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19. 设$α$为锐角，且满足$2\sin ^{2}α + 3\sin α - 2 = 0$。求$α$的度数。
答案
19. $30^{\circ}$
解析
解：设$\sinα = x$，则方程可化为$2x^{2} + 3x - 2 = 0$。
因式分解得$(2x - 1)(x + 2) = 0$，解得$x = \frac{1}{2}$或$x = -2$。
因为$α$为锐角，所以$0 ＜ \sinα ＜ 1$，故$x = -2$舍去，$\sinα = \frac{1}{2}$。
所以$α = 30^{\circ}$。
因式分解得$(2x - 1)(x + 2) = 0$，解得$x = \frac{1}{2}$或$x = -2$。
因为$α$为锐角，所以$0 ＜ \sinα ＜ 1$，故$x = -2$舍去，$\sinα = \frac{1}{2}$。
所以$α = 30^{\circ}$。
20. 如图，$BD$是矩形$ABCD$的对角线。
（1）求作$\odot A$，使得$\odot A$与$BD$相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，设$BD$与$\odot A$相切于点$E$，$CF⊥ BD$，垂足为$F$。若直线$CF$与$\odot A$相切于点$G$，求$\tan ∠ ADB$的值。
（1）求作$\odot A$，使得$\odot A$与$BD$相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，设$BD$与$\odot A$相切于点$E$，$CF⊥ BD$，垂足为$F$。若直线$CF$与$\odot A$相切于点$G$，求$\tan ∠ ADB$的值。
答案
20. (1)略 (2)$\tan∠ ADB = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
解析
（1）作图痕迹如图所示（保留作图痕迹）。
（2）设矩形 $ABCD$ 中，$AD = a$，$AB = b$，$\odot A$ 的半径为 $r$。
因为 $BD$ 是矩形对角线，所以 $BD = \sqrt{a^2 + b^2}$。
$\odot A$ 与 $BD$ 相切于 $E$，则 $AE ⊥ BD$，且 $AE = r$。
由面积法：$\frac{1}{2} · AD · AB = \frac{1}{2} · BD · AE$，得 $ab = r\sqrt{a^2 + b^2}$，即 $r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}$。
因为 $CF ⊥ BD$，且 $CF$ 与 $\odot A$ 相切于 $G$，所以 $AG = r$ 且 $AG ⊥ CF$。
易证 $△ ADE ∼ △ CDF$，$∠ ADB = ∠ CDB$，设 $\tan ∠ ADB = t$，则 $t = \frac{AB}{AD} = \frac{b}{a}$，即 $b = at$。
$BD = \sqrt{a^2 + (at)^2} = a\sqrt{1 + t^2}$，$r = \frac{a · at}{a\sqrt{1 + t^2}} = \frac{at}{\sqrt{1 + t^2}}$。
又因为 $AG ⊥ CF$，$CF ⊥ BD$，所以 $AG // BD$，则四边形 $AEFG$ 为矩形，$AG = EF = r$。
$DE = \frac{AD^2}{BD} = \frac{a^2}{a\sqrt{1 + t^2}} = \frac{a}{\sqrt{1 + t^2}}$，$BF = DE = \frac{a}{\sqrt{1 + t^2}}$，
$EF = BD - DE - BF = a\sqrt{1 + t^2} - \frac{2a}{\sqrt{1 + t^2}} = r = \frac{at}{\sqrt{1 + t^2}}$。
化简得：$\sqrt{1 + t^2} - \frac{2}{\sqrt{1 + t^2}} = \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}}$，
两边同乘 $\sqrt{1 + t^2}$：$1 + t^2 - 2 = t$，即 $t^2 - t - 1 = 0$，
解得 $t = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$，取正值 $t = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$。
$\tan ∠ ADB = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
（2）设矩形 $ABCD$ 中，$AD = a$，$AB = b$，$\odot A$ 的半径为 $r$。
因为 $BD$ 是矩形对角线，所以 $BD = \sqrt{a^2 + b^2}$。
$\odot A$ 与 $BD$ 相切于 $E$，则 $AE ⊥ BD$，且 $AE = r$。
由面积法：$\frac{1}{2} · AD · AB = \frac{1}{2} · BD · AE$，得 $ab = r\sqrt{a^2 + b^2}$，即 $r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}$。
因为 $CF ⊥ BD$，且 $CF$ 与 $\odot A$ 相切于 $G$，所以 $AG = r$ 且 $AG ⊥ CF$。
易证 $△ ADE ∼ △ CDF$，$∠ ADB = ∠ CDB$，设 $\tan ∠ ADB = t$，则 $t = \frac{AB}{AD} = \frac{b}{a}$，即 $b = at$。
$BD = \sqrt{a^2 + (at)^2} = a\sqrt{1 + t^2}$，$r = \frac{a · at}{a\sqrt{1 + t^2}} = \frac{at}{\sqrt{1 + t^2}}$。
又因为 $AG ⊥ CF$，$CF ⊥ BD$，所以 $AG // BD$，则四边形 $AEFG$ 为矩形，$AG = EF = r$。
$DE = \frac{AD^2}{BD} = \frac{a^2}{a\sqrt{1 + t^2}} = \frac{a}{\sqrt{1 + t^2}}$，$BF = DE = \frac{a}{\sqrt{1 + t^2}}$，
$EF = BD - DE - BF = a\sqrt{1 + t^2} - \frac{2a}{\sqrt{1 + t^2}} = r = \frac{at}{\sqrt{1 + t^2}}$。
化简得：$\sqrt{1 + t^2} - \frac{2}{\sqrt{1 + t^2}} = \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}}$，
两边同乘 $\sqrt{1 + t^2}$：$1 + t^2 - 2 = t$，即 $t^2 - t - 1 = 0$，
解得 $t = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$，取正值 $t = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$。
$\tan ∠ ADB = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
21. 在正方形$ABCD$中，$M$是$AD$的中点，$BE = 3AE$，求$\sin ∠ ECM$的值。
答案
21. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
解析
解：设正方形$ABCD$的边长为$4a$，则$AB=BC=CD=AD=4a$。
因为$BE = 3AE$，$AB = AE + BE = 4a$，所以$AE = a$，$BE = 3a$。
因为$M$是$AD$的中点，所以$AM = MD = 2a$。
在$Rt△ AEM$中，$AE = a$，$AM = 2a$，由勾股定理得：$EM=\sqrt{AE^{2}+AM^{2}}=\sqrt{a^{2}+(2a)^{2}}=\sqrt{5}a$。
在$Rt△ EBC$中，$BE = 3a$，$BC = 4a$，由勾股定理得：$EC=\sqrt{BE^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(3a)^{2}+(4a)^{2}}=5a$。
在$Rt△ MDC$中，$MD = 2a$，$CD = 4a$，由勾股定理得：$MC=\sqrt{MD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{(2a)^{2}+(4a)^{2}}=2\sqrt{5}a$。
在$△ ECM$中，$EM = \sqrt{5}a$，$MC = 2\sqrt{5}a$，$EC = 5a$。
因为$(\sqrt{5}a)^{2}+(2\sqrt{5}a)^{2}=5a^{2}+20a^{2}=25a^{2}=(5a)^{2}$，即$EM^{2}+MC^{2}=EC^{2}$，所以$△ ECM$是直角三角形，且$∠ EMC = 90^{\circ}$。
所以$\sin∠ ECM=\dfrac{EM}{EC}=\dfrac{\sqrt{5}a}{5a}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$。
$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
因为$BE = 3AE$，$AB = AE + BE = 4a$，所以$AE = a$，$BE = 3a$。
因为$M$是$AD$的中点，所以$AM = MD = 2a$。
在$Rt△ AEM$中，$AE = a$，$AM = 2a$，由勾股定理得：$EM=\sqrt{AE^{2}+AM^{2}}=\sqrt{a^{2}+(2a)^{2}}=\sqrt{5}a$。
在$Rt△ EBC$中，$BE = 3a$，$BC = 4a$，由勾股定理得：$EC=\sqrt{BE^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(3a)^{2}+(4a)^{2}}=5a$。
在$Rt△ MDC$中，$MD = 2a$，$CD = 4a$，由勾股定理得：$MC=\sqrt{MD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{(2a)^{2}+(4a)^{2}}=2\sqrt{5}a$。
在$△ ECM$中，$EM = \sqrt{5}a$，$MC = 2\sqrt{5}a$，$EC = 5a$。
因为$(\sqrt{5}a)^{2}+(2\sqrt{5}a)^{2}=5a^{2}+20a^{2}=25a^{2}=(5a)^{2}$，即$EM^{2}+MC^{2}=EC^{2}$，所以$△ ECM$是直角三角形，且$∠ EMC = 90^{\circ}$。
所以$\sin∠ ECM=\dfrac{EM}{EC}=\dfrac{\sqrt{5}a}{5a}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$。
$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
22. 如图，$AB$为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动，小宇在点$A$处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东$68^{\circ}$的点$C$处，观光船到滨海大道的距离$CB$为$200\ m$。当小宇沿滨海大道向东步行$200\ m$到达点$E$时，观光船沿北偏西$40^{\circ}$的方向航行至点$D$处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从$C$处航行到$D$处的距离。（参考数据：$\sin 40^{\circ} \approx 0.64$，$\cos 40^{\circ} \approx 0.77$，$\tan 40^{\circ} \approx 0.84$，$\sin 68^{\circ} \approx 0.93$，$\cos 68^{\circ} \approx 0.37$，$\tan 68^{\circ} \approx 2.48$）
答案
22. $462.5\mathrm{m}$
