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8. 提升题 定义：$a$是不为1的有理数，我们把$\frac{1}{1-a}$称为$a$的“哈利数”.
如2的“哈利数”是$\frac{1}{1-2}=-1$，$-1$的“哈利数”是$\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$.
问题：已知$a_1=\frac{1}{3}$，$a_2$是$a_1$的“哈利数”，$a_3$是$a_2$的“哈利数”，$a_4$是$a_3$的“哈利数”，以此类推.解答下列问题：
(1)$a_2=$，$a_3=$，$a_4=$.
(2)请根据(1)中的计算结果，直接写出$a_{2024}a_{2025}a_{2026}=$.
(3)计算：$a_1+a_2+a_3+a_4+\dots+a_{1801}$.
如2的“哈利数”是$\frac{1}{1-2}=-1$，$-1$的“哈利数”是$\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$.
问题：已知$a_1=\frac{1}{3}$，$a_2$是$a_1$的“哈利数”，$a_3$是$a_2$的“哈利数”，$a_4$是$a_3$的“哈利数”，以此类推.解答下列问题：
(1)$a_2=$，$a_3=$，$a_4=$.
(2)请根据(1)中的计算结果，直接写出$a_{2024}a_{2025}a_{2026}=$.
(3)计算：$a_1+a_2+a_3+a_4+\dots+a_{1801}$.
答案
(1) $\boldsymbol{\frac{3}{2}}$，$\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
(2) $\boldsymbol{-1}$
(3) $\boldsymbol{-\frac{299}{3}}$
(2) $\boldsymbol{-1}$
(3) $\boldsymbol{-\frac{299}{3}}$
解析
【分析】
解题首先要明确“哈利数”的定义：对于不为1的有理数a，它的哈利数为$\frac{1}{1-a}$。解题思路如下：1. 第一问直接将前一个数代入哈利数的公式，依次计算$a_2、a_3、a_4$即可；2. 观察前4项的结果，可发现数列每3个数为一个周期循环，利用周期规律解决后面的问题：第二问先计算2024、2025、2026除以3的余数，对应到周期内的数值再相乘；第三问先计算一个周期的和，再判断1801个数包含多少个完整周期、余下几个数，将完整周期的总合加上余下数的和即可得到结果。
【解析】
(1) 根据哈利数定义计算：
已知$a_1=\frac{1}{3}$，
$a_2=\frac{1}{1-a_1}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$；
$a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-\frac{3}{2}}=-2$；
$a_4=\frac{1}{1-a_3}=\frac{1}{1-(-2)}=\frac{1}{3}$。
(2) 由(1)可知数列以$\frac{1}{3}、\frac{3}{2}、-2$为一个周期循环。
$2024÷3=674······2$，因此$a_{2024}=a_2=\frac{3}{2}$，$a_{2025}=a_3=-2$，$a_{2026}=a_1=\frac{1}{3}$；
则$a_{2024}a_{2025}a_{2026}=\frac{3}{2}×(-2)×\frac{1}{3}=-1$。
(3) 先计算一个周期的和：
$a_1+a_2+a_3=\frac{1}{3}+\frac{3}{2}+(-2)=\frac{2+9-12}{6}=-\frac{1}{6}$；
$1801÷3=600······1$，即1801个数包含600个完整周期，余下1个数为$a_1$；
总合为：$600×(-\frac{1}{6})+\frac{1}{3}=-100+\frac{1}{3}=-\frac{299}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{3}{2}$，$-2$，$\frac{1}{3}$
(2) $-1$
(3) $-\frac{299}{3}$
【知识点】
新定义运算，周期规律探究，有理数混合运算
【点评】
本题结合新定义考查有理数运算和规律探究能力，解题的核心是通过计算前几项找到数列的循环周期，利用周期简化复杂的计算，能有效锻炼学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.6
解题首先要明确“哈利数”的定义：对于不为1的有理数a，它的哈利数为$\frac{1}{1-a}$。解题思路如下：1. 第一问直接将前一个数代入哈利数的公式，依次计算$a_2、a_3、a_4$即可；2. 观察前4项的结果，可发现数列每3个数为一个周期循环，利用周期规律解决后面的问题：第二问先计算2024、2025、2026除以3的余数，对应到周期内的数值再相乘；第三问先计算一个周期的和，再判断1801个数包含多少个完整周期、余下几个数，将完整周期的总合加上余下数的和即可得到结果。
【解析】
(1) 根据哈利数定义计算：
已知$a_1=\frac{1}{3}$，
$a_2=\frac{1}{1-a_1}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$；
$a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-\frac{3}{2}}=-2$；
$a_4=\frac{1}{1-a_3}=\frac{1}{1-(-2)}=\frac{1}{3}$。
(2) 由(1)可知数列以$\frac{1}{3}、\frac{3}{2}、-2$为一个周期循环。
$2024÷3=674······2$，因此$a_{2024}=a_2=\frac{3}{2}$，$a_{2025}=a_3=-2$，$a_{2026}=a_1=\frac{1}{3}$；
则$a_{2024}a_{2025}a_{2026}=\frac{3}{2}×(-2)×\frac{1}{3}=-1$。
(3) 先计算一个周期的和：
$a_1+a_2+a_3=\frac{1}{3}+\frac{3}{2}+(-2)=\frac{2+9-12}{6}=-\frac{1}{6}$；
$1801÷3=600······1$，即1801个数包含600个完整周期，余下1个数为$a_1$；
总合为：$600×(-\frac{1}{6})+\frac{1}{3}=-100+\frac{1}{3}=-\frac{299}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{3}{2}$，$-2$，$\frac{1}{3}$
(2) $-1$
(3) $-\frac{299}{3}$
【知识点】
新定义运算，周期规律探究，有理数混合运算
【点评】
本题结合新定义考查有理数运算和规律探究能力，解题的核心是通过计算前几项找到数列的循环周期，利用周期简化复杂的计算，能有效锻炼学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.6
9. 提升题 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法.我们经常用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题.如图,将一个边长为1的正方形纸片分成6个部分,部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半,部分②的面积是部分①面积的一半,部分③的面积是部分②面积的一半,以此类推.
(1)部分⑥(阴影部分)的面积是.
(2)试求出$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^5}$的值.
(3)计算:$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^{100}}=$.
(1)部分⑥(阴影部分)的面积是.
(2)试求出$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^5}$的值.
(3)计算:$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^{100}}=$.
答案
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{64}}$
(2) $\boldsymbol{\frac{31}{32}}$
(3) $\boldsymbol{1-\frac{1}{2^{100}}}$
(2) $\boldsymbol{\frac{31}{32}}$
(3) $\boldsymbol{1-\frac{1}{2^{100}}}$
解析
【分析】
解题思路：结合题目描述的面积变化规律和图形特征，分三步解决问题：
(1) 先推导每部分面积的通项规律：部分①面积是$\frac{1}{2^1}$，部分②是①的一半即$\frac{1}{2^2}$，以此类推，第k个部分的面积为$\frac{1}{2^k}$，求部分⑥的面积直接代入k=6计算即可。
(2) 求和时利用数形结合思想：算式的和对应①到对应部分的总面积，整个正方形面积为1，剩余未相加的面积和最后一项的面积相等，用正方形总面积减去剩余面积即可得到求和结果。
(3) 将(2)的规律推广到n=100的情况，直接套用规律即可得出结果。
【解析】
(1) 由题意得面积规律：
部分①面积：$\frac{1}{2}=\frac{1}{2^1}$
部分②面积：$\frac{1}{2} × \frac{1}{2}=\frac{1}{2^2}$
部分③面积：$\frac{1}{2^2} × \frac{1}{2}=\frac{1}{2^3}$
……
第k个部分的面积为$\frac{1}{2^k}$
当k=6时，部分⑥的面积为$\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}$
(2) $\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^5}$对应部分①到部分⑤的面积和，整个正方形面积为1，剩余未相加的面积为$\frac{1}{2^5}$，因此：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^5}=1-\frac{1}{2^5}=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$
(3) 根据(2)的规律可得：加到$\frac{1}{2^n}$时，和为$1-\frac{1}{2^n}$，因此当n=100时：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^{100}}=1-\frac{1}{2^{100}}$
【答案】
(1) $\frac{1}{64}$
(2) $\frac{31}{32}$
(3) $1-\frac{1}{2^{100}}$
【知识点】
有理数乘方、规律探究、数形结合思想
【点评】
本题重点考查数形结合思想的运用，通过观察图形面积的变化规律推导求和方法，将抽象的算式求和转化为直观的面积差计算，既简化了计算过程，也能帮助同学们掌握从特殊到一般的规律探究方法。
【难度系数】
0.6
解题思路：结合题目描述的面积变化规律和图形特征，分三步解决问题：
(1) 先推导每部分面积的通项规律：部分①面积是$\frac{1}{2^1}$，部分②是①的一半即$\frac{1}{2^2}$，以此类推，第k个部分的面积为$\frac{1}{2^k}$，求部分⑥的面积直接代入k=6计算即可。
(2) 求和时利用数形结合思想：算式的和对应①到对应部分的总面积，整个正方形面积为1，剩余未相加的面积和最后一项的面积相等，用正方形总面积减去剩余面积即可得到求和结果。
(3) 将(2)的规律推广到n=100的情况，直接套用规律即可得出结果。
【解析】
(1) 由题意得面积规律：
部分①面积：$\frac{1}{2}=\frac{1}{2^1}$
部分②面积：$\frac{1}{2} × \frac{1}{2}=\frac{1}{2^2}$
部分③面积：$\frac{1}{2^2} × \frac{1}{2}=\frac{1}{2^3}$
……
第k个部分的面积为$\frac{1}{2^k}$
当k=6时，部分⑥的面积为$\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}$
(2) $\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^5}$对应部分①到部分⑤的面积和，整个正方形面积为1，剩余未相加的面积为$\frac{1}{2^5}$，因此：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^5}=1-\frac{1}{2^5}=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$
(3) 根据(2)的规律可得：加到$\frac{1}{2^n}$时，和为$1-\frac{1}{2^n}$，因此当n=100时：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^{100}}=1-\frac{1}{2^{100}}$
【答案】
(1) $\frac{1}{64}$
(2) $\frac{31}{32}$
(3) $1-\frac{1}{2^{100}}$
【知识点】
有理数乘方、规律探究、数形结合思想
【点评】
本题重点考查数形结合思想的运用，通过观察图形面积的变化规律推导求和方法，将抽象的算式求和转化为直观的面积差计算，既简化了计算过程，也能帮助同学们掌握从特殊到一般的规律探究方法。
【难度系数】
0.6
