1.图②是图①中拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为$O,B$,以点$O$为原点、水平直线$OB$为$x$轴建立平面直角坐标系,桥的拱形可以近似看成抛物线$y = \frac { 1 } { 4 0 0 } ( x - 8 0 ) ^ { 2 } + 1 6$,桥拱与桥墩$AC$的交点$C$恰好在水面,有$AC \perp x$轴.若$OA = 1 0 m$,则桥面离水面的高度$AC$为().


A.$1 6 \frac { 1 } { 4 0 } m$
B.$\frac { 1 7 } { 4 } m$
C.$1 6 \frac { 7 } { 4 0 } m$
D.$\frac { 1 5 } { 4 } m$

B

因为AC⊥x轴，OA=10m，点O为原点，所以点A的坐标为(-10,0)，点C的横坐标为-10。将x=-10代入抛物线方程$y = \frac{1}{400}(x - 80)^2 + 16$，得$y = \frac{1}{400}(-10 - 80)^2 + 16 = \frac{1}{400}×8100 + 16 = \frac{81}{4} + 16 = \frac{81}{4} + \frac{64}{4} = \frac{145}{4} = 36.25$。因为点A在桥面，桥面在x轴上，点C在水面，所以AC的高度为点C的纵坐标，即$\frac{145}{4} - 0 = \frac{145}{4}$？不对，抛物线方程应该是开口向下的，原方程$y = \frac{1}{400}(x - 80)^2 + 16$中二次项系数为正，开口向上，不符合桥拱形状，应该是$y = -\frac{1}{400}(x - 80)^2 + 16$。重新代入x=-10，得$y = -\frac{1}{400}(-10 - 80)^2 + 16 = -\frac{1}{400}×8100 + 16 = -\frac{81}{4} + 16 = -\frac{81}{4} + \frac{64}{4} = -\frac{17}{4}$。因为高度不能为负，所以AC的高度为$0 - (-\frac{17}{4}) = \frac{17}{4}$m。

2.在半径为$4$的圆中挖去一个边长为$x cm$的正方形,剩下部分面积为$y cm^2$,则$y$与$x$之间的函数关系式为().

A.$y = \pi x ^ { 2 } - 4 x$
B.$y = 1 6 \pi - x ^ { 2 }$
C.$y = 1 6 - x ^ { 2 }$
D.$y = x ^ { 2 } - 4 y$

B

圆的面积公式为$S=\pi r^2$，已知半径为$4$，所以圆的面积为$\pi×4^2 = 16\pi$。
正方形的面积公式为$S = a^2$（$a$为边长），已知正方形边长为$x$，则正方形面积为$x^2$。
剩下部分面积$y$等于圆的面积减去正方形的面积，即$y = 16\pi - x^2$。

3.某旅游景点的收入受季节的影响较大,有时候出现赔本的经营状况,公司规定:若无利润,该景点关闭.经跟踪测算,该景点一年中的利润$W$与月份$x$之间满足二次函数$W = - x ^ { 2 } + 1 6 x - 4 8$,则该景点一年中处于关闭状态的有()个月.

A.5
B.6
C.7
D.8

A

已知利润 $W$ 与月份 $x$ 满足二次函数 $W = -x^{2} + 16x - 48$，若景点关闭，则 $W \leq 0$，即：
$-x^{2} + 16x - 48 \leq 0$，
将上式两边同时乘以$-1$，得到：
$x^{2} - 16x + 48 \geq 0$，
因式分解该二次函数，得到：
$(x - 4)(x - 12) \geq 0$，
根据不等式的性质，可以得到：
$x \leq 4$ 或 $x \geq 12$。
由于 $x$ 代表月份，所以 $x$ 的取值范围是 $1 \leq x \leq 12$，且 $x$ 为整数。
结合上述不等式，可以得到在 $1 \leq x \leq 12$ 范围内，满足 $W \leq 0$ 的 $x$ 有 $1, 2, 3, 4, 12$ 中的 $1,2,3,4$以及$12$月份共 $5$ 个月（因为当$x=4$时，$W=0$，也满足关闭条件），但由于$x=4$时是在边界上，也需要算入关闭的月份里，而题目问的是一年中关闭的状态的月份数，由于该函数在$x=4$和$x=12$时取等号，所以关闭的月份为$1,2,3,4,12$以及另一侧由于$x\geq12$不在范围内，所以不考虑，而$x\leq4$已经包含了$1,2,3,4$四个月，由于二次函数对称轴为$x=8$，根据对称性，另一侧应该还有$5,6,7$（由$12-5=7$，对称得到，但由于$x=8$时，$W$取得最大值，所以$5,6,7$并不满足$W\leq0$，而是$W＞0$，即开启状态），真正满足的只有$1,2,3,4,12$中的前$4$个月和最后一个月，但由于是连续的月份，所以应该算$1-4$月以及$12$月，共$5$个月关闭。

4.如图,某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为$8 m$,两侧距地面$4 m$高处各有一个挂校名匾用的铁环,两铁环的水平距离为$6 m$,则校门的高约为()(精确到$0 . 1 m$,水泥建筑物的厚度忽略不记).


A.$5 . 1 m$
B.$9 m$
C.$9 . 1 m$
D.$9 . 2 m$

C

以地面为x轴，抛物线对称轴为y轴建立坐标系，设抛物线解析式为$y = ax^2 + h$（$h$为校门高度）。抛物线与x轴交于$(-4,0)$、$(4,0)$，铁环坐标为$(-3,4)$、$(3,4)$。
将$(4,0)$代入得：$16a + h = 0$ ①；
将$(3,4)$代入得：$9a + h = 4$ ②。
① - ②得：$7a = -4$，$a = -\frac{4}{7}$。
代入①：$h = -16a = \frac{64}{7} \approx 9.1$。