1 如图,下列各组角中,互为对顶角的是 ()

A.$∠1$和$∠2$
B.$∠1$和$∠3$
C.$∠2$和$∠4$
D.$∠2$和$∠5$

1.A

【分析】
解决这道题首先要明确对顶角的两个核心判定条件：①两个角有公共顶点；②一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，也就是两个角是两条直线相交形成的、没有公共边的角。接下来逐一判断每个选项的两个角是否同时满足这两个条件，就可以快速选出正确答案。
【解析】
根据对顶角的定义：有公共顶点，且两边分别互为反向延长线的两个角互为对顶角，对各选项逐一判断：
A. $∠1$和$∠2$有公共顶点，且$∠1$的两条边分别是$∠2$两条边的反向延长线，符合对顶角定义，该选项正确；
B. $∠1$和$∠3$没有公共顶点，不符合对顶角的判定要求，该选项错误；
C. $∠2$和$∠4$没有公共顶点，不符合对顶角的判定要求，该选项错误；
D. $∠2$和$∠5$顶点不相同，且两边不互为反向延长线，不符合对顶角的判定要求，该选项错误。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
对顶角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对顶角的判定，解题时只要抓住对顶角“有公共顶点、两边互为反向延长线”两个核心特征就能快速判断，注意不要和同位角、内错角等其他位置关系的角混淆。
【难度系数】
0.9

2 如图,直线AB,CD相交于点O,且∠EOB=90°,则∠DOE的余角是.

2. $∠ COA,∠ BOD$

【分析】
解题时先回忆余角的定义：和为90°的两个角互为余角。首先结合已知∠EOB=90°，找出与∠DOE相加等于90°的角；再根据直线相交的对顶角相等的性质，找到和这个角相等的对顶角，即为所有符合条件的余角，避免漏解。
【解析】
∵ ∠EOB=90°，
∴ ∠DOE + ∠BOD = ∠EOB = 90°，根据余角的定义，∠BOD是∠DOE的余角。
又
∵ 直线AB、CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴ ∠AOC = ∠BOD（对顶角相等），
∴ ∠DOE + ∠AOC = 90°，即∠AOC也是∠DOE的余角。
综上，∠DOE的余角是∠COA和∠BOD。
【答案】
∠COA、∠BOD
【知识点】
余角的定义；对顶角的性质
【点评】
本题是基础几何题，需要结合图形特征，灵活运用余角定义和对顶角性质解题，注意不要遗漏和直接余角相等的对顶角，避免漏解。
【难度系数】
0.7

3 [2024 广西]已知∠1与∠2互为对顶角，∠1=35°，则∠2= ______°.

3. 35

【分析】
解题时先提取题目关键信息：已知∠1和∠2互为对顶角，且给出了∠1的度数。首先回忆对顶角的基本性质：对顶角相等，说明两个对顶角的度数完全相同，只需将已知的∠1的度数直接代入，就能得到∠2的度数。
【解析】
解：
∵∠1与∠2互为对顶角，根据对顶角相等的性质，
∴∠2 = ∠1，
又
∵∠1 = 35°，
∴∠2 = 35°。
【答案】
35
【知识点】
对顶角的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是牢记对顶角相等的性质，无需复杂运算就能快速得出结果。
【难度系数】
0.95

4 分类讨论思想 两条直线相交所成的四个角中，有两个角的度数分别是$(2x - 100)°$和$(100 - x)°$，则$x=$.

4. $\dfrac{110}{3}$或90

【分析】
两条直线相交所成的四个角中，任意两个角仅存在两种关系：一是对顶角，此时两角大小相等；二是邻补角，此时两角之和为180°。本题未明确两个角的对应关系，因此需要分类讨论两种情况，分别列方程求解，最后验证所得角度是否为正（角度不能为负），舍去不符合实际的解即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若两个角为对顶角，根据对顶角相等列方程：
$2x-10=100-x$
移项合并同类项得：$3x=110$
解得：$x=\dfrac{110}{3}$
此时两个角度数均为$\dfrac{190}{3}°$，为正数，符合要求。
2. 若两个角为邻补角，根据邻补角和为180°列方程：
$(2x-10)+(100-x)=180$
化简得：$x+90=180$
解得：$x=90$
此时两个角度数分别为170°、10°，均为正数且和为180°，符合要求。
综上，$x$的值为$\dfrac{110}{3}$或$90$。
【答案】
$\dfrac{110}{3}$或$90$
【知识点】
对顶角的性质；邻补角的性质；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查两条直线相交形成的角的关系，解题关键是明确无特殊说明时要分对顶角、邻补角两种情况讨论，避免漏解，同时要注意验证解是否符合角度的实际意义。
【难度系数】
0.65

5 如图，$∠ 1$与$∠ 2$互为补角，则图中与$∠ 1$相等的角（除自身外）共有________个。

5. 3

【分析】
解题时可按以下思路推导：首先回忆对顶角相等、同角的补角相等的相关性质。第一步，先找∠1的对顶角，根据对顶角性质，它与∠1相等；第二步，结合已知∠1和∠2互补，找所有与∠2互补的角，根据同角的补角相等，这些角都和∠1相等，最后统计除∠1自身外相等角的总个数即可。
【解析】
设AB与DE交于点F，AC与DE交于点G：
1. 因为直线AB、DE相交于点F，根据对顶角相等，可得∠1=∠BFD，这是第1个与∠1相等的角；
2. 已知∠1与∠2互为补角，即$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$；
3. 因为DE是直线，直线AC、DE相交于点G，根据邻补角的定义，$∠ 2 + ∠ CGD = 180°$，结合$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，根据同角的补角相等，可得$∠ CGD = ∠ 1$，这是第2个与∠1相等的角；
4. 同理，$∠ 2 + ∠ AGE = 180°$，根据同角的补角相等，可得$∠ AGE = ∠ 1$，这是第3个与∠1相等的角。
综上，除∠1自身外，与∠1相等的角共有3个。
【答案】
3
【知识点】
对顶角的性质；补角的性质；邻补角的定义
【点评】
本题考查相交线中角的数量关系，解题时要结合图形逐一梳理角的关系，避免漏数或多数，熟练掌握对顶角、补角的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

6 如图,直线 AB,CD 相交于点 O,∠AOC=70°,OE 把∠BOD 分成两个角,且∠BOE:∠EOD=2:3.求∠EOD 的度数.

6. 因为直线 AB,CD 相交于点 O,$∠ AOC=70°$,所以$∠ BOD=∠ AOC=70°$. 因为$∠ BOE : ∠ EOD = 2 : 3$,所以$∠ EOD = \dfrac{3}{5}∠ BOD=42°$

【分析】
解题时首先观察图形特征：直线AB与CD交于点O，可得∠AOC与∠BOD是对顶角，根据对顶角相等的性质可先求出∠BOD的度数；再结合∠BOE与∠EOD的比例关系，将∠BOD按比例分配，即可求出∠EOD的度数。
【解析】
解：
∵直线AB，CD相交于点O，∠AOC=70°，
∴∠BOD=∠AOC=70°（对顶角相等）。
∵∠BOE:∠EOD=2:3，
∴∠EOD = $\dfrac{3}{2+3} × ∠BOD = \dfrac{3}{5} × 70° = 42°$。
【答案】
42°
【知识点】
对顶角相等；角度比例计算
【点评】
本题是基础的角度运算题，核心考查对顶角性质的应用，解题时先利用对顶角相等得到待分角的度数，再结合比例关系计算目标角，难度较低，掌握基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.85

7 教材 P172 例 1 变式 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OE 是$∠ AOD$的平分线，$∠ FOC=90°$，$∠ 1=40°$，求$∠ 2$与$∠ 3$的度数.

7. 因为$∠ 1+∠ 3+∠ FOC=180°$,$∠ FOC=90°$,$∠ 1=40°$,所以$∠ BOC=∠ 1+∠ FOC=40°+90°=130°$,$∠ 3=180°-∠ FOC-∠ 1=180°-90°-40°=50°$.因为直线 AB,CD 相交于点 O,所以$∠ AOD=∠ BOC=130°$. 又因为 OE 平分$∠ AOD$,所以$∠ 2=\dfrac{1}{2}∠ AOD=65°$

【分析】
解题时先梳理已知条件和角的位置关系：首先，∠1、∠FOC、∠3在直线AB的同侧，三者之和为平角180°，可先据此求出∠3的度数；其次，∠AOD和∠BOC是直线AB、CD相交形成的对顶角，先求出∠BOC的度数，再利用对顶角相等得到∠AOD的度数；最后根据OE是∠AOD的平分线，利用角平分线的性质即可求出∠2的度数。
【解析】
因为直线AB为平角，所以$∠ 1+∠ 3+∠ FOC=180°$，
已知$∠ FOC=90°$，$∠ 1=40°$，
所以$∠ 3=180°-∠ FOC-∠ 1=180°-90°-40°=50°$，
$∠ BOC=∠ 1+∠ FOC=40°+90°=130°$。
因为直线AB，CD相交于点O，根据对顶角相等，可得$∠ AOD=∠ BOC=130°$。
又因为OE平分$∠ AOD$，所以$∠ 2=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×130°=65°$。
【答案】
$∠ 2=65°$，$∠ 3=50°$
【知识点】
平角的定义；对顶角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是相交线相关角度计算的基础题型，解题关键是理清各角之间的数量关系和位置关系，熟练运用平角、对顶角、角平分线的相关性质即可求解。
【难度系数】
0.8