1. 如图, $E$, $G$, $F$, $H$ 分别是矩形 $ABCD$ 四条边上的一点, 且 $EF ⊥ GH$. 若 $AB = 2$, $BC = 3$, 求 $\dfrac{EF}{GH}$ 的值.

$\frac{3}{2}$

以矩形ABCD的顶点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(2,0)，C(2,3)，D(0,3)。设E在AB上，F在CD上，坐标分别为E(a,0)，F(b,3)；G在BC上，H在AD上，坐标分别为G(2,c)，H(0,d)。
EF的斜率$k_{EF}=\frac{3-0}{b-a}=\frac{3}{b-a}$，GH的斜率$k_{GH}=\frac{d-c}{0-2}=\frac{d-c}{-2}$。因EF⊥GH，故$k_{EF}· k_{GH}=-1$，即$\frac{3}{b-a}·\frac{d-c}{-2}=-1$，化简得$3(d-c)=2(b-a)$。
EF的长度$EF=\sqrt{(b-a)^2+3^2}=\sqrt{(b-a)^2+9}$，GH的长度$GH=\sqrt{2^2+(d-c)^2}=\sqrt{4+(d-c)^2}$。设$b-a=3k$，则$d-c=2k$，代入得$EF=\sqrt{(3k)^2+9}=3\sqrt{k^2+1}$，$GH=\sqrt{4+(2k)^2}=2\sqrt{k^2+1}$，故$\frac{EF}{GH}=\frac{3}{2}$。

2. 如图, 四边形 $ABCD$ 为矩形, 以 $AD$ 为边向上作等边 $△ ADE$, 连接 $BE$, 过点 $C$ 作 $CH ⊥ BE$ 交 $AB$ 于点 $H$, 交 $BE$ 于点 $G$, 若 $AE = 2$, 求 $BE · BG$ 的值.

2

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建系。设AB=x，则B(x,0)，C(x,2)，D(0,2)。等边△ADE中，AE=2，E(√3,1)。向量BE=(√3 - x,1)，向量BC=(0,2)。CH⊥BE，G为垂足，BG=BC·cosθ（θ为BE与BC夹角）。BE·BG=|BE|·|BC|cosθ=向量BE·向量BC=(√3 - x)·0 + 1·2=2。

3. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ BAC = 90^{\circ}$, $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}$, $D$ 为 $AC$ 的中点, 过点 $A$ 作 $AF ⊥ BD$, 交 $BC$ 于点 $F$. 求 $\dfrac{AF}{BD}$ 的值.

$\frac{12}{17}$

设$AB = 3k$，$AC = 4k$（$k＞0$），则$AD = \frac{1}{2}AC = 2k$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{(3k)^2 + (2k)^2} = \sqrt{13}k$。
以$A$为原点，$AB$为$y$轴，$AC$为$x$轴建立坐标系，则$A(0,0)$，$B(0,3k)$，$C(4k,0)$，$D(2k,0)$。
直线$BD$的解析式：设$y = mx + n$，代入$B(0,3k)$，$D(2k,0)$，得$n = 3k$，$0 = 2km + 3k$，解得$m = -\frac{3}{2}$，故$BD:y = -\frac{3}{2}x + 3k$。
$AF ⊥ BD$，则$AF$斜率为$\frac{2}{3}$，又过$A(0,0)$，故$AF:y = \frac{2}{3}x$。
直线$BC$的解析式：设$y = px + q$，代入$B(0,3k)$，$C(4k,0)$，得$q = 3k$，$0 = 4kp + 3k$，解得$p = -\frac{3}{4}$，故$BC:y = -\frac{3}{4}x + 3k$。
联立$AF$与$BC$方程：$\frac{2}{3}x = -\frac{3}{4}x + 3k$，解得$x = \frac{36k}{17}$，$y = \frac{24k}{17}$，即$F(\frac{36k}{17},\frac{24k}{17})$。
$AF = \sqrt{(\frac{36k}{17})^2 + (\frac{24k}{17})^2} = \frac{12\sqrt{13}k}{17}$。
故$\frac{AF}{BD} = \frac{\frac{12\sqrt{13}k}{17}}{\sqrt{13}k} = \frac{12}{17}$。