23. (11分)(1)如图1，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，点$D$是边$AC$上的一点，连接$BD$，$G$，$F$两点都在线段$BD$上，连接$AG$，$AF$，过点$C$作$CE// BD$交$AF$的延长线于点$E$. 若$AG=AF$，$\angle ABD=\angle CAE$，求证：$AG=CE$；
(2)如图2，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，点$D$为$\triangle ABC$下方的一点，连接$AD$，$BD$，过点$C$作$CE// BD$交$AD$于点$E$. 若$\angle ABD=\angle CAE$，$CE=3$，$AE=1$，求$DE$的长.

(1) 证明：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵AG=AF，
∴∠AGF=∠AFG，
∴∠AGB=∠AFE（邻补角相等）．
∵CE//BD，
∴∠AFE=∠E（两直线平行，内错角相等），
∴∠AGB=∠E．
在△ABG和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠ABD=∠CAE\\ ∠AGB=∠E\\ AB=CA\end{array}\right.$
∴△ABG≌△CAE(AAS)，
∴AG=CE．
(2) 解：
∵CE//BD，
∴∠ADB=∠AEC（两直线平行，内错角相等）．
∵∠ABD=∠CAE，
∴△ABD∽△CAE(AA)．
∵AB=AC，
∴$\frac{AB}{CA}=1$，
∴△ABD≌△CAE（相似比为1），
∴AD=CE=3．
∵AE=1，
∴DE=AD-AE=3-1=2．
答案：(1) 见证明；(2) 2

(1) 证明：
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵AG=AF，∴∠AGF=∠AFG，∴∠AGB=∠AFE（邻补角相等）．
∵CE//BD，∴∠AFE=∠E（两直线平行，内错角相等），∴∠AGB=∠E．
在△ABG和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠ABD=∠CAE\\ ∠AGB=∠E\\ AB=CA\end{array}\right.$
∴△ABG≌△CAE(AAS)，∴AG=CE．
(2) 解：
∵CE//BD，∴∠ADB=∠AEC（两直线平行，内错角相等）．
∵∠ABD=∠CAE，∴△ABD∽△CAE(AA)．
∵AB=AC，∴$\frac{AB}{CA}=1$，∴△ABD≌△CAE（相似比为1），∴AD=CE=3．
∵AE=1，∴DE=AD-AE=3-1=2．

24. (12分)已知在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，点$D$是边$AB$上的一点，$\angle BCD=\angle A$.
(1)如图1，试说明：$CD=CB$；
(2)如图2，过点$B$作$BE\perp AC$，垂足为$E$，$BE$与$CD$相交于点$F$.
①试说明：$\angle BCD=2\angle CBE$；
②如果$\triangle BDF$是等腰三角形，求$\angle A$的度数.

(1) 见解析；(2) ① 见解析；② 36°或45°。

(1) ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB。
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC=(180°-∠A)/2。
在△BCD中，∠BCD=∠A，∠CBD=∠ABC=(180°-∠A)/2，
∴∠CDB=180°-∠BCD-∠CBD=180°-∠A-(180°-∠A)/2=(180°-∠A)/2。
∴∠CDB=∠CBD，∴CD=CB。
(2) ① ∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠CBE=90°-∠ACB。
∵∠ACB=(180°-∠A)/2，∴∠CBE=90°-(180°-∠A)/2=∠A/2。
∵∠BCD=∠A，∴∠BCD=2∠CBE。
② 设∠A=x，则∠BCD=x，∠CBE=x/2，∠ABC=(180°-x)/2。
∠DBF=∠ABE=90°-x（∵BE⊥AC，∠ABE=90°-∠A），
∠BDF=∠CDB=(180°-x)/2（由(1)知CD=CB，△BCD中∠CDB=∠CBD），
∠BFD=180°-∠BDF-∠DBF=180°-(180°-x)/2-(90°-x)=3x/2。
△BDF为等腰三角形，分三种情况：
若BD=BF，则∠BDF=∠BFD，即(180°-x)/2=3x/2，解得x=45°；
若BD=DF，则∠DBF=∠BFD，即90°-x=3x/2，解得x=36°；
若BF=DF，则∠BDF=∠DBF，即(180°-x)/2=90°-x，解得x=0°（舍去）。
综上，∠A=36°或45°。