1.在$\triangle ABC$中$,\angle A,\angle B$都是锐角$,\mathrm{且\sin }A=\frac{1}{2},\mathrm{cos } B=\frac{\sqrt{3}}{2}$,则$\triangle ABC$的形状是().

A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定

B

在$\triangle ABC$中，$\angle A$、$\angle B$均为锐角，且$\sin A = \frac{1}{2}$，$\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
由$\sin A = \frac{1}{2}$，得$\angle A = 30°$（因$\angle A$为锐角）。
由$\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\angle B = 30°$（因$\angle B$为锐角）。
根据三角形内角和为$180°$，则$\angle C = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 30° - 30° = 120°$。
因$\angle C = 120° ＞ 90°$，故$\triangle ABC$为钝角三角形。

2.如果$\alpha$是锐角$,\mathrm{且\sin } \alpha=\frac{3}{5}$,那么$\mathrm{cos}(90^{\circ}-\alpha)$的值为().

A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$

B

因为α是锐角，根据互余角的三角函数关系，$\cos(90^{\circ}-\alpha)=\sin\alpha$。已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，所以$\cos(90^{\circ}-\alpha)=\frac{3}{5}$。

3.如图,已知$\triangle ABC$的外接圆$\odot O$的半径为$3$,$AC=4$,则$\mathrm{sin } B=$().


A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{2}{3}$

D

连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD。则AD为直径，AD=6，∠ACD=90°。在Rt△ACD中，sin∠ADC=AC/AD=4/6=2/3。因为∠B=∠ADC，所以sinB=2/3。

4.如图$,A,B,C$是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为$1$,则$\mathrm{tan} \angle BAC$的值为().


A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}$

B

连接BC，由网格知AB=√(2²+1²)=√5，AC=√(3²+1²)=√10，BC=√(1²+2²)=√5。在△ABC中，AB²+BC²=5+5=10=AC²，故△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，∠BAC=45°，tan∠BAC=1。

5.如图,在矩形$ABCD$中$,DE\bot AC$于点$E$,设$\angle ADE=\alpha$,且$\mathrm{cos } \alpha=\frac{3}{5}$,$AB=2$,则$AC$的长为().


A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{8}{5}$
C.$\frac{10}{3}$
D.$\frac{8}{3}$

C

在矩形$ABCD$中，$\angle BAD=90^{\circ}$，$AB=CD=2$，$DE\perp AC$，则$\angle AED=90^{\circ}$。
设$\angle ADE=\alpha$，在$ Rt\triangle ADE$中，$\angle DAE=90^{\circ}-\alpha$。
因为$\angle DAE+\angle BAC=\angle BAD=90^{\circ}$，所以$\angle BAC=\alpha$。
在$ Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC=90^{\circ}$，$\cos\alpha=\frac{AB}{AC}$。
已知$\cos\alpha=\frac{3}{5}$，$AB=2$，则$\frac{3}{5}=\frac{2}{AC}$，解得$AC=\frac{10}{3}$。