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1. 如图是本地区一种产品 30 天的销售情况图象,图 1 是产品日销售量 y(件)与时间t(天)之间的函数关系,图 2 是一件产品的销售利润 z(元)与时间 t(天)之间的函数关系.已知日销售利润$=$日销售量$×$一件产品的销售利润,则下列结论错误的是 （
A.第 24 天的销售量为 200 件
B.第 10 天销售一件产品的利润是 15 元
C.第 12 天与第 30 天这两天的日销售利润相等
D.第 30 天的日销售利润是 750 元
C
）A.第 24 天的销售量为 200 件
B.第 10 天销售一件产品的利润是 15 元
C.第 12 天与第 30 天这两天的日销售利润相等
D.第 30 天的日销售利润是 750 元
答案
1. C 提示:由题图可知,$y=\begin{cases}\dfrac{25}{6}t+100(0≤ t≤24),\\-\dfrac{25}{3}t+400(24＜t≤30),\end{cases}$
$z=\begin{cases}-t+25(0≤ t≤20),\\5(20＜t≤30).\end{cases}$ 由题图1知,选项A正确;当$t=10$时,$z=-10+25=15$,故选项B正确;第12天的销售件数是$y=\dfrac{25}{6}×12+100=150$,一件产品的利润是$z=-12+25=13$(元),所以日销售利润是$150×13=1950$(元),第30天的销售件数是150,一件产品的利润是5元,日销售利润是750元,故选项C错误,选项D正确.
$z=\begin{cases}-t+25(0≤ t≤20),\\5(20＜t≤30).\end{cases}$ 由题图1知,选项A正确;当$t=10$时,$z=-10+25=15$,故选项B正确;第12天的销售件数是$y=\dfrac{25}{6}×12+100=150$,一件产品的利润是$z=-12+25=13$(元),所以日销售利润是$150×13=1950$(元),第30天的销售件数是150,一件产品的利润是5元,日销售利润是750元,故选项C错误,选项D正确.
2. 一天,小明从家出发匀速步行去学校上学.几分钟后,在家休假的爸爸发现小明忘带数学书,于是爸爸立即匀速跑步去追小明,爸爸追上小明后又以原速原路跑回家.小
明拿到书后以原速的$\dfrac{5}{4}$快步赶往学校,并在从家出发23 min后到校(小明被爸爸追上时交流时间忽略不计).两人之间相距的路程 y(m) 与小明从家出发到学校的步行时间 x(min) 之间的函数关系如图所示,则小明家到学校的路程为
明拿到书后以原速的$\dfrac{5}{4}$快步赶往学校,并在从家出发23 min后到校(小明被爸爸追上时交流时间忽略不计).两人之间相距的路程 y(m) 与小明从家出发到学校的步行时间 x(min) 之间的函数关系如图所示,则小明家到学校的路程为
2080
m.答案
2. 2 080 提示:设小明原速度为$x$ m/min,爸爸跑步速度为$y$ m/min,则小明拿到书后的速度为$1.25x$ m/min,小明家到学校的路程为$11x+(23-11)×1.25x=26x$ m.
根据题意,得$\begin{cases}11x=(16-11)y,\\(16-11)×(1.25x+y)=1\ 380,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=80,\\y=176.\end{cases}$ 所以小明家到学校的路程为$80×26=2\ 080(\mathrm{m})$.
根据题意,得$\begin{cases}11x=(16-11)y,\\(16-11)×(1.25x+y)=1\ 380,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=80,\\y=176.\end{cases}$ 所以小明家到学校的路程为$80×26=2\ 080(\mathrm{m})$.
3. 一列快车和一列慢车同时从甲地出发,分别以速度 $v_1,v_2$(单位:km/h,且 $v_1＞2v_2$)匀速驶向乙地,快车到达乙地后停留了2 h. 沿原路仍以速度 $v_1$ 匀速返回甲地. 设慢车行驶的时间为 $x$(h),两车之间的距离为 $y$(km). 图中的折线表示从慢车出发至慢车到达乙地的过程中,$y$ 与 $x$ 之间的函数关系.
根据图象进行以下探究:
(1) 甲、乙两地之间的距离为
(2) 求线段 $AB,CD$ 所表示的 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式.
(3) 慢车出发多长时间后,两车相距 480 km?
根据图象进行以下探究:
(1) 甲、乙两地之间的距离为
900
km.(2) 求线段 $AB,CD$ 所表示的 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式.
(3) 慢车出发多长时间后,两车相距 480 km?
答案
3. 解:(1) 900
(2) 由题图,可知慢车的速度为$\dfrac{900}{15}=60(\mathrm{km/h})$,快车的速度为$\dfrac{900×2-10×60}{10-2}=150(\mathrm{km/h})$.
因为点A表示快车到达乙地,所以此时快车行驶的时间为$\dfrac{900}{150}=6(\mathrm{h})$,两车距离为$900-60×6=540(\mathrm{km})$,所以点$A(6,540)$.
设线段AB所表示的$y$与$x$之间的函数表达式为$y_1=-60x+b$.把点$A(6,540)$代入,得$-60×6+b=540$,解得$b=900$.所以线段AB所表示的$y$与$x$之间的函数表达式为$y_1=-60x+900(6≤ x≤8)$.因为两车的速度之和为$60+150=210(\mathrm{km/h})$,所以设线段CD所表示的$y$与$x$之间的函数表达式为$y_2=210x+n$.把点$C(10,0)$代入,得$210×10+n=0$,解得$n=-2\ 100$.因为快车到达乙地后停留了2 h,所以点D的横坐标为14,所以线段CD所表示的$y$与$x$之间的函数表达式为$y_2=210x-2\ 100(10≤ x≤14)$.
(3) 当$x=8$时,$y_1=-60×8+900=420$.所以点$B(8,420)$.由(2)知点$A(6,540)$,因为$420＜480＜540$,所以分以下情况讨论:①线段OA所表示的$y$与$x$之间的函数表达式为$y_3=90x(0≤ x＜6)$.令$y_3=480$,得$x=\dfrac{16}{3}$.②线段AB所表示的$y$与$x$之间的函数表达式为$y_1=-60x+900(6≤ x≤8)$.令$y_1=480$,得$x=7$.③线段CD所表示的$y$与$x$之间的函数表达式为$y_2=210x-2\ 100(10≤ x≤14)$.令$y_2=480$,得$x=\dfrac{86}{7}$.综上所述,慢车出发$\dfrac{16}{3}\ \mathrm{h}$或$7\ \mathrm{h}$或$\dfrac{86}{7}\ \mathrm{h}$后,两车相距480 km.
(2) 由题图,可知慢车的速度为$\dfrac{900}{15}=60(\mathrm{km/h})$,快车的速度为$\dfrac{900×2-10×60}{10-2}=150(\mathrm{km/h})$.
因为点A表示快车到达乙地,所以此时快车行驶的时间为$\dfrac{900}{150}=6(\mathrm{h})$,两车距离为$900-60×6=540(\mathrm{km})$,所以点$A(6,540)$.
设线段AB所表示的$y$与$x$之间的函数表达式为$y_1=-60x+b$.把点$A(6,540)$代入,得$-60×6+b=540$,解得$b=900$.所以线段AB所表示的$y$与$x$之间的函数表达式为$y_1=-60x+900(6≤ x≤8)$.因为两车的速度之和为$60+150=210(\mathrm{km/h})$,所以设线段CD所表示的$y$与$x$之间的函数表达式为$y_2=210x+n$.把点$C(10,0)$代入,得$210×10+n=0$,解得$n=-2\ 100$.因为快车到达乙地后停留了2 h,所以点D的横坐标为14,所以线段CD所表示的$y$与$x$之间的函数表达式为$y_2=210x-2\ 100(10≤ x≤14)$.
(3) 当$x=8$时,$y_1=-60×8+900=420$.所以点$B(8,420)$.由(2)知点$A(6,540)$,因为$420＜480＜540$,所以分以下情况讨论:①线段OA所表示的$y$与$x$之间的函数表达式为$y_3=90x(0≤ x＜6)$.令$y_3=480$,得$x=\dfrac{16}{3}$.②线段AB所表示的$y$与$x$之间的函数表达式为$y_1=-60x+900(6≤ x≤8)$.令$y_1=480$,得$x=7$.③线段CD所表示的$y$与$x$之间的函数表达式为$y_2=210x-2\ 100(10≤ x≤14)$.令$y_2=480$,得$x=\dfrac{86}{7}$.综上所述,慢车出发$\dfrac{16}{3}\ \mathrm{h}$或$7\ \mathrm{h}$或$\dfrac{86}{7}\ \mathrm{h}$后,两车相距480 km.
