20. (本题满分 8 分)
已知关于 x 的分式方程$\frac{x+a}{x+3}-\frac{6}{x}=1$。
(1) 若分式方程的解是 x=2,求 a 的值;
(2) 若分式方程有增根,求 a 的值。

(1) $ a = 18 $
(2) $ a = 3 $

答题人：
(1)
将 $ x = 2 $ 代入分式方程：
$\frac{2 + a}{2 + 3} - \frac{6}{2} = 1$
化简：
$\frac{2 + a}{5} - 3 = 1$
移项：
$\frac{2 + a}{5} = 4$
两边乘以 5：
$2 + a = 20$
解得：
$a = 18$
(2)
分式方程去分母，两边同乘 $ x(x + 3) $：
$x(x + a) - 6(x + 3) = x(x + 3)$
化简：
$x^2 + ax - 6x - 18 = x^2 + 3x$
消去 $ x^2 $：
$ax - 6x - 18 = 3x$
移项：
$ax - 9x = 18$
提取公因式：
$x(a - 9) = 18$
增根为分母为零时的根，即 $ x = 0 $ 或 $ x = -3 $。
当 $ x = 0 $ 时，代入方程：
$0 · (a - 9) = 18$
无解。
当 $ x = -3 $ 时，代入方程：
$-3(a - 9) = 18$
解得：
$a - 9 = -6 \quad \Rightarrow \quad a = 3$
最终

21. (本题满分 8 分)
如图,某货轮往返于长江的 A,B 两港之间,已知 A,B 相距 2000 千米。
(1) 若水流速度为每小时 5 千米,这艘货轮从 A 到 B 顺水所用的时间是从 B 到 A 逆水所用时间的$\frac{2}{3}$,求该货轮在静水航行的速度。
(2) 若港口 C 到 A,B 两港的距离相等,货轮在静水航行的速度为每小时 v 千米,AC 段河流水速为每小时 a 千米,BC 段因受降水影响,水速变为每小时 b 千米($a＜b＜\frac{v}{2}$)。设货轮在 AC 段的逆水航行时间为 $t_{1}$,在 BC 段的逆水航行时间为 $t_{2}$,请判断$\frac{t_{1}}{t_{2}}$与$\frac{a}{b}$的大小关系,通过计算说明理由。

(1)25千米/小时；(2)$\frac{t_1}{t_2}＞\frac{a}{b}$。

(1)设货轮在静水中的速度为$x$千米/小时，顺水速度为$(x+5)$千米/小时，逆水速度为$(x-5)$千米/小时。
由题意得：$\frac{2000}{x+5}=\frac{2}{3}×\frac{2000}{x-5}$，
化简得：$\frac{1}{x+5}=\frac{2}{3(x-5)}$，
交叉相乘：$3(x-5)=2(x+5)$，
解得：$x=25$。
经检验，$x=25$是原方程的解，且$x-5=20＞0$，符合题意。
(2)$AC=BC=1000$千米，$t_1=\frac{1000}{v-a}$，$t_2=\frac{1000}{v-b}$，
则$\frac{t_1}{t_2}=\frac{v-b}{v-a}$。
比较$\frac{v-b}{v-a}$与$\frac{a}{b}$：
$\frac{v-b}{v-a}-\frac{a}{b}=\frac{b(v-b)-a(v-a)}{b(v-a)}=\frac{(b-a)(v-a-b)}{b(v-a)}$。
$\because a＜b＜\frac{v}{2}$，$\therefore b-a＞0$，$v-a-b＞v-\frac{v}{2}-\frac{v}{2}=0$，$b(v-a)＞0$，
$\therefore\frac{(b-a)(v-a-b)}{b(v-a)}＞0$，即$\frac{t_1}{t_2}＞\frac{a}{b}$。