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7. 为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲、乙两组数据，如下表：
关于以上数据，下列说法正确的是 （
A.甲、乙的众数相同
B.甲、乙的中位数相同
C.甲的平均数小于乙的平均数
D.甲的方差小于乙的方差
关于以上数据，下列说法正确的是 （
D
）A.甲、乙的众数相同
B.甲、乙的中位数相同
C.甲的平均数小于乙的平均数
D.甲的方差小于乙的方差
答案
7. D
解析
【分析】
要判断各选项的正误，需先根据众数、中位数、平均数、方差的定义，分别计算出甲、乙两组数据对应的四个统计量，再逐一对比选项内容即可得出结论。
【解析】
首先整理两组数据：甲：2，6，7，7，8；乙：2，3，4，8，8，两组数据均为5个。
1. 判断A选项：众数是一组数据中出现次数最多的数。甲的众数为7，乙的众数为8，二者不相同，A错误。
2. 判断B选项：将数据从小到大排序后，中位数为中间位置的数。甲排序后为2，6，7，7，8，中位数是7；乙排序后为2，3，4，8，8，中位数是4，二者不相同，B错误。
3. 判断C选项：平均数为数据总和除以数据个数。
$\overline{x}_甲=\frac{2+6+7+7+8}{5}=6$，$\overline{x}_乙=\frac{2+3+4+8+8}{5}=5$，甲的平均数大于乙的平均数，C错误。
4. 判断D选项：方差计算公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$。
$s^2_甲=\frac{1}{5}[(2-6)^2+(6-6)^2+(7-6)^2+(7-6)^2+(8-6)^2]=\frac{22}{5}=4.4$
$s^2_乙=\frac{1}{5}[(2-5)^2+(3-5)^2+(4-5)^2+(8-5)^2+(8-5)^2]=\frac{32}{5}=6.4$
可得甲的方差小于乙的方差，D正确。
【答案】
D
【知识点】
统计量计算，方差计算
【点评】
本题是统计类基础题，核心考查各常见统计量的定义与计算方法，只要熟练掌握相关概念，仔细运算即可得分。
【难度系数】
0.7
要判断各选项的正误，需先根据众数、中位数、平均数、方差的定义，分别计算出甲、乙两组数据对应的四个统计量，再逐一对比选项内容即可得出结论。
【解析】
首先整理两组数据：甲：2，6，7，7，8；乙：2，3，4，8，8，两组数据均为5个。
1. 判断A选项：众数是一组数据中出现次数最多的数。甲的众数为7，乙的众数为8，二者不相同，A错误。
2. 判断B选项：将数据从小到大排序后，中位数为中间位置的数。甲排序后为2，6，7，7，8，中位数是7；乙排序后为2，3，4，8，8，中位数是4，二者不相同，B错误。
3. 判断C选项：平均数为数据总和除以数据个数。
$\overline{x}_甲=\frac{2+6+7+7+8}{5}=6$，$\overline{x}_乙=\frac{2+3+4+8+8}{5}=5$，甲的平均数大于乙的平均数，C错误。
4. 判断D选项：方差计算公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$。
$s^2_甲=\frac{1}{5}[(2-6)^2+(6-6)^2+(7-6)^2+(7-6)^2+(8-6)^2]=\frac{22}{5}=4.4$
$s^2_乙=\frac{1}{5}[(2-5)^2+(3-5)^2+(4-5)^2+(8-5)^2+(8-5)^2]=\frac{32}{5}=6.4$
可得甲的方差小于乙的方差，D正确。
【答案】
D
【知识点】
统计量计算，方差计算
【点评】
本题是统计类基础题，核心考查各常见统计量的定义与计算方法，只要熟练掌握相关概念，仔细运算即可得分。
【难度系数】
0.7
8. 小莹同学过去10周的综合素质评价成绩统计如下表：
小莹同学这10周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是（
A.97.5分、2.8分²
B.97.5分、3分²
C.97分、2.8分²
D.97分、3分²
小莹同学这10周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是（
B
）A.97.5分、2.8分²
B.97.5分、3分²
C.97分、2.8分²
D.97分、3分²
答案
8. B
解析
【分析】
解题分为两步：第一步求中位数，首先明确总共有10个数据（偶数个），中位数是将数据从小到大排序后第5、第6个数据的平均数，先统计各成绩的数量确定第5、6位的成绩即可计算；第二步求方差，先计算10个数据的加权平均数，再代入方差公式，结合各成绩对应的频数计算即可。
【解析】
1. 计算总周数：$1+2+2+4+1=10$（周）
2. 求中位数：
将10个成绩从小到大排序：94，95，95，97，97，98，98，98，98，100
第5个数据为97，第6个数据为98，因此中位数$=\frac{97+98}{2}=97.5$（分）
3. 求加权平均数：
$\overline{x}=\frac{94×1 + 95×2 + 97×2 + 98×4 + 100×1}{10}=\frac{970}{10}=97$（分）
4. 求方差：
根据方差公式$S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f_i(x_i-\overline{x})^2$（$f_i$为对应频数）
$\begin{aligned}S^2&=\frac{1×(94-97)^2 + 2×(95-97)^2 + 2×(97-97)^2 + 4×(98-97)^2 + 1×(100-97)^2}{10}\\&=\frac{9+8+0+4+9}{10}\\&=3（分^2）\end{aligned}$
综上，中位数是97.5分，方差是3分²，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
中位数，方差，加权平均数
【点评】
本题考查统计量的计算，解题时要注意偶数个数据的中位数取中间两数的平均数，计算方差时不要混淆各成绩对应的频数，仔细计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.7
解题分为两步：第一步求中位数，首先明确总共有10个数据（偶数个），中位数是将数据从小到大排序后第5、第6个数据的平均数，先统计各成绩的数量确定第5、6位的成绩即可计算；第二步求方差，先计算10个数据的加权平均数，再代入方差公式，结合各成绩对应的频数计算即可。
【解析】
1. 计算总周数：$1+2+2+4+1=10$（周）
2. 求中位数：
将10个成绩从小到大排序：94，95，95，97，97，98，98，98，98，100
第5个数据为97，第6个数据为98，因此中位数$=\frac{97+98}{2}=97.5$（分）
3. 求加权平均数：
$\overline{x}=\frac{94×1 + 95×2 + 97×2 + 98×4 + 100×1}{10}=\frac{970}{10}=97$（分）
4. 求方差：
根据方差公式$S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f_i(x_i-\overline{x})^2$（$f_i$为对应频数）
$\begin{aligned}S^2&=\frac{1×(94-97)^2 + 2×(95-97)^2 + 2×(97-97)^2 + 4×(98-97)^2 + 1×(100-97)^2}{10}\\&=\frac{9+8+0+4+9}{10}\\&=3（分^2）\end{aligned}$
综上，中位数是97.5分，方差是3分²，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
中位数，方差，加权平均数
【点评】
本题考查统计量的计算，解题时要注意偶数个数据的中位数取中间两数的平均数，计算方差时不要混淆各成绩对应的频数，仔细计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.7
9. 用计算器计算一组数据113，114，115，115，118的方差是
2.8
.答案
9. 2.8
解析
【分析】
要计算一组数据的方差，需遵循方差的计算逻辑：首先计算这组数据的平均数，再计算每个数据与平均数的差的平方，最后求这些平方值的平均数，即为方差。解题时先按平均数公式算出这组数据的均值，再代入方差公式计算即可。
【解析】
第一步：计算这组数据的平均数
$\bar{x}=\frac{1}{5}×(113+114+115+115+118)=\frac{1}{5}×575=115$
第二步：代入方差公式计算方差
$s^2=\frac{1}{5}×[(113-115)^2+(114-115)^2+(115-115)^2+(115-115)^2+(118-115)^2]$
$=\frac{1}{5}×[(-2)^2+(-1)^2+0^2+0^2+3^2]$
$=\frac{1}{5}×(4+1+0+0+9)$
$=\frac{1}{5}×14=2.8$
【答案】
2.8
【知识点】
1. 平均数的计算 2. 方差的计算
【点评】
本题属于基础计算题，主要考查方差的计算方法，牢记方差的计算步骤是解题的核心，计算过程中注意不要算错偏差平方和即可。
【难度系数】
0.8
要计算一组数据的方差，需遵循方差的计算逻辑：首先计算这组数据的平均数，再计算每个数据与平均数的差的平方，最后求这些平方值的平均数，即为方差。解题时先按平均数公式算出这组数据的均值，再代入方差公式计算即可。
【解析】
第一步：计算这组数据的平均数
$\bar{x}=\frac{1}{5}×(113+114+115+115+118)=\frac{1}{5}×575=115$
第二步：代入方差公式计算方差
$s^2=\frac{1}{5}×[(113-115)^2+(114-115)^2+(115-115)^2+(115-115)^2+(118-115)^2]$
$=\frac{1}{5}×[(-2)^2+(-1)^2+0^2+0^2+3^2]$
$=\frac{1}{5}×(4+1+0+0+9)$
$=\frac{1}{5}×14=2.8$
【答案】
2.8
【知识点】
1. 平均数的计算 2. 方差的计算
【点评】
本题属于基础计算题，主要考查方差的计算方法，牢记方差的计算步骤是解题的核心，计算过程中注意不要算错偏差平方和即可。
【难度系数】
0.8
10. 教练要从甲、乙两名射击运动员中选一名成绩较稳定的运动员参加比赛，两人在相同条件下各打了5发子弹，命中环数如下：甲：9,8,7,7,9；乙：10,8,9,7,6，则应该选
甲
参加比赛。答案
10. 甲
解析
【分析】
要选择成绩更稳定的运动员，本质是比较两组数据的离散程度，通常用方差判断：方差越小，数据波动越小，成绩越稳定。解题时首先分别计算甲、乙两人命中环数的平均数，再代入方差公式计算两人的方差，最后比较方差大小，选择方差更小的运动员参赛即可。
【解析】
解：先计算甲、乙两人命中环数的平均数：
$\overline{x}_甲 = \frac{9+8+7+7+9}{5} = 8$
$\overline{x}_乙 = \frac{10+8+9+7+6}{5} = 8$
再计算两人命中环数的方差：
$s^2_甲 = \frac{1}{5}[(9-8)^2 + (8-8)^2 + (7-8)^2 + (7-8)^2 + (9-8)^2] = \frac{1}{5} × 4 = 0.8$
$s^2_乙 = \frac{1}{5}[(10-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2 + (7-8)^2 + (6-8)^2] = \frac{1}{5} × 10 = 2$
因为$0.8 ＜ 2$，即$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，说明甲的成绩波动更小，更稳定，所以应该选甲参加比赛。
【答案】
甲
【知识点】
平均数计算；方差计算；方差的意义
【点评】
本题考查方差在实际问题中的应用，解题核心是理解方差反映数据波动大小的特性：方差越小，数据的离散程度越小，稳定性越好，熟练掌握方差的计算公式是解题的基础。
【难度系数】
0.8
要选择成绩更稳定的运动员，本质是比较两组数据的离散程度，通常用方差判断：方差越小，数据波动越小，成绩越稳定。解题时首先分别计算甲、乙两人命中环数的平均数，再代入方差公式计算两人的方差，最后比较方差大小，选择方差更小的运动员参赛即可。
【解析】
解：先计算甲、乙两人命中环数的平均数：
$\overline{x}_甲 = \frac{9+8+7+7+9}{5} = 8$
$\overline{x}_乙 = \frac{10+8+9+7+6}{5} = 8$
再计算两人命中环数的方差：
$s^2_甲 = \frac{1}{5}[(9-8)^2 + (8-8)^2 + (7-8)^2 + (7-8)^2 + (9-8)^2] = \frac{1}{5} × 4 = 0.8$
$s^2_乙 = \frac{1}{5}[(10-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2 + (7-8)^2 + (6-8)^2] = \frac{1}{5} × 10 = 2$
因为$0.8 ＜ 2$，即$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，说明甲的成绩波动更小，更稳定，所以应该选甲参加比赛。
【答案】
甲
【知识点】
平均数计算；方差计算；方差的意义
【点评】
本题考查方差在实际问题中的应用，解题核心是理解方差反映数据波动大小的特性：方差越小，数据的离散程度越小，稳定性越好，熟练掌握方差的计算公式是解题的基础。
【难度系数】
0.8
11. 公司对两名业务主管上半年六个月的工作业绩考核得分如下(单位:分,每个月满分为10分):
甲:5 6 8 7 9 7 乙:3 6 7 9 10 7
(1)分别求出甲、乙两人的平均得分；
(2)根据所学方差知识,请你比较谁的工作业绩较稳定。
甲:5 6 8 7 9 7 乙:3 6 7 9 10 7
(1)分别求出甲、乙两人的平均得分；
(2)根据所学方差知识,请你比较谁的工作业绩较稳定。
答案
11. 解：
(1) $\overline{x}_甲=\frac{1}{6}×(5+6+8+7+9+7)=7(\mathrm{分})$，$\overline{x}_乙=\frac{1}{6}×(3+6+7+9+10+7)=7(\mathrm{分})$；
(2) $s_甲^2=\frac{5}{3}\ \mathrm{分}^2$，$s_乙^2=5\ \mathrm{分}^2$。
∵ $s_甲^2＜s_乙^2$，
∴ 甲的工作业绩较稳定。
(1) $\overline{x}_甲=\frac{1}{6}×(5+6+8+7+9+7)=7(\mathrm{分})$，$\overline{x}_乙=\frac{1}{6}×(3+6+7+9+10+7)=7(\mathrm{分})$；
(2) $s_甲^2=\frac{5}{3}\ \mathrm{分}^2$，$s_乙^2=5\ \mathrm{分}^2$。
∵ $s_甲^2＜s_乙^2$，
∴ 甲的工作业绩较稳定。
解析
【分析】
(1) 求平均得分使用算术平均数公式即可，先分别将甲、乙两人6个月的考核得分求和，再除以总月数6就能得到各自的平均得分。
(2) 比较业绩稳定性需要用到方差：方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据波动越小，业绩越稳定。解题时先根据方差公式分别计算两人得分的方差，再比较两方差的大小即可得出结论。
【解析】
(1) 根据算术平均数公式计算：
$\overline{x}_甲=\frac{1}{6}×(5+6+8+7+9+7)=\frac{42}{6}=7$（分）
$\overline{x}_乙=\frac{1}{6}×(3+6+7+9+10+7)=\frac{42}{6}=7$（分）
(2) 根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算：
$s_甲^2=\frac{1}{6}×[(5-7)^2+(6-7)^2+(8-7)^2+(7-7)^2+(9-7)^2+(7-7)^2]$
$=\frac{1}{6}×(4+1+1+0+4+0)=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$（分²）
$s_乙^2=\frac{1}{6}×[(3-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2+(9-7)^2+(10-7)^2+(7-7)^2]$
$=\frac{1}{6}×(16+1+0+4+9+0)=\frac{30}{6}=5$（分²）
∵ $s_甲^2＜s_乙^2$，说明甲的业绩得分波动更小
∴ 甲的工作业绩较稳定。
【答案】
(1) $\overline{x}_甲=7$分，$\overline{x}_乙=7$分；
(2) 甲的工作业绩较稳定。
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题属于统计类基础应用题，主要考查平均数、方差的计算方法和方差的实际意义，熟练掌握相关公式和性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 求平均得分使用算术平均数公式即可，先分别将甲、乙两人6个月的考核得分求和，再除以总月数6就能得到各自的平均得分。
(2) 比较业绩稳定性需要用到方差：方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据波动越小，业绩越稳定。解题时先根据方差公式分别计算两人得分的方差，再比较两方差的大小即可得出结论。
【解析】
(1) 根据算术平均数公式计算：
$\overline{x}_甲=\frac{1}{6}×(5+6+8+7+9+7)=\frac{42}{6}=7$（分）
$\overline{x}_乙=\frac{1}{6}×(3+6+7+9+10+7)=\frac{42}{6}=7$（分）
(2) 根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算：
$s_甲^2=\frac{1}{6}×[(5-7)^2+(6-7)^2+(8-7)^2+(7-7)^2+(9-7)^2+(7-7)^2]$
$=\frac{1}{6}×(4+1+1+0+4+0)=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$（分²）
$s_乙^2=\frac{1}{6}×[(3-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2+(9-7)^2+(10-7)^2+(7-7)^2]$
$=\frac{1}{6}×(16+1+0+4+9+0)=\frac{30}{6}=5$（分²）
∵ $s_甲^2＜s_乙^2$，说明甲的业绩得分波动更小
∴ 甲的工作业绩较稳定。
【答案】
(1) $\overline{x}_甲=7$分，$\overline{x}_乙=7$分；
(2) 甲的工作业绩较稳定。
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题属于统计类基础应用题，主要考查平均数、方差的计算方法和方差的实际意义，熟练掌握相关公式和性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
12. 某射击队教练为了了解队员的训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶5次，成绩统计如下表：
（1）根据上述信息可知：甲命中环数的中位数是
（2）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定；
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差会
（1）根据上述信息可知：甲命中环数的中位数是
8
，乙命中环数的众数是6和9
；（2）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定；
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差会
变小
（填“变大”“变小”或“不变”）。答案
12. 解:(1) 8 6和9
(2) $\overline{x}_甲=\frac{1}{5}×(7+8+8+8+9)=8(\mathrm{环})$，$s_甲^2=\frac{1}{5}×[(7-8)^2+3×(8-8)^2+(9-8)^2]=0.4(\mathrm{环}^2)$；$\overline{x}_乙=\frac{1}{5}×(6+6+9+9+10)=8(\mathrm{环})$，$s_乙^2=\frac{1}{5}×[2×(6-8)^2+2×(9-8)^2+(10-8)^2]=2.8(\mathrm{环}^2)$，
∴ 甲的成绩比较稳定；
(3) 变小。
(2) $\overline{x}_甲=\frac{1}{5}×(7+8+8+8+9)=8(\mathrm{环})$，$s_甲^2=\frac{1}{5}×[(7-8)^2+3×(8-8)^2+(9-8)^2]=0.4(\mathrm{环}^2)$；$\overline{x}_乙=\frac{1}{5}×(6+6+9+9+10)=8(\mathrm{环})$，$s_乙^2=\frac{1}{5}×[2×(6-8)^2+2×(9-8)^2+(10-8)^2]=2.8(\mathrm{环}^2)$，
∴ 甲的成绩比较稳定；
(3) 变小。
解析
【分析】
（1）求中位数需先将数据从小到大排序，5个数据的中位数是排序后第3个数据；众数是一组数据中出现次数最多的数，统计乙各环数出现次数即可得出众数。
（2）判断成绩稳定性需要比较方差，方差越小成绩越稳定，因此先分别计算甲、乙成绩的平均数，再根据方差公式计算两者的方差，比较大小即可判断谁的成绩更稳定。
（3）乙原来的平均数为8，新增命中8环，即新增数据与平均数相等，计算新的方差时，分子的离均差平方和不变但数据个数增加，因此方差会变小。
【解析】
（1）将甲的5次命中环数从小到大排列为：7，8，8，8，9，排在中间的数是8，故甲命中环数的中位数是8；
乙的5次命中环数中，6环出现2次，9环也出现2次，出现次数最多，故乙命中环数的众数是6和9。
（2）先计算两人的平均成绩：
$\overline{x}_甲=\frac{1}{5}×(7+8×3+9)=8(\mathrm{环})$
$\overline{x}_乙=\frac{1}{5}×(6×2+9×2+10)=8(\mathrm{环})$
再计算两人成绩的方差：
$s_甲^2=\frac{1}{5}×[(7-8)^2+3×(8-8)^2+(9-8)^2]=\frac{1}{5}×(1+0+1)=0.4(\mathrm{环}^2)$
$s_乙^2=\frac{1}{5}×[2×(6-8)^2+2×(9-8)^2+(10-8)^2]=\frac{1}{5}×(8+2+4)=2.8(\mathrm{环}^2)$
∵$s_甲^2 ＜ s_乙^2$，方差越小成绩越稳定，
∴甲的成绩比较稳定。
（3）乙再射击1次命中8环，此时平均成绩仍为8环，新的方差为$s_乙'^2=\frac{1}{6}×(2.8×5 + (8-8)^2)=\frac{14}{6}≈2.33 ＜ 2.8$，故方差变小。
【答案】
（1）8；6和9
（2）甲的成绩比较稳定
（3）变小
【知识点】
中位数与众数；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题考查统计中常见统计量的计算与应用，核心是理解各统计量的含义，掌握平均数、方差的计算方法，明确方差越小数据波动越小、成绩越稳定的规律。
【难度系数】
0.8
（1）求中位数需先将数据从小到大排序，5个数据的中位数是排序后第3个数据；众数是一组数据中出现次数最多的数，统计乙各环数出现次数即可得出众数。
（2）判断成绩稳定性需要比较方差，方差越小成绩越稳定，因此先分别计算甲、乙成绩的平均数，再根据方差公式计算两者的方差，比较大小即可判断谁的成绩更稳定。
（3）乙原来的平均数为8，新增命中8环，即新增数据与平均数相等，计算新的方差时，分子的离均差平方和不变但数据个数增加，因此方差会变小。
【解析】
（1）将甲的5次命中环数从小到大排列为：7，8，8，8，9，排在中间的数是8，故甲命中环数的中位数是8；
乙的5次命中环数中，6环出现2次，9环也出现2次，出现次数最多，故乙命中环数的众数是6和9。
（2）先计算两人的平均成绩：
$\overline{x}_甲=\frac{1}{5}×(7+8×3+9)=8(\mathrm{环})$
$\overline{x}_乙=\frac{1}{5}×(6×2+9×2+10)=8(\mathrm{环})$
再计算两人成绩的方差：
$s_甲^2=\frac{1}{5}×[(7-8)^2+3×(8-8)^2+(9-8)^2]=\frac{1}{5}×(1+0+1)=0.4(\mathrm{环}^2)$
$s_乙^2=\frac{1}{5}×[2×(6-8)^2+2×(9-8)^2+(10-8)^2]=\frac{1}{5}×(8+2+4)=2.8(\mathrm{环}^2)$
∵$s_甲^2 ＜ s_乙^2$，方差越小成绩越稳定，
∴甲的成绩比较稳定。
（3）乙再射击1次命中8环，此时平均成绩仍为8环，新的方差为$s_乙'^2=\frac{1}{6}×(2.8×5 + (8-8)^2)=\frac{14}{6}≈2.33 ＜ 2.8$，故方差变小。
【答案】
（1）8；6和9
（2）甲的成绩比较稳定
（3）变小
【知识点】
中位数与众数；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题考查统计中常见统计量的计算与应用，核心是理解各统计量的含义，掌握平均数、方差的计算方法，明确方差越小数据波动越小、成绩越稳定的规律。
【难度系数】
0.8
