登录
5. 有一组被墨水污染的数据:4,17,7,14,★,★,★,16,10,4,4,11,其箱线图如图所示,
,下列说法正确的是(填序号). ① 这组数据的第一四分位数是4;② 这组数据的中位数是10;③ 这组数据的第三四分位数是15;④ 被墨水污染的数据中,一个数是3,一个数是18.
,下列说法正确的是(填序号). ① 这组数据的第一四分位数是4;② 这组数据的中位数是10;③ 这组数据的第三四分位数是15;④ 被墨水污染的数据中,一个数是3,一个数是18.答案
①②③④
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先确定数据总个数为12，回忆箱线图的构成：从下到上依次对应数据的最小值、第一四分位数（25%分位数）、中位数（50%分位数）、第三四分位数（75%分位数）、最大值，先从图中提取这几个关键值：最小值3、第一四分位数4、中位数10、第三四分位数15、最大值18。2. 计算分位数的位置：n=12时，25%×12=3，所以第一四分位数是排序后第3、4个数据的平均数；50%×12=6，中位数是第6、7个数据的平均数；75%×12=9，第三四分位数是第9、10个数据的平均数。3. 将已知的未污染数据从小到大排序，结合提取的关键值推断被污染数据的特征，逐一验证四个说法是否正确。
【解析】
这组数据共12个，分析如下：
1. 由箱线图可知数据最小值为3，最大值为18，而已知的未污染数据中没有3和18，因此被污染的3个数里一定有3和18，故④正确。
2. 第一四分位数是排序后第3、4个数据的平均数：将已有的数据和3排序后，前4个数为3,4,4,4，因此第一四分位数为$\frac{4+4}{2}=4$，故①正确。
3. 中位数是排序后第6、7个数据的平均数：结合已知数据和中位数为10的特征，可推断排序后第6、7个数的平均数为10，计算得中位数是10，故②正确。
4. 第三四分位数是排序后第9、10个数据的平均数：已知未污染数据中包含14和16，排序后第9个为14、第10个为16，因此第三四分位数为$\frac{14+16}{2}=15$，故③正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
箱线图的认识，中位数的计算，四分位数的计算
【点评】
本题结合箱线图考查统计量的计算，需要熟练掌握箱线图各部分的含义，结合分位数的计算规则推断未知数据，侧重考查数据分析能力。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 先确定数据总个数为12，回忆箱线图的构成：从下到上依次对应数据的最小值、第一四分位数（25%分位数）、中位数（50%分位数）、第三四分位数（75%分位数）、最大值，先从图中提取这几个关键值：最小值3、第一四分位数4、中位数10、第三四分位数15、最大值18。2. 计算分位数的位置：n=12时，25%×12=3，所以第一四分位数是排序后第3、4个数据的平均数；50%×12=6，中位数是第6、7个数据的平均数；75%×12=9，第三四分位数是第9、10个数据的平均数。3. 将已知的未污染数据从小到大排序，结合提取的关键值推断被污染数据的特征，逐一验证四个说法是否正确。
【解析】
这组数据共12个，分析如下：
1. 由箱线图可知数据最小值为3，最大值为18，而已知的未污染数据中没有3和18，因此被污染的3个数里一定有3和18，故④正确。
2. 第一四分位数是排序后第3、4个数据的平均数：将已有的数据和3排序后，前4个数为3,4,4,4，因此第一四分位数为$\frac{4+4}{2}=4$，故①正确。
3. 中位数是排序后第6、7个数据的平均数：结合已知数据和中位数为10的特征，可推断排序后第6、7个数的平均数为10，计算得中位数是10，故②正确。
4. 第三四分位数是排序后第9、10个数据的平均数：已知未污染数据中包含14和16，排序后第9个为14、第10个为16，因此第三四分位数为$\frac{14+16}{2}=15$，故③正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
箱线图的认识，中位数的计算，四分位数的计算
【点评】
本题结合箱线图考查统计量的计算，需要熟练掌握箱线图各部分的含义，结合分位数的计算规则推断未知数据，侧重考查数据分析能力。
【难度系数】
0.6
6. 一家汽车零售店的9名销售人员10月份销售的汽车数量(单位:辆)如下：
12 10 3 9 10 12 2 6 14
（1）计算汽车销售数量的四分位数；
（2）画箱线图并分析汽车销售数量的特点.
12 10 3 9 10 12 2 6 14
（1）计算汽车销售数量的四分位数；
（2）画箱线图并分析汽车销售数量的特点.
答案
解：
(1) 先将9名销售人员的汽车销售数据从小到大重新排序：
2，3，6，9，10，10，12，12，14
数据总个数$n=9$：
中位数（第50百分位数，$Q_2$）的位置为$\frac{n+1}{2}=5$，对应排序后第5个数据，得$Q_2=10$；
下四分位数（第25百分位数，$Q_1$）的位置为$\frac{n+1}{4}=2.5$，为排序后第2项和第3项数据的平均值：
$Q_1=\frac{3+6}{2}=4.5$；
上四分位数（第75百分位数，$Q_3$）的位置为$\frac{3(n+1)}{4}=7.5$，为排序后第7项和第8项数据的平均值：
$Q_3=\frac{12+12}{2}=12$。
即该组数据的四分位数为：下四分位数4.5，中位数10，上四分位数12。
(2) 箱线图绘制：
1. 绘制数轴，标注刻度范围为2~14，单位为辆；
2. 在数轴上依次标记最小值2、下四分位数4.5、中位数10、上四分位数12、最大值14五个特征点；
3. 以$Q_1$到$Q_3$的区间为边长绘制矩形箱体，在中位数10的位置绘制竖线分割箱体，再分别从箱体左右两端向外绘制线段，连接到最小值2和最大值14，即得到对应的箱线图。
销售数量特点：
该店销售人员10月汽车销量最低为2辆，最高为14辆，不同销售人员的销量差距较大；有50%的销售人员销量在4.5辆到12辆之间，半数销售人员销量不低于10辆，75%的销售人员销量不超过12辆；低于中位数的销量分布更分散，高于中位数的销量分布相对集中。
(1) 先将9名销售人员的汽车销售数据从小到大重新排序：
2，3，6，9，10，10，12，12，14
数据总个数$n=9$：
中位数（第50百分位数，$Q_2$）的位置为$\frac{n+1}{2}=5$，对应排序后第5个数据，得$Q_2=10$；
下四分位数（第25百分位数，$Q_1$）的位置为$\frac{n+1}{4}=2.5$，为排序后第2项和第3项数据的平均值：
$Q_1=\frac{3+6}{2}=4.5$；
上四分位数（第75百分位数，$Q_3$）的位置为$\frac{3(n+1)}{4}=7.5$，为排序后第7项和第8项数据的平均值：
$Q_3=\frac{12+12}{2}=12$。
即该组数据的四分位数为：下四分位数4.5，中位数10，上四分位数12。
(2) 箱线图绘制：
1. 绘制数轴，标注刻度范围为2~14，单位为辆；
2. 在数轴上依次标记最小值2、下四分位数4.5、中位数10、上四分位数12、最大值14五个特征点；
3. 以$Q_1$到$Q_3$的区间为边长绘制矩形箱体，在中位数10的位置绘制竖线分割箱体，再分别从箱体左右两端向外绘制线段，连接到最小值2和最大值14，即得到对应的箱线图。
销售数量特点：
该店销售人员10月汽车销量最低为2辆，最高为14辆，不同销售人员的销量差距较大；有50%的销售人员销量在4.5辆到12辆之间，半数销售人员销量不低于10辆，75%的销售人员销量不超过12辆；低于中位数的销量分布更分散，高于中位数的销量分布相对集中。
解析
【分析】
解题时先处理第一问四分位数计算：首先要明确四分位数是基于有序数据计算的，排序是第一步的核心操作，不能直接用原始无序数据计算；再结合数据总个数n=9，按照初中阶段所学的分位数位置计算公式，分别求出下四分位数、中位数、上四分位数的位置，若位置为整数直接取对应位置的数据，若为小数则取相邻两个位置数据的平均值即可得到结果。
第二问绘制箱线图前，先确定箱线图必需的5个特征值：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，再按照标注数轴、标记特征点、绘制箱体、连接极值的步骤作图；分析销售特点时，可从极值判断整体销量差距，从箱体范围判断中间半数人员的销量区间，从中位数的位置判断上下部分数据的集中或分散趋势。
【解析】
(1) 首先将9名销售人员的汽车销售数据从小到大排序：
2，3，6，9，10，10，12，12，14
已知数据总个数$n=9$：
① 中位数（第50百分位数$Q_2$）的位置为$\frac{n+1}{2}=\frac{9+1}{2}=5$，对应排序后第5个数据，因此$Q_2=10$；
② 下四分位数（第25百分位数$Q_1$）的位置为$\frac{n+1}{4}=\frac{9+1}{4}=2.5$，为排序后第2项和第3项数据的平均值，因此$Q_1=\frac{3+6}{2}=4.5$；
③ 上四分位数（第75百分位数$Q_3$）的位置为$\frac{3(n+1)}{4}=\frac{3×(9+1)}{4}=7.5$，为排序后第7项和第8项数据的平均值，因此$Q_3=\frac{12+12}{2}=12$。
(2) 箱线图绘制步骤：
1. 绘制数轴，标注刻度范围为2~14，单位为辆；
2. 在数轴上依次标记最小值2、下四分位数4.5、中位数10、上四分位数12、最大值14五个特征点；
3. 以$Q_1$到$Q_3$的区间为长绘制矩形箱体，在中位数10的位置绘制竖线分割箱体，再分别从箱体左右两端向外绘制线段，连接到最小值2和最大值14，即得到对应的箱线图。
销售数量特点分析：
该店销售人员10月汽车销量最低为2辆，最高为14辆，不同销售人员的销量差距较大；有50%的销售人员销量在4.5辆到12辆之间，半数销售人员销量不低于10辆，75%的销售人员销量不超过12辆；低于中位数的销量分布更分散，高于中位数的销量分布相对集中。
【答案】
(1) 下四分位数为4.5辆，中位数为10辆，上四分位数为12辆；
(2) 箱线图按上述步骤绘制，销售特点：不同人员销量差距较大，半数人员销量在4.5~12辆之间，高销量段分布更集中。
【知识点】
四分位数计算，箱线图绘制，统计数据分析
【点评】
本题考查统计中描述数据分布特征的基础方法，要求掌握有序数据的分位数计算逻辑，能通过箱线图直观解读数据的集中趋势和离散程度，是统计应用类的基础常考题，解题时注意不要遗漏数据排序的步骤。
【难度系数】
0.7
解题时先处理第一问四分位数计算：首先要明确四分位数是基于有序数据计算的，排序是第一步的核心操作，不能直接用原始无序数据计算；再结合数据总个数n=9，按照初中阶段所学的分位数位置计算公式，分别求出下四分位数、中位数、上四分位数的位置，若位置为整数直接取对应位置的数据，若为小数则取相邻两个位置数据的平均值即可得到结果。
第二问绘制箱线图前，先确定箱线图必需的5个特征值：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，再按照标注数轴、标记特征点、绘制箱体、连接极值的步骤作图；分析销售特点时，可从极值判断整体销量差距，从箱体范围判断中间半数人员的销量区间，从中位数的位置判断上下部分数据的集中或分散趋势。
【解析】
(1) 首先将9名销售人员的汽车销售数据从小到大排序：
2，3，6，9，10，10，12，12，14
已知数据总个数$n=9$：
① 中位数（第50百分位数$Q_2$）的位置为$\frac{n+1}{2}=\frac{9+1}{2}=5$，对应排序后第5个数据，因此$Q_2=10$；
② 下四分位数（第25百分位数$Q_1$）的位置为$\frac{n+1}{4}=\frac{9+1}{4}=2.5$，为排序后第2项和第3项数据的平均值，因此$Q_1=\frac{3+6}{2}=4.5$；
③ 上四分位数（第75百分位数$Q_3$）的位置为$\frac{3(n+1)}{4}=\frac{3×(9+1)}{4}=7.5$，为排序后第7项和第8项数据的平均值，因此$Q_3=\frac{12+12}{2}=12$。
(2) 箱线图绘制步骤：
1. 绘制数轴，标注刻度范围为2~14，单位为辆；
2. 在数轴上依次标记最小值2、下四分位数4.5、中位数10、上四分位数12、最大值14五个特征点；
3. 以$Q_1$到$Q_3$的区间为长绘制矩形箱体，在中位数10的位置绘制竖线分割箱体，再分别从箱体左右两端向外绘制线段，连接到最小值2和最大值14，即得到对应的箱线图。
销售数量特点分析：
该店销售人员10月汽车销量最低为2辆，最高为14辆，不同销售人员的销量差距较大；有50%的销售人员销量在4.5辆到12辆之间，半数销售人员销量不低于10辆，75%的销售人员销量不超过12辆；低于中位数的销量分布更分散，高于中位数的销量分布相对集中。
【答案】
(1) 下四分位数为4.5辆，中位数为10辆，上四分位数为12辆；
(2) 箱线图按上述步骤绘制，销售特点：不同人员销量差距较大，半数人员销量在4.5~12辆之间，高销量段分布更集中。
【知识点】
四分位数计算，箱线图绘制，统计数据分析
【点评】
本题考查统计中描述数据分布特征的基础方法，要求掌握有序数据的分位数计算逻辑，能通过箱线图直观解读数据的集中趋势和离散程度，是统计应用类的基础常考题，解题时注意不要遗漏数据排序的步骤。
【难度系数】
0.7
a. 成绩频数分布表：
b. 成绩在 $70 ≤ x ＜ 80$ 这一组的是(单位:分)：
70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，成绩的中位数是 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 .
（2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分.乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩.”你认为乙的说法正确吗？请说明理由.
（3）请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价.
b. 成绩在 $70 ≤ x ＜ 80$ 这一组的是(单位:分)：
70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，成绩的中位数是 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 .
（2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分.乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩.”你认为乙的说法正确吗？请说明理由.
（3）请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价.
答案
（1）$\boldsymbol{78.5}$，$\boldsymbol{44\%}$
解析
【分析】
解决本题首先要明确各统计量的定义：①中位数是将数据从小到大排列后，偶数个数据取中间两个数的平均数，奇数个数据取中间的数；②百分比为符合条件的数量除以总数量乘100%。第一问先计算总人数，确定中位数所在的分数组，再结合给出的70~80分段的具体数据计算中位数，再统计不低于80分的人数计算占比；第二问结合中位数的意义判断，中位数代表数据的中等水平，高于中位数才说明成绩超过一半学生；第三问结合各分数段的占比情况合理评价即可。
【解析】
（1）先计算总测试人数：$7+9+12+16+6=50$（人）
中位数为50个成绩从小到大排列后，第25、26个成绩的平均数：
前两组（$50≤ x＜60$、$60≤ x＜70$）频数和为$7+9=16$，即第1~16个成绩在前两组；$70≤ x＜80$组频数为12，即第17~28个成绩在该组，因此第25、26个成绩都在$70≤ x＜80$组内。
将该组成绩从小到大排列：70,71,72,72,74,77,78,78,78,79,79,79，该组内第$25-16=9$个成绩为78，第$26-16=10$个成绩为79，因此中位数为$\frac{78+79}{2}=78.5$分。
成绩不低于80分的人数为$16+6=22$人，占比为$\frac{22}{50}×100\%=44\%$。
（2）乙的说法不正确。理由：本次测试成绩的中位数是78.5分，代表有一半学生的成绩高于78.5分，甲的成绩77分小于78.5分，说明甲的成绩低于一半学生的成绩，因此乙的说法错误。
（3）示例：本次测试60分及以上的人数占比为86%，80分及以上的人数占比为44%，说明该校大部分学生对航空航天知识掌握情况较好，仅有少部分学生需要加强相关内容的学习。（合理即可）
【答案】
（1）$\boldsymbol{78.5}$，$\boldsymbol{44\%}$
（2）不正确，理由见解析；
（3）评价合理即可。
【知识点】
中位数，频数分布表，统计量的实际应用
【点评】
本题结合实际统计场景考查统计相关知识，既要求学生掌握中位数、百分比的计算方法，也要求学生理解各统计量的实际意义，能结合统计结果对实际情况作出合理分析，综合性较强。
【难度系数】
0.65
解决本题首先要明确各统计量的定义：①中位数是将数据从小到大排列后，偶数个数据取中间两个数的平均数，奇数个数据取中间的数；②百分比为符合条件的数量除以总数量乘100%。第一问先计算总人数，确定中位数所在的分数组，再结合给出的70~80分段的具体数据计算中位数，再统计不低于80分的人数计算占比；第二问结合中位数的意义判断，中位数代表数据的中等水平，高于中位数才说明成绩超过一半学生；第三问结合各分数段的占比情况合理评价即可。
【解析】
（1）先计算总测试人数：$7+9+12+16+6=50$（人）
中位数为50个成绩从小到大排列后，第25、26个成绩的平均数：
前两组（$50≤ x＜60$、$60≤ x＜70$）频数和为$7+9=16$，即第1~16个成绩在前两组；$70≤ x＜80$组频数为12，即第17~28个成绩在该组，因此第25、26个成绩都在$70≤ x＜80$组内。
将该组成绩从小到大排列：70,71,72,72,74,77,78,78,78,79,79,79，该组内第$25-16=9$个成绩为78，第$26-16=10$个成绩为79，因此中位数为$\frac{78+79}{2}=78.5$分。
成绩不低于80分的人数为$16+6=22$人，占比为$\frac{22}{50}×100\%=44\%$。
（2）乙的说法不正确。理由：本次测试成绩的中位数是78.5分，代表有一半学生的成绩高于78.5分，甲的成绩77分小于78.5分，说明甲的成绩低于一半学生的成绩，因此乙的说法错误。
（3）示例：本次测试60分及以上的人数占比为86%，80分及以上的人数占比为44%，说明该校大部分学生对航空航天知识掌握情况较好，仅有少部分学生需要加强相关内容的学习。（合理即可）
【答案】
（1）$\boldsymbol{78.5}$，$\boldsymbol{44\%}$
（2）不正确，理由见解析；
（3）评价合理即可。
【知识点】
中位数，频数分布表，统计量的实际应用
【点评】
本题结合实际统计场景考查统计相关知识，既要求学生掌握中位数、百分比的计算方法，也要求学生理解各统计量的实际意义，能结合统计结果对实际情况作出合理分析，综合性较强。
【难度系数】
0.65
