13.(8 分)如图,在 △ABC 中,点 D 在 AB 边上.若 BC=3,BD=2,且 ∠BCD=∠A,线段 AD 的长为多少?

由题意知
$\angle BCD = \angle A$，
$\angle B = \angle B$，
所以$\triangle BCD \sim \triangle BAC$，
根据相似三角形的性质，有：
$\frac{BC}{BA} = \frac{BD}{BC}$，
代入已知条件 $BC = 3$ 和 $BD = 2$，得：
$\frac{3}{BA} = \frac{2}{3}$，
解这个方程，得到：
$BA = \frac{9}{2}$，
由于 $AD = AB - BD$，代入 $AB = \frac{9}{2}$ 和 $BD = 2$，得：
$AD = \frac{9}{2} - 2 = \frac{5}{2}$，
故$AD$的长为$\frac{5}{2}$。

14.(8 分)如图,点 E 是 △ABC 的内心,AE 的延长线与 BC 相交于点 F,与 △ABC 的外接圆相交于点 D.
(1) 求证: △BFD∽△ABD.
(2) 求证: DE=DB.

(1)证明：∵E是△ABC内心，∴AE平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。
∵∠CAD=∠CBD（同弧CD所对圆周角相等），∴∠BAD=∠FBD。
在△ABD与△BFD中，
∠ADB=∠FDB（公共角），
∠BAD=∠FBD，
∴△BFD∽△ABD（AA）。
(2)证明：∵E是△ABC内心，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE。
∵∠DEB=∠EAB+∠ABE（三角形外角等于不相邻两内角和），
∠DBE=∠DBC+∠CBE，
又∵∠EAB=∠BAD=∠DBC（已证），∠ABE=∠CBE，
∴∠DEB=∠DBE，
∴DE=DB（等角对等边）。