a-3|\sqrt{a+3}=(3-a)\sqrt{a+3}$成立，
需$\begin{cases}a-3≤0,\\a+3≥0,\end{cases}$解得$-3≤ a≤3$,
即实数$a$的取值范围为$[-3,3]$.
要使$|a-3|\sqrt{a+3}=(3-a)\sqrt{a+3}$成立，
需$\begin{cases}a-3≤0,\\a+3≥0,\end{cases}$解得$-3≤ a≤3$,
即实数$a$的取值范围为$[-3,3]$.
【典例2】(1) $(2\dfrac{1}{4})^{\frac{1}{2}} - 4×(\dfrac{16}{49})^{-\frac{1}{2}} - 2^{2+\sqrt{3}} × 8^{-\frac{\sqrt{3}}{3}} - (\dfrac{16}{81})^{-\frac{1}{4}}$；
(2) $(\dfrac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} · \dfrac{\sqrt{(4ab^{-1})^3}}{(0.1)^{-1} · (a^3b^{-3})^{\frac{1}{2}}}(a＞0,b＞0)$。
解题指导 将根式化成分数指数幂，再利用指数幂的运算性质即可求解。
答案 解:(1)原式$=(\dfrac{9}{4})^{\frac{1}{2}} - 4×(\dfrac{4}{7})^{2×(-\frac{1}{2})} - 2^{2+\sqrt{3}} × 2^{3×(-\frac{\sqrt{3}}{3})} - (\dfrac{2}{3})^{4×(-\frac{1}{4})}$
$=\dfrac{3}{2} - 4×\dfrac{7}{4} - 2^{2+\sqrt{3}} × 2^{-\sqrt{3}} - \dfrac{3}{2}$
$=\dfrac{3}{2} -7 -4 - \dfrac{3}{2}$
$=-11.$
(2)因为$a＞0,b＞0,$
所以$(\dfrac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} · \dfrac{\sqrt{(4ab^{-1})^3}}{(0.1)^{-1}(a^3b^{-3})^{\frac{1}{2}}}$
$=(2^{-2})^{-\frac{1}{2}} · \dfrac{(4ab^{-1})^{\frac{3}{2}}}{10a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}}$
$=[2^{(-2)×(-\frac{1}{2})} × 4^{\frac{3}{2}} ÷ 10] · \dfrac{a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}}{a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}}$
$=(2× 8 ÷10)a^{\frac{3}{2}-\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}-(-\frac{3}{2})}$
$=\dfrac{8}{5}a^0b^0=\dfrac{8}{5}.$
(2) $(\dfrac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} · \dfrac{\sqrt{(4ab^{-1})^3}}{(0.1)^{-1} · (a^3b^{-3})^{\frac{1}{2}}}(a＞0,b＞0)$。
解题指导 将根式化成分数指数幂，再利用指数幂的运算性质即可求解。
答案 解:(1)原式$=(\dfrac{9}{4})^{\frac{1}{2}} - 4×(\dfrac{4}{7})^{2×(-\frac{1}{2})} - 2^{2+\sqrt{3}} × 2^{3×(-\frac{\sqrt{3}}{3})} - (\dfrac{2}{3})^{4×(-\frac{1}{4})}$
$=\dfrac{3}{2} - 4×\dfrac{7}{4} - 2^{2+\sqrt{3}} × 2^{-\sqrt{3}} - \dfrac{3}{2}$
$=\dfrac{3}{2} -7 -4 - \dfrac{3}{2}$
$=-11.$
(2)因为$a＞0,b＞0,$
所以$(\dfrac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} · \dfrac{\sqrt{(4ab^{-1})^3}}{(0.1)^{-1}(a^3b^{-3})^{\frac{1}{2}}}$
$=(2^{-2})^{-\frac{1}{2}} · \dfrac{(4ab^{-1})^{\frac{3}{2}}}{10a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}}$
$=[2^{(-2)×(-\frac{1}{2})} × 4^{\frac{3}{2}} ÷ 10] · \dfrac{a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}}{a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}}$
$=(2× 8 ÷10)a^{\frac{3}{2}-\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}-(-\frac{3}{2})}$
$=\dfrac{8}{5}a^0b^0=\dfrac{8}{5}.$
答案
解：
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\frac{9}{4})^{\frac{1}{2}} - 4×(\frac{16}{49})^{-\frac{1}{2}} - 2^{2+\sqrt{3}} × 8^{-\frac{\sqrt{3}}{3}} - (\frac{16}{81})^{-\frac{1}{4}}\\&=[(\frac{3}{2})^2]^{\frac{1}{2}} - 4×[(\frac{4}{7})^2]^{-\frac{1}{2}} - 2^{2+\sqrt{3}} × (2^3)^{-\frac{\sqrt{3}}{3}} - [(\frac{2}{3})^4]^{-\frac{1}{4}}\\&=\frac{3}{2} - 4×\frac{7}{4} - 2^{2+\sqrt{3}-\sqrt{3}} - \frac{3}{2}\\&=\frac{3}{2} -7 -4 -\frac{3}{2}\\&=-11\end{aligned}$
(2) 由$a＞0,b＞0$，将根式转化为分数指数幂运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(2^{-2})^{-\frac{1}{2}} · \frac{(4ab^{-1})^{\frac{3}{2}}}{(10^{-1})^{-1} · (a^3b^{-3})^{\frac{1}{2}}}\\&=2 · \frac{4^{\frac{3}{2}} · a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}}{10 · a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}}\\&=2×\frac{8}{10}× a^{\frac{3}{2}-\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}}\\&=\frac{8}{5}a^0b^0\\&=\frac{8}{5}\end{aligned}$
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\frac{9}{4})^{\frac{1}{2}} - 4×(\frac{16}{49})^{-\frac{1}{2}} - 2^{2+\sqrt{3}} × 8^{-\frac{\sqrt{3}}{3}} - (\frac{16}{81})^{-\frac{1}{4}}\\&=[(\frac{3}{2})^2]^{\frac{1}{2}} - 4×[(\frac{4}{7})^2]^{-\frac{1}{2}} - 2^{2+\sqrt{3}} × (2^3)^{-\frac{\sqrt{3}}{3}} - [(\frac{2}{3})^4]^{-\frac{1}{4}}\\&=\frac{3}{2} - 4×\frac{7}{4} - 2^{2+\sqrt{3}-\sqrt{3}} - \frac{3}{2}\\&=\frac{3}{2} -7 -4 -\frac{3}{2}\\&=-11\end{aligned}$
(2) 由$a＞0,b＞0$，将根式转化为分数指数幂运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(2^{-2})^{-\frac{1}{2}} · \frac{(4ab^{-1})^{\frac{3}{2}}}{(10^{-1})^{-1} · (a^3b^{-3})^{\frac{1}{2}}}\\&=2 · \frac{4^{\frac{3}{2}} · a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}}{10 · a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}}\\&=2×\frac{8}{10}× a^{\frac{3}{2}-\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}}\\&=\frac{8}{5}a^0b^0\\&=\frac{8}{5}\end{aligned}$
