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1. 计算$( \frac{1}{a-2} - \frac{1}{a+2} ) · \frac{a^2 -4}{a}$的结果是
$\frac{4}{a}$
。答案
$\frac{4}{a}$
解析
【分析】
拿到这道分式混合运算题，首先观察式子特征：括号外的分式分子是$a^2-4$，刚好可以用平方差公式因式分解为$(a-2)(a+2)$，与括号内两个分式的分母完全对应。解题时可选择两种思路：一是优先用乘法分配律，把括号内两项分别和括号外的分式相乘，直接约分简化计算，比先通分更简便；二是先通分计算括号内的异分母分式减法，再和括号外的分式相乘约分，两种方法最终都要将结果化为最简分式。
【解析】
解法一（利用乘法分配律简化计算）：
1. 对$a^2-4$因式分解：$a^2-4=(a-2)(a+2)$
2. 按乘法分配律展开原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{a-2} · \frac{(a-2)(a+2)}{a} - \frac{1}{a+2} · \frac{(a-2)(a+2)}{a}\\&=\frac{a+2}{a} - \frac{a-2}{a}\\&=\frac{(a+2)-(a-2)}{a}\\&=\frac{a+2 -a +2}{a}\\&=\frac{4}{a}\end{aligned}$
解法二（先计算括号内减法）：
1. 通分计算括号内异分母分式减法：
$\frac{1}{a-2} - \frac{1}{a+2} = \frac{a+2-(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{4}{(a-2)(a+2)}$
2. 相乘并约分：
$\mathrm{原式}=\frac{4}{(a-2)(a+2)} · \frac{(a-2)(a+2)}{a} = \frac{4}{a}$
【答案】
$\frac{4}{a}$
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题时可先观察式子结构，合理选择运算顺序或运用运算律简化计算，计算过程中要注意因式分解的正确使用，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.8
拿到这道分式混合运算题，首先观察式子特征：括号外的分式分子是$a^2-4$，刚好可以用平方差公式因式分解为$(a-2)(a+2)$，与括号内两个分式的分母完全对应。解题时可选择两种思路：一是优先用乘法分配律，把括号内两项分别和括号外的分式相乘，直接约分简化计算，比先通分更简便；二是先通分计算括号内的异分母分式减法，再和括号外的分式相乘约分，两种方法最终都要将结果化为最简分式。
【解析】
解法一（利用乘法分配律简化计算）：
1. 对$a^2-4$因式分解：$a^2-4=(a-2)(a+2)$
2. 按乘法分配律展开原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{a-2} · \frac{(a-2)(a+2)}{a} - \frac{1}{a+2} · \frac{(a-2)(a+2)}{a}\\&=\frac{a+2}{a} - \frac{a-2}{a}\\&=\frac{(a+2)-(a-2)}{a}\\&=\frac{a+2 -a +2}{a}\\&=\frac{4}{a}\end{aligned}$
解法二（先计算括号内减法）：
1. 通分计算括号内异分母分式减法：
$\frac{1}{a-2} - \frac{1}{a+2} = \frac{a+2-(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{4}{(a-2)(a+2)}$
2. 相乘并约分：
$\mathrm{原式}=\frac{4}{(a-2)(a+2)} · \frac{(a-2)(a+2)}{a} = \frac{4}{a}$
【答案】
$\frac{4}{a}$
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题时可先观察式子结构，合理选择运算顺序或运用运算律简化计算，计算过程中要注意因式分解的正确使用，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.8
2. 计算：$(\dfrac{a}{a^2 - b^2} - \dfrac{1}{a + b})^2 ÷ \dfrac{b}{b - a}$
答案
原式$=[\frac{a}{(a+b)(a-b)}-\frac{a-b}{(a+b)(a-b)}]^2 · \frac{b-a}{b}=[\frac{b}{(a+b)(a-b)}]^2 · \frac{b-a}{b}=\frac{b}{(a+b)^2(b-a)}.$
解析
【分析】
这是分式的混合运算题，解题遵循“先括号，再乘方，最后乘除”的运算顺序：①先处理括号内的减法：先利用平方差公式分解$a^2-b^2$，找到两个分式的最简公分母为$(a+b)(a-b)$，将$\frac{1}{a+b}$通分为同分母分式后，分子相减化简括号内的结果；②再计算括号结果的乘方，分子分母分别平方；③最后将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘它的倒数），注意$b-a$和$a-b$互为相反数，利用该关系约分，最终得到最简结果即可。
【解析】
第一步：化简括号内的分式减法
先因式分解分母：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对$\frac{1}{a+b}$通分：
$\frac{a}{a^2 - b^2} - \frac{1}{a + b}=\frac{a}{(a+b)(a-b)}-\frac{a-b}{(a+b)(a-b)}=\frac{a-(a-b)}{(a+b)(a-b)}=\frac{b}{(a+b)(a-b)}$
第二步：计算乘方
$(\frac{b}{(a+b)(a-b)})^2=\frac{b^2}{(a+b)^2(a-b)^2}$
第三步：将除法转化为乘法并约分
原式$=\frac{b^2}{(a+b)^2(a-b)^2} × \frac{b-a}{b}$，其中$(a-b)^2=(b-a)^2$，约分可得：
$\frac{b^2}{(a+b)^2(b-a)^2} × \frac{b-a}{b}=\frac{b}{(a+b)^2(b-a)}$
【答案】
$\dfrac{b}{(a+b)^2(b-a)}$
【知识点】
1. 分式的混合运算
2. 平方差公式
3. 分式的通分与约分
【点评】
本题属于分式混合运算的常规题型，核心考查运算顺序和分式化简的基本技能，解题时需要注意互为相反数的因式的符号处理，通分时要避免分子漏乘的错误，约分要彻底。
【难度系数】
0.7
这是分式的混合运算题，解题遵循“先括号，再乘方，最后乘除”的运算顺序：①先处理括号内的减法：先利用平方差公式分解$a^2-b^2$，找到两个分式的最简公分母为$(a+b)(a-b)$，将$\frac{1}{a+b}$通分为同分母分式后，分子相减化简括号内的结果；②再计算括号结果的乘方，分子分母分别平方；③最后将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘它的倒数），注意$b-a$和$a-b$互为相反数，利用该关系约分，最终得到最简结果即可。
【解析】
第一步：化简括号内的分式减法
先因式分解分母：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对$\frac{1}{a+b}$通分：
$\frac{a}{a^2 - b^2} - \frac{1}{a + b}=\frac{a}{(a+b)(a-b)}-\frac{a-b}{(a+b)(a-b)}=\frac{a-(a-b)}{(a+b)(a-b)}=\frac{b}{(a+b)(a-b)}$
第二步：计算乘方
$(\frac{b}{(a+b)(a-b)})^2=\frac{b^2}{(a+b)^2(a-b)^2}$
第三步：将除法转化为乘法并约分
原式$=\frac{b^2}{(a+b)^2(a-b)^2} × \frac{b-a}{b}$，其中$(a-b)^2=(b-a)^2$，约分可得：
$\frac{b^2}{(a+b)^2(b-a)^2} × \frac{b-a}{b}=\frac{b}{(a+b)^2(b-a)}$
【答案】
$\dfrac{b}{(a+b)^2(b-a)}$
【知识点】
1. 分式的混合运算
2. 平方差公式
3. 分式的通分与约分
【点评】
本题属于分式混合运算的常规题型，核心考查运算顺序和分式化简的基本技能，解题时需要注意互为相反数的因式的符号处理，通分时要避免分子漏乘的错误，约分要彻底。
【难度系数】
0.7
3. 先化简，再求值：$\dfrac{x^2 - y^2}{x^2 - 2xy + y^2} · \dfrac{xy}{x^2 + xy} + \dfrac{x}{x - y}$，其中 $x=-1$，$y=2$。
答案
原式$=\frac{(x+y)(x-y)}{(x-y)^2} · \frac{xy}{x(x+y)} + \frac{x}{x-y} = \frac{y}{x-y}+\frac{x}{x-y}=\frac{x+y}{x-y}.$
当$x=-1，y=2$时，原式$=\frac{-1+2}{-1-2}=-\frac{1}{3}.$
当$x=-1，y=2$时，原式$=\frac{-1+2}{-1-2}=-\frac{1}{3}.$
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，按照分式运算规则逐步思考即可：①先确定运算顺序：分式混合运算先算乘除，后算加减，所以优先计算两个分式的乘法部分；②处理乘法运算时，先把各分式的分子、分母因式分解：$x^2-y^2$用平方差公式分解，$x^2-2xy+y^2$用完全平方公式分解，$x^2+xy$提取公因式$x$，分解后再约掉分子分母的公因式，就能得到乘法运算的结果；③再计算加法部分，此时两个分式分母相同，直接将分子相加、分母不变，即可得到最简分式；④最后将$x$、$y$的取值代入最简式，计算出最终结果即可，计算时注意正负号不要出错。
【解析】
先对原式各部分因式分解：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(x+y)(x-y)}{(x-y)^2} · \frac{xy}{x(x+y)} + \frac{x}{x-y}\\&=\frac{y}{x-y}+\frac{x}{x-y}\\&=\frac{x+y}{x-y}\end{aligned}$
当$x=-1$，$y=2$时，代入最简式计算：
$原式=\frac{-1+2}{-1-2}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$
【答案】
$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
1. 分式的混合运算
2. 因式分解
3. 分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的常规基础题型，解题核心是先正确对多项式因式分解，再按照分式运算规则逐步化简，代值计算时注意符号不要出错，能够很好地考查学生对分式运算基础知识点的掌握情况。
【难度系数】
0.8
这是分式化简求值类题目，按照分式运算规则逐步思考即可：①先确定运算顺序：分式混合运算先算乘除，后算加减，所以优先计算两个分式的乘法部分；②处理乘法运算时，先把各分式的分子、分母因式分解：$x^2-y^2$用平方差公式分解，$x^2-2xy+y^2$用完全平方公式分解，$x^2+xy$提取公因式$x$，分解后再约掉分子分母的公因式，就能得到乘法运算的结果；③再计算加法部分，此时两个分式分母相同，直接将分子相加、分母不变，即可得到最简分式；④最后将$x$、$y$的取值代入最简式，计算出最终结果即可，计算时注意正负号不要出错。
【解析】
先对原式各部分因式分解：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(x+y)(x-y)}{(x-y)^2} · \frac{xy}{x(x+y)} + \frac{x}{x-y}\\&=\frac{y}{x-y}+\frac{x}{x-y}\\&=\frac{x+y}{x-y}\end{aligned}$
当$x=-1$，$y=2$时，代入最简式计算：
$原式=\frac{-1+2}{-1-2}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$
【答案】
$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
1. 分式的混合运算
2. 因式分解
3. 分式化简求值
【点评】
本题属于分式运算的常规基础题型，解题核心是先正确对多项式因式分解，再按照分式运算规则逐步化简，代值计算时注意符号不要出错，能够很好地考查学生对分式运算基础知识点的掌握情况。
【难度系数】
0.8
4. 若$x+y=xy$，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-(1-x)(1-y)$的值为
$0$
。答案
$0$
解析
【分析】
本题属于代数式化简求值题，解题思路可按以下步骤走：第一步先处理待求式中的分式部分$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$，通过通分转化为含$x+y$和$xy$的形式；第二步展开多项式乘积$(1-x)(1-y)$，整理为含$x+y$和$xy$的形式；第三步结合已知条件$x+y=xy$，采用整体代入的方法计算，无需单独求解$x$、$y$的具体值，简化运算过程。
【解析】
首先化简待求式：
1. 计算分式部分：对$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$通分，公分母为$xy$，可得$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y+x}{xy}=\frac{x+y}{xy}$。
已知$x+y=xy$，代入得：$\frac{x+y}{xy}=\frac{xy}{xy}=1$。
2. 展开多项式部分：根据多项式乘多项式法则计算$(1-x)(1-y)$，得：
$(1-x)(1-y)=1×1 - 1× y - x×1 + x· y = 1 - x - y + xy$。
3. 代入原式计算：
原式$=\frac{1}{x}+\frac{1}{y} - (1-x)(1-y) = 1 - (1 - x - y + xy)$
去括号得：$1 - 1 + x + y - xy = (x+y) - xy$
再将$x+y=xy$整体代入，得：$xy - xy = 0$。
【答案】
$0$
【知识点】
分式的混合运算，多项式乘多项式，整体代入求值
【点评】
本题核心是利用整体代入思想简化计算，解题时先将待求式化简为可匹配已知条件的形式，再代入计算即可，若盲目求解$x$、$y$的具体值反而会增加计算量，甚至无法得到结果。
【难度系数】
0.7
本题属于代数式化简求值题，解题思路可按以下步骤走：第一步先处理待求式中的分式部分$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$，通过通分转化为含$x+y$和$xy$的形式；第二步展开多项式乘积$(1-x)(1-y)$，整理为含$x+y$和$xy$的形式；第三步结合已知条件$x+y=xy$，采用整体代入的方法计算，无需单独求解$x$、$y$的具体值，简化运算过程。
【解析】
首先化简待求式：
1. 计算分式部分：对$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$通分，公分母为$xy$，可得$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y+x}{xy}=\frac{x+y}{xy}$。
已知$x+y=xy$，代入得：$\frac{x+y}{xy}=\frac{xy}{xy}=1$。
2. 展开多项式部分：根据多项式乘多项式法则计算$(1-x)(1-y)$，得：
$(1-x)(1-y)=1×1 - 1× y - x×1 + x· y = 1 - x - y + xy$。
3. 代入原式计算：
原式$=\frac{1}{x}+\frac{1}{y} - (1-x)(1-y) = 1 - (1 - x - y + xy)$
去括号得：$1 - 1 + x + y - xy = (x+y) - xy$
再将$x+y=xy$整体代入，得：$xy - xy = 0$。
【答案】
$0$
【知识点】
分式的混合运算，多项式乘多项式，整体代入求值
【点评】
本题核心是利用整体代入思想简化计算，解题时先将待求式化简为可匹配已知条件的形式，再代入计算即可，若盲目求解$x$、$y$的具体值反而会增加计算量，甚至无法得到结果。
【难度系数】
0.7
5. 已知 $y=\dfrac{x^2 +6x +9}{x^2 -9} ÷ \dfrac{x+3}{x^2 -3x} -x +3$，试说明不论 $x$ 取任何有意义的值，$y$ 的值均不变。
答案
$\because y=\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)} · \frac{x(x-3)}{x+3} -x+3=x-x+3=3$，$\therefore$ 不论$x$取任何有意义的值，$y$的值均不变。
解析
【分析】
要说明不论x取有意义的值时y的值不变，本质是将y的表达式化简后得到不含x的常数。解题时首先根据分式除法法则，把除法转化为乘法；再对各分式的分子、分母因式分解，约去公因式（x有意义的前提会保证约掉的公因式不为0，不影响原式结果）；最后合并同类项，观察结果是否为常数即可。
【解析】
先对分子分母因式分解，将除法转为乘法：
$\begin{aligned}y&=\frac{x^2 +6x +9}{x^2 -9} ÷ \frac{x+3}{x^2 -3x} -x +3\\&=\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)} · \frac{x(x-3)}{x+3} -x +3\end{aligned}$
当x有意义时，$x≠\pm3$且$x≠0$，公因式$x+3$、$x-3$均不为0，可直接约分：
约分后计算得$y=x - x + 3 = 3$
即化简后y的值为固定常数3，和x的取值（有意义的前提下）无关。
【答案】
化简后$y=3$，故不论x取任何有意义的值，y的值均为3，保持不变。
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式化简的典型题型，核心思路是通过分式运算规则将表达式化简为常数，解题时需熟练掌握分式乘除的转换方法，结合因式分解准确约分，同时要注意x的取值需保证所有分式的分母不为0。
【难度系数】
0.8
要说明不论x取有意义的值时y的值不变，本质是将y的表达式化简后得到不含x的常数。解题时首先根据分式除法法则，把除法转化为乘法；再对各分式的分子、分母因式分解，约去公因式（x有意义的前提会保证约掉的公因式不为0，不影响原式结果）；最后合并同类项，观察结果是否为常数即可。
【解析】
先对分子分母因式分解，将除法转为乘法：
$\begin{aligned}y&=\frac{x^2 +6x +9}{x^2 -9} ÷ \frac{x+3}{x^2 -3x} -x +3\\&=\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)} · \frac{x(x-3)}{x+3} -x +3\end{aligned}$
当x有意义时，$x≠\pm3$且$x≠0$，公因式$x+3$、$x-3$均不为0，可直接约分：
约分后计算得$y=x - x + 3 = 3$
即化简后y的值为固定常数3，和x的取值（有意义的前提下）无关。
【答案】
化简后$y=3$，故不论x取任何有意义的值，y的值均为3，保持不变。
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式化简的典型题型，核心思路是通过分式运算规则将表达式化简为常数，解题时需熟练掌握分式乘除的转换方法，结合因式分解准确约分，同时要注意x的取值需保证所有分式的分母不为0。
【难度系数】
0.8
6. 甲、乙两名采购员同去一家饲料公司购买两次饲料. 两次饲料的单价不同，两名采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1 000 kg，乙每次用去1 000元，两次饲料的单价分别为m元和n元(m≠n).
(1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？
(2)谁的购货方式更合算？
(1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？
(2)谁的购货方式更合算？
答案
(1) 甲两次购买饲料的平均单价为$\frac{1\ 000m+1\ 000n}{1\ 000×2}=\frac{m+n}{2}$(元)，乙两次购买饲料的平均单价为$\frac{1\ 000×2}{\frac{1\ 000}{m}+\frac{1\ 000}{n}}=\frac{2mn}{m+n}$(元).
(2) 甲、乙所购饲料的平均单价的差为$\frac{m+n}{2}-\frac{2mn}{m+n}=\frac{(m+n)^2-4mn}{2(m+n)}=\frac{(m-n)^2}{2(m+n)}$，$\because m＞0，n＞0$，且$m≠n$，$\therefore \frac{(m-n)^2}{2(m+n)}＞0$，即$\frac{m+n}{2}＞\frac{2mn}{m+n}$. 因此，乙的购货方式更合算。
(2) 甲、乙所购饲料的平均单价的差为$\frac{m+n}{2}-\frac{2mn}{m+n}=\frac{(m+n)^2-4mn}{2(m+n)}=\frac{(m-n)^2}{2(m+n)}$，$\because m＞0，n＞0$，且$m≠n$，$\therefore \frac{(m-n)^2}{2(m+n)}＞0$，即$\frac{m+n}{2}＞\frac{2mn}{m+n}$. 因此，乙的购货方式更合算。
解析
【分析】
（1）求解平均单价的核心公式为“平均单价=总花费÷总购买质量”。计算甲的平均单价时，先求出甲两次购买的总花费和总质量，代入公式化简即可；计算乙的平均单价时，先求出乙两次购买的总质量和总花费，再代入公式约分即可得到结果。
（2）判断购货方式是否合算，本质是比较甲、乙两人的平均单价大小，采用作差法比较：若差值大于0，说明被减数对应的平均单价更高，购货方式更不合算；结合m、n均为正数且m≠n的条件判断差值的正负，即可得出结论。
【解析】
(1) 甲两次购买饲料的总花费为$(1000m+1000n)$元，总购买质量为$1000×2=2000\ \mathrm{kg}$，
因此甲的平均单价为：$\frac{1000m+1000n}{2000}=\frac{m+n}{2}$（元）。
乙两次购买饲料的总花费为$1000×2=2000$元，两次购买的总质量为$(\frac{1000}{m}+\frac{1000}{n})\ \mathrm{kg}$，
因此乙的平均单价为：$\frac{2000}{\frac{1000}{m}+\frac{1000}{n}}=\frac{2}{\frac{m+n}{mn}}=\frac{2mn}{m+n}$（元）。
(2) 用作差法比较两人平均单价的大小：
$\frac{m+n}{2}-\frac{2mn}{m+n}=\frac{(m+n)^2-4mn}{2(m+n)}=\frac{m^2+2mn+n^2-4mn}{2(m+n)}=\frac{(m-n)^2}{2(m+n)}$
由题意可知$m＞0,n＞0$且$m≠n$，因此$(m-n)^2＞0$，$2(m+n)＞0$，
可得$\frac{(m-n)^2}{2(m+n)}＞0$，即$\frac{m+n}{2}＞\frac{2mn}{m+n}$，说明乙的平均单价更低。
【答案】
(1) 甲所购饲料的平均单价为$\frac{m+n}{2}$元，乙所购饲料的平均单价为$\frac{2mn}{m+n}$元；
(2) 乙的购货方式更合算。
【知识点】
分式混合运算、作差法比较大小、代数式实际应用
【点评】
本题结合生活采购场景命题，既考查了分式化简运算的基础能力，也考查了运用数学知识解决实际决策问题的应用意识，解题的关键是准确把握平均单价的计算逻辑，熟练运用作差法和完全平方公式判断代数式的大小关系。
【难度系数】
0.7
（1）求解平均单价的核心公式为“平均单价=总花费÷总购买质量”。计算甲的平均单价时，先求出甲两次购买的总花费和总质量，代入公式化简即可；计算乙的平均单价时，先求出乙两次购买的总质量和总花费，再代入公式约分即可得到结果。
（2）判断购货方式是否合算，本质是比较甲、乙两人的平均单价大小，采用作差法比较：若差值大于0，说明被减数对应的平均单价更高，购货方式更不合算；结合m、n均为正数且m≠n的条件判断差值的正负，即可得出结论。
【解析】
(1) 甲两次购买饲料的总花费为$(1000m+1000n)$元，总购买质量为$1000×2=2000\ \mathrm{kg}$，
因此甲的平均单价为：$\frac{1000m+1000n}{2000}=\frac{m+n}{2}$（元）。
乙两次购买饲料的总花费为$1000×2=2000$元，两次购买的总质量为$(\frac{1000}{m}+\frac{1000}{n})\ \mathrm{kg}$，
因此乙的平均单价为：$\frac{2000}{\frac{1000}{m}+\frac{1000}{n}}=\frac{2}{\frac{m+n}{mn}}=\frac{2mn}{m+n}$（元）。
(2) 用作差法比较两人平均单价的大小：
$\frac{m+n}{2}-\frac{2mn}{m+n}=\frac{(m+n)^2-4mn}{2(m+n)}=\frac{m^2+2mn+n^2-4mn}{2(m+n)}=\frac{(m-n)^2}{2(m+n)}$
由题意可知$m＞0,n＞0$且$m≠n$，因此$(m-n)^2＞0$，$2(m+n)＞0$，
可得$\frac{(m-n)^2}{2(m+n)}＞0$，即$\frac{m+n}{2}＞\frac{2mn}{m+n}$，说明乙的平均单价更低。
【答案】
(1) 甲所购饲料的平均单价为$\frac{m+n}{2}$元，乙所购饲料的平均单价为$\frac{2mn}{m+n}$元；
(2) 乙的购货方式更合算。
【知识点】
分式混合运算、作差法比较大小、代数式实际应用
【点评】
本题结合生活采购场景命题，既考查了分式化简运算的基础能力，也考查了运用数学知识解决实际决策问题的应用意识，解题的关键是准确把握平均单价的计算逻辑，熟练运用作差法和完全平方公式判断代数式的大小关系。
【难度系数】
0.7
7. 已知$a+b+c=0$，且$abc≠0$，求$a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+b(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})+c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$的值。
答案
原式$=\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}=(\frac{a}{b}+\frac{c}{b})+(\frac{a}{c}+\frac{b}{c})+(\frac{b}{a}+\frac{c}{a})=\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}.$
$\because a+b+c=0$，$\therefore a+c=-b$，$a+b=-c$，$b+c=-a$.
$\therefore$ 原式$=\frac{-b}{b}+\frac{-c}{c}+\frac{-a}{a}=-1-1-1=-3.$
$\because a+b+c=0$，$\therefore a+c=-b$，$a+b=-c$，$b+c=-a$.
$\therefore$ 原式$=\frac{-b}{b}+\frac{-c}{c}+\frac{-a}{a}=-1-1-1=-3.$
解析
【分析】
解题时先将原式的括号展开得到各个分式，再把同分母的分式分组合并，观察合并后式子的分子结构，结合已知条件$a+b+c=0$，将$a+c$、$a+b$、$b+c$分别转化为含单个字母的形式，最后整体代入化简后的式子即可算出结果。
【解析】
首先展开原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\\&=(\frac{a}{b}+\frac{c}{b})+(\frac{a}{c}+\frac{b}{c})+(\frac{b}{a}+\frac{c}{a})\\&=\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}\end{aligned}$
因为$a+b+c=0$，移项可得$a+c=-b$，$a+b=-c$，$b+c=-a$；又因为$abc≠0$，说明$a、b、c$均不为0，分式分母有意义。
将上述关系代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=\frac{-b}{b}+\frac{-c}{c}+\frac{-a}{a}=-1-1-1=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
分式混合运算；代数式化简求值；整体代入法
【点评】
本题属于分式化简求值的常规题型，解题关键是先对原式进行化简变形，再结合已知条件用整体代入的方法计算，无需单独求解$a、b、c$的具体取值，能大幅简化运算过程。
【难度系数】
0.7
解题时先将原式的括号展开得到各个分式，再把同分母的分式分组合并，观察合并后式子的分子结构，结合已知条件$a+b+c=0$，将$a+c$、$a+b$、$b+c$分别转化为含单个字母的形式，最后整体代入化简后的式子即可算出结果。
【解析】
首先展开原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\\&=(\frac{a}{b}+\frac{c}{b})+(\frac{a}{c}+\frac{b}{c})+(\frac{b}{a}+\frac{c}{a})\\&=\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}\end{aligned}$
因为$a+b+c=0$，移项可得$a+c=-b$，$a+b=-c$，$b+c=-a$；又因为$abc≠0$，说明$a、b、c$均不为0，分式分母有意义。
将上述关系代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=\frac{-b}{b}+\frac{-c}{c}+\frac{-a}{a}=-1-1-1=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
分式混合运算；代数式化简求值；整体代入法
【点评】
本题属于分式化简求值的常规题型，解题关键是先对原式进行化简变形，再结合已知条件用整体代入的方法计算，无需单独求解$a、b、c$的具体取值，能大幅简化运算过程。
【难度系数】
0.7
