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8. 小明记录了本周写家庭作业所用的时间，情况见下表（以30分钟为标准，时间多于30分钟的用正数表示，时间少于30分钟的用负数表示）：
| 星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 与标准时间的差/分钟 | $-5$ | $-6$ |
| $-2$ | $-9$ | $+8$ | $+15$ |
(1)这一周内小明写家庭作业用时最多的是星期
(2)求小明这一周每天写家庭作业所用的平均时间。
| 星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 与标准时间的差/分钟 | $-5$ | $-6$ |
| $-2$ | $-9$ | $+8$ | $+15$ |(1)这一周内小明写家庭作业用时最多的是星期
日
，用时最少的是星期五
。(2)求小明这一周每天写家庭作业所用的平均时间。
答案
8.(1)日 五 (2)29分钟。
解析
【分析】
(1) 首先明确表格中正负数的含义：正数表示比标准时间30分钟多，负数表示比标准时间30分钟少。因此用时最多对应表格中最大的数，用时最少对应表格中最小的数，找到它们对应的星期即可。
(2) 求平均时间可以采用简化算法：先计算7天与标准时间的差值总和，除以7得到平均每天和标准时间的差值，再加上标准时间30分钟，就能得到平均每天的作业用时，该方法比逐天计算用时再求平均更简便。
【解析】
(1) 将所有与标准时间的差排序：$\boldsymbol{-9 ＜ -8 ＜ -6 ＜ -5 ＜ -2 ＜ +8 ＜ +15}$，最大的数$+15$对应星期日，最小的数$-9$对应星期五，因此用时最多的是星期日，用时最少的是星期五。
(2) 先计算7天的差值总和：
$\begin{aligned}&(-5)+(-6)+(-8)+(-2)+(-9)+(+8)+(+15)\\=&(-5-6-8-2-9)+(8+15)\\=&-30+23\\=&-7(\mathrm{分钟})\end{aligned}$
平均每天与标准时间的差值：$-7÷7=-1$（分钟）
平均每天作业用时：$30+(-1)=29$（分钟）
【答案】
(1) 日，五
(2) 29分钟
【知识点】
正负数的意义，有理数混合运算，平均数计算
【点评】
本题结合生活场景考查正负数的实际应用和有理数运算，解题核心是理解正负数代表的实际含义，第二问利用差值计算平均的技巧可以简化运算，降低计算错误率。
【难度系数】
0.85
(1) 首先明确表格中正负数的含义：正数表示比标准时间30分钟多，负数表示比标准时间30分钟少。因此用时最多对应表格中最大的数，用时最少对应表格中最小的数，找到它们对应的星期即可。
(2) 求平均时间可以采用简化算法：先计算7天与标准时间的差值总和，除以7得到平均每天和标准时间的差值，再加上标准时间30分钟，就能得到平均每天的作业用时，该方法比逐天计算用时再求平均更简便。
【解析】
(1) 将所有与标准时间的差排序：$\boldsymbol{-9 ＜ -8 ＜ -6 ＜ -5 ＜ -2 ＜ +8 ＜ +15}$，最大的数$+15$对应星期日，最小的数$-9$对应星期五，因此用时最多的是星期日，用时最少的是星期五。
(2) 先计算7天的差值总和：
$\begin{aligned}&(-5)+(-6)+(-8)+(-2)+(-9)+(+8)+(+15)\\=&(-5-6-8-2-9)+(8+15)\\=&-30+23\\=&-7(\mathrm{分钟})\end{aligned}$
平均每天与标准时间的差值：$-7÷7=-1$（分钟）
平均每天作业用时：$30+(-1)=29$（分钟）
【答案】
(1) 日，五
(2) 29分钟
【知识点】
正负数的意义，有理数混合运算，平均数计算
【点评】
本题结合生活场景考查正负数的实际应用和有理数运算，解题核心是理解正负数代表的实际含义，第二问利用差值计算平均的技巧可以简化运算，降低计算错误率。
【难度系数】
0.85
9. 用“※”定义新的运算,对于任意有理数a和b,规定$a※b = b^2 - ab$,如$1※3 = 3^2 - 1×3 = 6$,则$(-2)※(-4)$的值为
（
A.24
B.-4
C.8
D.-8
（
C
）A.24
B.-4
C.8
D.-8
答案
9.C
解析
【分析】
这是新定义运算类题目，解题首先要准确理解给定的新运算规则：$a※b = b^2 - ab$，即运算结果等于第二个数的平方减去两个数的乘积。求解时先确定待求式中对应a、b的取值，再将值代入规则转化为普通有理数混合运算，计算时注意遵循有理数运算的符号规则即可。
【解析】
根据新运算的定义$a※b = b^2 - ab$，在$(-2)※(-4)$中，$a=-2$，$b=-4$，代入得：
$\begin{aligned}(-2)※(-4)&=(-4)^2 - (-2)×(-4)\\&=16 - 8\\&=8\end{aligned}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算
【点评】
本题重点考查新运算规则的理解与应用，解题核心是准确对应新运算中a、b的取值，代入后按有理数运算规则计算即可，属于基础题型，计算时注意符号就不容易出错。
【难度系数】
0.8
这是新定义运算类题目，解题首先要准确理解给定的新运算规则：$a※b = b^2 - ab$，即运算结果等于第二个数的平方减去两个数的乘积。求解时先确定待求式中对应a、b的取值，再将值代入规则转化为普通有理数混合运算，计算时注意遵循有理数运算的符号规则即可。
【解析】
根据新运算的定义$a※b = b^2 - ab$，在$(-2)※(-4)$中，$a=-2$，$b=-4$，代入得：
$\begin{aligned}(-2)※(-4)&=(-4)^2 - (-2)×(-4)\\&=16 - 8\\&=8\end{aligned}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算
【点评】
本题重点考查新运算规则的理解与应用，解题核心是准确对应新运算中a、b的取值，代入后按有理数运算规则计算即可，属于基础题型，计算时注意符号就不容易出错。
【难度系数】
0.8
10. 计算：
(1)$-66×(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{11})$。
(2)$-1^4-\dfrac{1}{3}×\left|1-(-5)^2\right|$。
(3)$(-18)×[\dfrac{2}{3}-(-\dfrac{1}{2})]-2^2$。
(1)$-66×(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{11})$。
(2)$-1^4-\dfrac{1}{3}×\left|1-(-5)^2\right|$。
(3)$(-18)×[\dfrac{2}{3}-(-\dfrac{1}{2})]-2^2$。
答案
10.(1)-63。
(2)-9。
(3)-25。
(2)-9。
(3)-25。
解析
【分析】
这三道题均属于有理数混合运算题型，解题思路如下：
(1) 观察算式发现-66与括号内各分数的分母均可约分，因此优先选用乘法分配律简化计算，避免先通分的复杂运算，计算时注意符号的变化。
(2) 按照有理数混合运算顺序：先算乘方，再算绝对值及乘法，最后算加减；需注意$-1^4$表示1的四次方的相反数，结果为-1，计算绝对值时先算绝对值内部的运算。
(3) 先算乘方，再算中括号内的减法（去括号后转化为加法），之后算乘法，最后算减法，注意处理去括号、乘法运算的符号。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-66×\frac{2}{3} - (-66)×\frac{1}{6} + (-66)×\frac{5}{11}\\&=-44 + 11 - 30\\&=-63\end{aligned}$
(2) 按运算顺序逐步计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-1 - \frac{1}{3}×\left|1 - (-5)^2\right|\\&=-1 - \frac{1}{3}×\left|1 - 25\right|\\&=-1 - \frac{1}{3}×24\\&=-1 - 8\\&=-9\end{aligned}$
(3) 按运算顺序逐步计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-18)×[\frac{2}{3}+\frac{1}{2}] - 2^2\\&=(-18)×\frac{7}{6} - 4\\&=-21 - 4\\&=-25\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-63}$；(2) $\boldsymbol{-9}$；(3) $\boldsymbol{-25}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，绝对值运算
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的规则和运算律的灵活使用，解题时需严格遵循“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，尤其注意各类符号的处理，合理运用运算律可大幅降低计算量、提高正确率。
【难度系数】
0.7
这三道题均属于有理数混合运算题型，解题思路如下：
(1) 观察算式发现-66与括号内各分数的分母均可约分，因此优先选用乘法分配律简化计算，避免先通分的复杂运算，计算时注意符号的变化。
(2) 按照有理数混合运算顺序：先算乘方，再算绝对值及乘法，最后算加减；需注意$-1^4$表示1的四次方的相反数，结果为-1，计算绝对值时先算绝对值内部的运算。
(3) 先算乘方，再算中括号内的减法（去括号后转化为加法），之后算乘法，最后算减法，注意处理去括号、乘法运算的符号。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-66×\frac{2}{3} - (-66)×\frac{1}{6} + (-66)×\frac{5}{11}\\&=-44 + 11 - 30\\&=-63\end{aligned}$
(2) 按运算顺序逐步计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-1 - \frac{1}{3}×\left|1 - (-5)^2\right|\\&=-1 - \frac{1}{3}×\left|1 - 25\right|\\&=-1 - \frac{1}{3}×24\\&=-1 - 8\\&=-9\end{aligned}$
(3) 按运算顺序逐步计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-18)×[\frac{2}{3}+\frac{1}{2}] - 2^2\\&=(-18)×\frac{7}{6} - 4\\&=-21 - 4\\&=-25\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-63}$；(2) $\boldsymbol{-9}$；(3) $\boldsymbol{-25}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，绝对值运算
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的规则和运算律的灵活使用，解题时需严格遵循“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，尤其注意各类符号的处理，合理运用运算律可大幅降低计算量、提高正确率。
【难度系数】
0.7
11.某种品牌的同一种洗衣粉有A,B,C三种袋装包装,每袋的质量分别为400 g,300 g,200 g,售价分别为3.5元,2.8元,1.9元。A,B,C三种包装的洗衣粉每袋的成本分别为0.8元,0.6元,0.5元。厂家销售A,B,C三种包装的洗衣粉各1 200 kg,请通过计算说明哪一种包装的洗衣粉获利最大。
答案
11.B种包装的洗衣粉。
解析
【分析】
要判断哪种包装获利最大，需先分别计算三种包装销售1200kg的总利润，再比较大小。解题思路为：①先统一质量单位，将总质量的单位换算为克，方便计算袋数；②计算每种包装销售1200kg对应的总袋数：总袋数=总质量÷单袋质量；③计算单袋利润：单袋利润=单袋售价-单袋成本；④计算总利润：总利润=单袋利润×总袋数；⑤比较三种包装的总利润，数值最大的获利最多。
【解析】
首先统一单位：$1200\ \mathrm{kg}=1200000\ \mathrm{g}$
1. 计算A种包装的总利润：
总袋数：$1200000÷400=3000$（袋）
单袋利润：$3.5 - 0.8=2.7$（元）
总利润：$3000×2.7=8100$（元）
2. 计算B种包装的总利润：
总袋数：$1200000÷300=4000$（袋）
单袋利润：$2.8 - 0.6=2.2$（元）
总利润：$4000×2.2=8800$（元）
3. 计算C种包装的总利润：
总袋数：$1200000÷200=6000$（袋）
单袋利润：$1.9 - 0.5=1.4$（元）
总利润：$6000×1.4=8400$（元）
比较总利润大小：$8800＞8400＞8100$，因此B种包装的洗衣粉获利最大。
【答案】
B种包装的洗衣粉。
【知识点】
1. 有理数的混合运算
2. 利润问题计算
【点评】
本题结合生活销售场景考查数学运算能力，解题的核心是理清总利润、单袋利润、销售数量之间的关系，计算时要注意先统一单位，避免因单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.7
要判断哪种包装获利最大，需先分别计算三种包装销售1200kg的总利润，再比较大小。解题思路为：①先统一质量单位，将总质量的单位换算为克，方便计算袋数；②计算每种包装销售1200kg对应的总袋数：总袋数=总质量÷单袋质量；③计算单袋利润：单袋利润=单袋售价-单袋成本；④计算总利润：总利润=单袋利润×总袋数；⑤比较三种包装的总利润，数值最大的获利最多。
【解析】
首先统一单位：$1200\ \mathrm{kg}=1200000\ \mathrm{g}$
1. 计算A种包装的总利润：
总袋数：$1200000÷400=3000$（袋）
单袋利润：$3.5 - 0.8=2.7$（元）
总利润：$3000×2.7=8100$（元）
2. 计算B种包装的总利润：
总袋数：$1200000÷300=4000$（袋）
单袋利润：$2.8 - 0.6=2.2$（元）
总利润：$4000×2.2=8800$（元）
3. 计算C种包装的总利润：
总袋数：$1200000÷200=6000$（袋）
单袋利润：$1.9 - 0.5=1.4$（元）
总利润：$6000×1.4=8400$（元）
比较总利润大小：$8800＞8400＞8100$，因此B种包装的洗衣粉获利最大。
【答案】
B种包装的洗衣粉。
【知识点】
1. 有理数的混合运算
2. 利润问题计算
【点评】
本题结合生活销售场景考查数学运算能力，解题的核心是理清总利润、单袋利润、销售数量之间的关系，计算时要注意先统一单位，避免因单位不匹配出现计算错误。
【难度系数】
0.7
