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1. 下列函数关系式：①$y=\frac{5}{2x}$；②$y=\frac{x}{2}$；③$xy = 2$；④$y = 3x^{-1}$；⑤$y=\frac{2}{x - 1}$。其中表示$y$是$x$的反比例函数的是
①③④
。(填序号)答案
①③④
解析
反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）或$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）或$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）。
①$y=\frac{5}{2x}=\frac{\frac{5}{2}}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$形式，是反比例函数；
②$y=\frac{x}{2}$是正比例函数，不是反比例函数；
③$xy=2$可化为$y=\frac{2}{x}$，符合$xy=k$形式，是反比例函数；
④$y=3x^{-1}=\frac{3}{x}$，符合$y=kx^{-1}$形式，是反比例函数；
⑤$y=\frac{2}{x - 1}$，分母是$x - 1$，不是$x$，不是反比例函数。
综上，是反比例函数的为①③④。
①$y=\frac{5}{2x}=\frac{\frac{5}{2}}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$形式，是反比例函数；
②$y=\frac{x}{2}$是正比例函数，不是反比例函数；
③$xy=2$可化为$y=\frac{2}{x}$，符合$xy=k$形式，是反比例函数；
④$y=3x^{-1}=\frac{3}{x}$，符合$y=kx^{-1}$形式，是反比例函数；
⑤$y=\frac{2}{x - 1}$，分母是$x - 1$，不是$x$，不是反比例函数。
综上，是反比例函数的为①③④。
2. 已知反比例函数的解析式为$y=\frac{|a| - 2}{x}$，则$a$的取值范围是(
A.$a≠ 2$
B.$a≠ - 2$
C.$a≠\pm 2$
D.$a=\pm 2$
C
)A.$a≠ 2$
B.$a≠ - 2$
C.$a≠\pm 2$
D.$a=\pm 2$
答案
C
解析
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），已知函数解析式为$y=\frac{|a| - 2}{x}$，则需满足$|a| - 2 ≠ 0$，即$|a| ≠ 2$，解得$a≠±2$。
3. 若$y=(m + 3)x^{m^{2}-10}$是反比例函数，则其函数解析式为
$y=\frac{6}{x}$
。答案
$y=\frac{6}{x}$
解析
反比例函数的一般形式为 $y = \frac{k}{x}$（$k ≠ 0$），也可以写成 $y = kx^{-1}$ 的形式。
在本题中，函数 $y = (m + 3)x^{m^2 - 10}$ 是反比例函数，那么其指数 $m^2 - 10$ 必须等于 $-1$，即：
$m^2 - 10 = -1$，
$m^2 = 9$，
$m = \pm 3$，
另外，由于 $m + 3 ≠ 0$，排除 $m = -3$ 这一解，得到 $m = 3$。
将 $m = 3$ 代入原函数，得到：
$y = (3 + 3)x^{-1} = \frac{6}{x}$。
在本题中，函数 $y = (m + 3)x^{m^2 - 10}$ 是反比例函数，那么其指数 $m^2 - 10$ 必须等于 $-1$，即：
$m^2 - 10 = -1$，
$m^2 = 9$，
$m = \pm 3$，
另外，由于 $m + 3 ≠ 0$，排除 $m = -3$ 这一解，得到 $m = 3$。
将 $m = 3$ 代入原函数，得到：
$y = (3 + 3)x^{-1} = \frac{6}{x}$。
4. 已知函数$y=(n + 3)x^{n^{2}+2n - 9}$是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小，则此函数的解析式为
$y=\frac{5}{x}$
。答案
$y=\frac{5}{x}$
解析
根据反比例函数的定义，自变量的指数应为 -1，即：
$n^{2} + 2n - 9 = -1$，
化简得：
$n^{2} + 2n - 8 = 0$，
通过因式分解，得到：
$(n + 4)(n - 2) = 0$，
所以，$n$ 的可能值为 $n = -4$ 或 $n = 2$。
根据题目条件，函数图象所在的每一个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，这意味着函数的系数 $n + 3$ 必须大于 0，即：
$n + 3 ＞ 0$，
所以，得到：
$n ＞ -3$，
结合上述两个结果，只有 $n = 2$ 满足条件。
将 $n = 2$ 代入原函数，得到函数的解析式为：
$y = \frac{5}{x}$。
$n^{2} + 2n - 9 = -1$，
化简得：
$n^{2} + 2n - 8 = 0$，
通过因式分解，得到：
$(n + 4)(n - 2) = 0$，
所以，$n$ 的可能值为 $n = -4$ 或 $n = 2$。
根据题目条件，函数图象所在的每一个象限内，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，这意味着函数的系数 $n + 3$ 必须大于 0，即：
$n + 3 ＞ 0$，
所以，得到：
$n ＞ -3$，
结合上述两个结果，只有 $n = 2$ 满足条件。
将 $n = 2$ 代入原函数，得到函数的解析式为：
$y = \frac{5}{x}$。
5. (2025 河南中考改编)小军将含$45^{\circ}$角的三角板$OAC$按如图方式摆放在平面直角坐标系$xOy$中，其中直角顶点$C$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞ 0)$的图象上，若$OA = 4$，则反比例函数的解析式为
$ y=\frac{4}{x} $
。答案
$ y=\frac{4}{x} $
解析
设点$ C(a,b) $，$ a＞0,b＞0 $。由题意知$ △ OAC $是含$ 45^{\circ} $角的直角三角板，直角顶点为$ C $，故$ △ OAC $为等腰直角三角形，$ OC=AC $。
$ OA=4 $，且$ A $在$ y $轴上，所以$ A(0,4) $。
$ OC^{2}=a^{2}+b^{2} $，$ AC^{2}=a^{2}+(b-4)^{2} $，由$ OC=AC $得$ a^{2}+b^{2}=a^{2}+(b-4)^{2} $，解得$ b=2 $。
又$ OC^{2}+AC^{2}=OA^{2}=16 $，且$ OC=AC $，则$ 2OC^{2}=16 $，$ OC^{2}=8 $，即$ a^{2}+b^{2}=8 $。
将$ b=2 $代入得$ a^{2}+4=8 $，$ a^{2}=4 $，$ a=2 $（$ a＞0 $）。
所以$ C(2,2) $，代入$ y=\frac{k}{x} $得$ k=2×2=4 $，故反比例函数解析式为$ y=\frac{4}{x} $。
$ OA=4 $，且$ A $在$ y $轴上，所以$ A(0,4) $。
$ OC^{2}=a^{2}+b^{2} $，$ AC^{2}=a^{2}+(b-4)^{2} $，由$ OC=AC $得$ a^{2}+b^{2}=a^{2}+(b-4)^{2} $，解得$ b=2 $。
又$ OC^{2}+AC^{2}=OA^{2}=16 $，且$ OC=AC $，则$ 2OC^{2}=16 $，$ OC^{2}=8 $，即$ a^{2}+b^{2}=8 $。
将$ b=2 $代入得$ a^{2}+4=8 $，$ a^{2}=4 $，$ a=2 $（$ a＞0 $）。
所以$ C(2,2) $，代入$ y=\frac{k}{x} $得$ k=2×2=4 $，故反比例函数解析式为$ y=\frac{4}{x} $。
6. 如图，矩形$ABOC$的面积为$10$，顶点$B$在$x$轴负半轴上，顶点$C$在$y$轴正半轴上，$P$为对角线的交点，则经过点$P$的双曲线的解析式为
y=-5/(2x)
。答案
y=-5/(2x)
解析
设点B(-a,0)，C(0,b)，其中a＞0，b＞0。矩形ABOC面积为ab=10。对角线交点P为AO中点，A(-a,b)，O(0,0)，则P(-a/2,b/2)。设双曲线解析式y=k/x，代入P得k=(-a/2)(b/2)=-ab/4=-10/4=-5/2，故解析式为y=-5/(2x)。
7. (2025 浙江中考)已知反比例函数$y=-\frac{7}{x}$。下列选项正确的是(
A.函数图象在第一、三象限
B.$y$随$x$的增大而减小
C.函数图象在第二、四象限
D.$y$随$x$的增大而增大
C
)A.函数图象在第一、三象限
B.$y$随$x$的增大而减小
C.函数图象在第二、四象限
D.$y$随$x$的增大而增大
答案
C
解析
反比例函数 $y = -\frac{7}{x}$，其中 $k = -7 ＜ 0$。
根据反比例函数的性质，当$k＜0$时，函数图象在第二，四象限，在每一象限内，$y$随$x$的增大而增大（但整体不单调）。
A选项：函数图象在一，三象限，因为$k＜0$，所以图象应在二，四象限，该选项错误。
B选项：$y$随$x$的增大而减小，因为$k＜0$，在每一象限内，$y$应随$x$的增大而增大，该选项错误。
C选项：函数图象在第二，四象限，因为$k＜0$，该选项正确。
D选项：$y$随$x$的增大而增大，虽然$k＜0$时，在每一象限内$y$随$x$的增大而增大，但整体并不是单调函数，该选项描述不准确，所以该选项错误。
根据反比例函数的性质，当$k＜0$时，函数图象在第二，四象限，在每一象限内，$y$随$x$的增大而增大（但整体不单调）。
A选项：函数图象在一，三象限，因为$k＜0$，所以图象应在二，四象限，该选项错误。
B选项：$y$随$x$的增大而减小，因为$k＜0$，在每一象限内，$y$应随$x$的增大而增大，该选项错误。
C选项：函数图象在第二，四象限，因为$k＜0$，该选项正确。
D选项：$y$随$x$的增大而增大，虽然$k＜0$时，在每一象限内$y$随$x$的增大而增大，但整体并不是单调函数，该选项描述不准确，所以该选项错误。
8. 已知点$A(-2,y_{1})$，$B(-1,y_{2})$，$C(1,y_{3})$均在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上，则$y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$的大小关系是
$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
(用“$＜$”连接)。答案
$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
解析
已知点 $A(-2, y_1)$、$B(-1, y_2)$、$C(1, y_3)$ 在反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 的图象上，将各点横坐标代入函数解析式求出对应的纵坐标：
当 $x = -2$ 时，$y_1 = \frac{3}{-2} = -1.5$；
当 $x = -1$ 时，$y_2 = \frac{3}{-1} = -3$；
当 $x = 1$ 时，$y_3 = \frac{3}{1} = 3$。
比较 $y_1$、$y_2$、$y_3$ 的大小：$-3 ＜ -1.5 ＜ 3$，即 $y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
当 $x = -2$ 时，$y_1 = \frac{3}{-2} = -1.5$；
当 $x = -1$ 时，$y_2 = \frac{3}{-1} = -3$；
当 $x = 1$ 时，$y_3 = \frac{3}{1} = 3$。
比较 $y_1$、$y_2$、$y_3$ 的大小：$-3 ＜ -1.5 ＜ 3$，即 $y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
9. 已知$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，$C(x_{3},y_{3})$是反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上的三点，若$x_{1}＜ x_{2}＜ x_{3}$，$y_{2}＜ y_{1}＜ y_{3}$，则下列关系式错误的是(
A.$x_{1}· x_{2}＜ 0$
B.$x_{1}· x_{3}＜ 0$
C.$x_{2}· x_{3}＜ 0$
D.$x_{1}+x_{2}＜ 0$
A
)A.$x_{1}· x_{2}＜ 0$
B.$x_{1}· x_{3}＜ 0$
C.$x_{2}· x_{3}＜ 0$
D.$x_{1}+x_{2}＜ 0$
答案
A
解析
反比例函数$y=\frac{2}{x}$中$k=2＞0$，图像在一、三象限，在各象限内$y$随$x$增大而减小。已知$x_1 ＜ x_2 ＜ x_3$且$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$，分析可得：$A$、$B$在第三象限（$x_1 ＜ x_2 ＜ 0$），$C$在第一象限（$x_3 ＞ 0$）。
$x_1$、$x_2$为负，$x_3$为正。
A：$x_1·x_2$（负×负）为正，故$x_1·x_2 ＜ 0$错误；
B：$x_1·x_3$（负×正）为负，正确；
C：$x_2·x_3$（负×正）为负，正确；
D：$x_1 + x_2$（负+负）为负，正确。
$x_1$、$x_2$为负，$x_3$为正。
A：$x_1·x_2$（负×负）为正，故$x_1·x_2 ＜ 0$错误；
B：$x_1·x_3$（负×正）为负，正确；
C：$x_2·x_3$（负×正）为负，正确；
D：$x_1 + x_2$（负+负）为负，正确。
