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5 已知$A(0,1),B(2,0),C(4,3)$三点.
（1）在如图所示的坐标系中描出各点,画出$△ ABC$；
（2）求$△ ABC$的面积；
（3）设点$P$在坐标轴上,且$△ ABP$与$△ ABC$的面积相等,求点$P$的坐标.
（1）在如图所示的坐标系中描出各点,画出$△ ABC$；
（2）求$△ ABC$的面积；
（3）设点$P$在坐标轴上,且$△ ABP$与$△ ABC$的面积相等,求点$P$的坐标.
答案
5. 解:(1) 如图,$△ ABC$即为所求.
(2) 过点 C 向 x 轴,y 轴作垂线,垂足分别为 D,E.
因为 $S_{四边形DOEC}=3×4=12$,$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×2×3=3$,
$S_{△ ACE}=\frac{1}{2}×2×4=4$,$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×2×1=1$,
所以 $S_{△ ABC}=S_{四边形DOEC}-S_{△ ACE}-S_{△ BCD}-S_{△ AOB}=12-3-4-1=4$.
(3) 当点 P 在 x 轴上时,$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}AO·BP=4$,
即 $\frac{1}{2}×1×BP=4$,解得 BP=8,
所以点 P 的坐标为(10,0)或(-6,0);
当点 P 在 y 轴上时,$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}BO·AP=4$,
即 $\frac{1}{2}×2×AP=4$,解得 AP=4,
所以点 P 的坐标为(0,5)或(0,-3).
综上,点 P 的坐标为(0,5)或(0,-3)或(10,0)或(-6,0).
解析
【分析】
（1）第一问根据点的坐标定义，横坐标对应x轴数值、纵坐标对应y轴数值，找到三个点的位置后依次连接，即可画出△ABC。
（2）第二问中△ABC没有边平行于坐标轴，属于不规则三角形，可采用割补法求解：过点C作x轴、y轴的垂线，得到包含△ABC的矩形，用矩形面积减去矩形内△ABC周围三个小直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
（3）第三问需分类讨论：①点P在x轴上时，△ABP以BP为底，高为点A到x轴的距离，结合面积列方程求出BP的长度，再根据点B的坐标得到P的两个可能坐标；②点P在y轴上时，△ABP以AP为底，高为点B到y轴的距离，同理列方程求出AP长度，再根据点A的坐标得到P的两个可能坐标，最后汇总所有符合条件的坐标即可。
【解析】
（1）根据A(0,1)、B(2,0)、C(4,3)的坐标，在坐标系中分别定位三个点，依次连接A、B、C，得到的△ABC即为所求。
（2）过点C向x轴、y轴作垂线，垂足分别为D、E：
矩形DOEC的长为4、宽为3，因此$S_{四边形DOEC}=3×4=12$；
△BCD的底BD=4-2=2，高CD=3，因此$S_{△BCD}=\frac{1}{2}×2×3=3$；
△ACE的底AE=3-1=2，高CE=4，因此$S_{△ACE}=\frac{1}{2}×2×4=4$；
△AOB的底BO=2，高AO=1，因此$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×2×1=1$；
则$S_{△ABC}=S_{四边形DOEC}-S_{△ACE}-S_{△BCD}-S_{△AOB}=12-4-3-1=4$。
（3）分两种情况讨论：
①当点P在x轴上时，△ABP的高为AO=1：
由$S_{△ABP}=\frac{1}{2}AO·BP=4$，代入得$\frac{1}{2}×1×BP=4$，解得BP=8。
若P在B右侧，横坐标为2+8=10，即P(10,0)；若P在B左侧，横坐标为2-8=-6，即P(-6,0)。
②当点P在y轴上时，△ABP的高为BO=2：
由$S_{△ABP}=\frac{1}{2}BO·AP=4$，代入得$\frac{1}{2}×2×AP=4$，解得AP=4。
若P在A上方，纵坐标为1+4=5，即P(0,5)；若P在A下方，纵坐标为1-4=-3，即P(0,-3)。
【答案】
(1) 如图，△ABC即为所求。
(2) $\boldsymbol{4}$
(3) $\boldsymbol{(10,0)}$、$\boldsymbol{(-6,0)}$、$\boldsymbol{(0,5)}$、$\boldsymbol{(0,-3)}$
【知识点】
坐标描点作图，割补法求面积，分类讨论求点坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系面积问题的常考题型，重点考查割补法求解不规则图形面积的方法，第三问需要注意分情况讨论，避免漏记点在已知点两侧的情况，培养分类讨论的思维习惯。
【难度系数】
0.7
（1）第一问根据点的坐标定义，横坐标对应x轴数值、纵坐标对应y轴数值，找到三个点的位置后依次连接，即可画出△ABC。
（2）第二问中△ABC没有边平行于坐标轴，属于不规则三角形，可采用割补法求解：过点C作x轴、y轴的垂线，得到包含△ABC的矩形，用矩形面积减去矩形内△ABC周围三个小直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
（3）第三问需分类讨论：①点P在x轴上时，△ABP以BP为底，高为点A到x轴的距离，结合面积列方程求出BP的长度，再根据点B的坐标得到P的两个可能坐标；②点P在y轴上时，△ABP以AP为底，高为点B到y轴的距离，同理列方程求出AP长度，再根据点A的坐标得到P的两个可能坐标，最后汇总所有符合条件的坐标即可。
【解析】
（1）根据A(0,1)、B(2,0)、C(4,3)的坐标，在坐标系中分别定位三个点，依次连接A、B、C，得到的△ABC即为所求。
（2）过点C向x轴、y轴作垂线，垂足分别为D、E：
矩形DOEC的长为4、宽为3，因此$S_{四边形DOEC}=3×4=12$；
△BCD的底BD=4-2=2，高CD=3，因此$S_{△BCD}=\frac{1}{2}×2×3=3$；
△ACE的底AE=3-1=2，高CE=4，因此$S_{△ACE}=\frac{1}{2}×2×4=4$；
△AOB的底BO=2，高AO=1，因此$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×2×1=1$；
则$S_{△ABC}=S_{四边形DOEC}-S_{△ACE}-S_{△BCD}-S_{△AOB}=12-4-3-1=4$。
（3）分两种情况讨论：
①当点P在x轴上时，△ABP的高为AO=1：
由$S_{△ABP}=\frac{1}{2}AO·BP=4$，代入得$\frac{1}{2}×1×BP=4$，解得BP=8。
若P在B右侧，横坐标为2+8=10，即P(10,0)；若P在B左侧，横坐标为2-8=-6，即P(-6,0)。
②当点P在y轴上时，△ABP的高为BO=2：
由$S_{△ABP}=\frac{1}{2}BO·AP=4$，代入得$\frac{1}{2}×2×AP=4$，解得AP=4。
若P在A上方，纵坐标为1+4=5，即P(0,5)；若P在A下方，纵坐标为1-4=-3，即P(0,-3)。
【答案】
(1) 如图，△ABC即为所求。
(2) $\boldsymbol{4}$
(3) $\boldsymbol{(10,0)}$、$\boldsymbol{(-6,0)}$、$\boldsymbol{(0,5)}$、$\boldsymbol{(0,-3)}$
【知识点】
坐标描点作图，割补法求面积，分类讨论求点坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系面积问题的常考题型，重点考查割补法求解不规则图形面积的方法，第三问需要注意分情况讨论，避免漏记点在已知点两侧的情况，培养分类讨论的思维习惯。
【难度系数】
0.7
6（2025镇江句容期末）梯形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知$AB=13$，点$A(0,a),B(b,0),C(b,10)$，其中$a$满足$\sqrt{5 - a}=0$。
（1）$a=$
（2）求点$C$的坐标；
（3）若在第二象限有一点$D(m,2)$，连接$DA,DO$，已知$S_{△ ADO}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$，求点$D$的坐标。
（1）$a=$
5
；（2）求点$C$的坐标；
（3）若在第二象限有一点$D(m,2)$，连接$DA,DO$，已知$S_{△ ADO}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$，求点$D$的坐标。
答案
6. 解:(1) 5
(2) 因为 a=5,点 A(0,a),
所以 A(0,5),所以 OA=5,
所以 $OB=\sqrt{AB^2-OA^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$.
因为 B(b,0),所以 b=12,所以 B(12,0).
因为 C(b,10),所以点 C 的坐标为(12,10).
(3) 因为 B(12,0),C(12,10),所以 BC=10,
所以 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×12×10=60$.
因为 $S_{△ ADO}=\frac{1}{2}OA×(-m)=\frac{1}{2}×5×(-m)=-\frac{5}{2}m$,
又 $S_{△ ADO}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$,所以 $-\frac{5}{2}m=\frac{1}{3}×60$,
解得 m=-8,
所以点 D 的坐标为(-8,2).
(2) 因为 a=5,点 A(0,a),
所以 A(0,5),所以 OA=5,
所以 $OB=\sqrt{AB^2-OA^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$.
因为 B(b,0),所以 b=12,所以 B(12,0).
因为 C(b,10),所以点 C 的坐标为(12,10).
(3) 因为 B(12,0),C(12,10),所以 BC=10,
所以 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×12×10=60$.
因为 $S_{△ ADO}=\frac{1}{2}OA×(-m)=\frac{1}{2}×5×(-m)=-\frac{5}{2}m$,
又 $S_{△ ADO}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$,所以 $-\frac{5}{2}m=\frac{1}{3}×60$,
解得 m=-8,
所以点 D 的坐标为(-8,2).
解析
【分析】
（1）第一问根据算术平方根的性质，若算术平方根等于0，则被开方数为0，令5-a=0即可求出a的值；
（2）第二问先由a的值得出点A坐标，得到OA的长度，在Rt△AOB中，已知AB和OA的长度，用勾股定理计算OB的长度即可得到b的值，再结合点C的坐标特征即可求出C点坐标；
（3）第三问先根据B、C坐标求出BC的长度，计算出△ABC的面积，再根据题意得到△ADO的面积，结合A、O、D三点的坐标特征，用底乘高的方法表示△ADO的面积，建立方程求解m的值，注意D在第二象限，m为负数，最终得到D点坐标。
【解析】
(1) 由$\sqrt{5 - a}=0$，可得$5-a=0$，解得$a=5$；
(2) 因为$a=5$，所以点$A$的坐标为$(0,5)$，即$OA=5$，
在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$AB=13$，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{AB^2-OA^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$，
因为点$B$的坐标为$(b,0)$，所以$b=12$，即$B(12,0)$，
又因为点$C$的坐标为$(b,10)$，所以$C$的坐标为$(12,10)$；
(3) 由$B(12,0)$，$C(12,10)$可知$BC$垂直于$x$轴，$BC$的长度为$10-0=10$，
点$A$到$BC$的水平距离为$OB$的长度$12$，
所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC×12=\frac{1}{2}×10×12=60$，
由题意得$S_{△ ADO}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=\frac{1}{3}×60=20$，
点$D(m,2)$在第二象限，所以$m＜0$，$D$到$y$轴的距离为$|m|=-m$，
$△ ADO$以$OA$为底，$OA=5$，高为$D$到$y$轴的距离，
所以$S_{△ ADO}=\frac{1}{2}× OA×(-m)=\frac{1}{2}×5×(-m)=-\frac{5}{2}m$，
则有$-\frac{5}{2}m=20$，解得$m=-8$，
所以点$D$的坐标为$(-8,2)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$；(2) $\boldsymbol{(12,10)}$；(3) $\boldsymbol{(-8,2)}$
【知识点】
算术平方根的性质，勾股定理，坐标系内面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，解题时要结合坐标的几何意义求线段长度，计算面积时注意根据点所在象限处理坐标的符号，考察的都是基础知识点的综合运用，思路清晰易懂。
【难度系数】
0.7
（1）第一问根据算术平方根的性质，若算术平方根等于0，则被开方数为0，令5-a=0即可求出a的值；
（2）第二问先由a的值得出点A坐标，得到OA的长度，在Rt△AOB中，已知AB和OA的长度，用勾股定理计算OB的长度即可得到b的值，再结合点C的坐标特征即可求出C点坐标；
（3）第三问先根据B、C坐标求出BC的长度，计算出△ABC的面积，再根据题意得到△ADO的面积，结合A、O、D三点的坐标特征，用底乘高的方法表示△ADO的面积，建立方程求解m的值，注意D在第二象限，m为负数，最终得到D点坐标。
【解析】
(1) 由$\sqrt{5 - a}=0$，可得$5-a=0$，解得$a=5$；
(2) 因为$a=5$，所以点$A$的坐标为$(0,5)$，即$OA=5$，
在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$AB=13$，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{AB^2-OA^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$，
因为点$B$的坐标为$(b,0)$，所以$b=12$，即$B(12,0)$，
又因为点$C$的坐标为$(b,10)$，所以$C$的坐标为$(12,10)$；
(3) 由$B(12,0)$，$C(12,10)$可知$BC$垂直于$x$轴，$BC$的长度为$10-0=10$，
点$A$到$BC$的水平距离为$OB$的长度$12$，
所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC×12=\frac{1}{2}×10×12=60$，
由题意得$S_{△ ADO}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=\frac{1}{3}×60=20$，
点$D(m,2)$在第二象限，所以$m＜0$，$D$到$y$轴的距离为$|m|=-m$，
$△ ADO$以$OA$为底，$OA=5$，高为$D$到$y$轴的距离，
所以$S_{△ ADO}=\frac{1}{2}× OA×(-m)=\frac{1}{2}×5×(-m)=-\frac{5}{2}m$，
则有$-\frac{5}{2}m=20$，解得$m=-8$，
所以点$D$的坐标为$(-8,2)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$；(2) $\boldsymbol{(12,10)}$；(3) $\boldsymbol{(-8,2)}$
【知识点】
算术平方根的性质，勾股定理，坐标系内面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，解题时要结合坐标的几何意义求线段长度，计算面积时注意根据点所在象限处理坐标的符号，考察的都是基础知识点的综合运用，思路清晰易懂。
【难度系数】
0.7
7 如图,已知在平面直角坐标系中,点 A 在 y 轴上,点 B,C 在 x 轴上,$S_{△ ABO}=8$,$OA=OB$,$BC=10$,点 P 的坐标是$(-6,a)$.
(1) 求$△ ABC$三个顶点 A,B,C 的坐标;
(2) 连接 PA,PB,并用含字母 a 的式子表示$△ PAB$的面积$(a≠2)$;
(3) 在第(2)问的条件下,是否存在点 P,使$△ PAB$的面积等于$△ ABC$的面积? 若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
(1) 求$△ ABC$三个顶点 A,B,C 的坐标;
(2) 连接 PA,PB,并用含字母 a 的式子表示$△ PAB$的面积$(a≠2)$;
(3) 在第(2)问的条件下,是否存在点 P,使$△ PAB$的面积等于$△ ABC$的面积? 若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
7. 解:(1) 因为 $S_{△ ABO}=\frac{1}{2}OA·OB$,且 OA=OB,
所以 $\frac{1}{2}OA^2=8$,解得 OA=4,
所以 OB=OA=4,
所以 OC=BC-OB=10-4=6,
所以点 A(0,-4),B(-4,0),C(6,0).
(2) 当 a＞2 时,如图 1,作 $PH⊥ x$ 轴交于点 H,过点 A 作 $AG⊥ PH$ 交于点 G.
$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}×(a+4)×6-\frac{1}{2}×2×a-\frac{1}{2}×(2+6)×4=2a-4$;
当 0＜a＜2 时,如图 2,过点 P 作 $PM⊥ y$ 轴交于点 M.
$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}×6×(4+a)-\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}×(4+6)×a=4-2a$;
当 -4＜a≤0 时,如图 3,过点 A 作 $AG⊥ PH$ 交于点 G.
$S_{△ PAB}=4×6-\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}×2×(-a)-\frac{1}{2}×6×(a+4)=4-2a$;
当 a≤-4 时,如图 4,过点 P 作 $PN⊥ y$ 轴交于点 N.
$S_{△ PAB}=6×(-a)-\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}×2×(-a)-\frac{1}{2}×6×(-4-a)=4-2a$.
综上,$S_{△ PAB}=\begin{cases}2a-4,a＞2,\\4-2a,a＜2.\end{cases}$
(3) $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×10×4=20$.
当 a＞2 时,由 2a-4=20,解得 a=12,
此时点 P 的坐标为(-6,12);
当 a＜2 时,由 4-2a=20,解得 a=-8.
此时点 P 的坐标为(-6,-8).
综上,点 P 的坐标为(-6,12)或(-6,-8).
解析
【分析】
(1) 求A、B、C三点坐标时，先利用△ABO的面积公式和OA=OB的已知条件，求出OA、OB的长度，再结合BC的长度算出OC的长，最后根据各点所在坐标轴的位置确定坐标即可。
(2) 求△PAB的面积时，点P横坐标固定为-6，纵坐标a不确定，需根据a的取值范围分类讨论，通过作辅助线构造规则图形，用割补法（大图形面积减去周围小图形面积）计算△PAB的面积，最后合并结果即可。
(3) 先求出△ABC的面积，再令△PAB的面积与它相等，分两种情况列方程求解a的值，即可得到对应的点P坐标。
【解析】
(1) 已知$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}OA·OB$，且$OA=OB$，代入面积得$\frac{1}{2}OA^2=8$，解得$OA=4$（长度为正，舍去负解），因此$OB=OA=4$。
由$BC=10$，可得$OC=BC-OB=10-4=6$。
结合各点在坐标系中的位置：A在y轴负半轴，B在x轴负半轴，C在x轴正半轴，得$A(0,-4)$，$B(-4,0)$，$C(6,0)$。
(2) 分情况讨论：
① 当$a＞2$时，如图1，作$PH⊥x$轴交于点H，过点A作$AG⊥PH$交于点G。
利用割补法：$S_{△ PAB}=S_{梯形PHGA}-S_{△ PHB}-S_{△ AGB}$
代入计算：$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}×(a+4)×6-\frac{1}{2}×2×a-\frac{1}{2}×(2+6)×4=2a-4$。
② 当$a＜2$时，通过对应辅助线（如图2、图3、图4的辅助线做法），同理用割补法计算可得$S_{△ PAB}=4-2a$。
综上，$S_{△ PAB}=\begin{cases}2a-4,a＞2,\\4-2a,a＜2.\end{cases}$
(3) 先计算$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×|OA|=\frac{1}{2}×10×4=20$。
令$S_{△ PAB}=S_{△ ABC}=20$：
① 当$a＞2$时，$2a-4=20$，解得$a=12$，此时$P(-6,12)$；
② 当$a＜2$时，$4-2a=20$，解得$a=-8$，此时$P(-6,-8)$。
因此存在满足条件的点P。
【答案】
(1) $A(0,-4)$，$B(-4,0)$，$C(6,0)$；
(2) $S_{△ PAB}=\begin{cases}2a-4,a＞2,\\4-2a,a＜2\end{cases}$；
(3) 存在，点P的坐标为$(-6,12)$或$(-6,-8)$。
【知识点】
1. 平面直角坐标系点的坐标
2. 三角形面积计算
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形面积问题的典型题型，既考查了坐标与图形的基本性质，又要求灵活运用割补法求解不规则三角形的面积，解题时需注意根据动点的位置分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 求A、B、C三点坐标时，先利用△ABO的面积公式和OA=OB的已知条件，求出OA、OB的长度，再结合BC的长度算出OC的长，最后根据各点所在坐标轴的位置确定坐标即可。
(2) 求△PAB的面积时，点P横坐标固定为-6，纵坐标a不确定，需根据a的取值范围分类讨论，通过作辅助线构造规则图形，用割补法（大图形面积减去周围小图形面积）计算△PAB的面积，最后合并结果即可。
(3) 先求出△ABC的面积，再令△PAB的面积与它相等，分两种情况列方程求解a的值，即可得到对应的点P坐标。
【解析】
(1) 已知$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}OA·OB$，且$OA=OB$，代入面积得$\frac{1}{2}OA^2=8$，解得$OA=4$（长度为正，舍去负解），因此$OB=OA=4$。
由$BC=10$，可得$OC=BC-OB=10-4=6$。
结合各点在坐标系中的位置：A在y轴负半轴，B在x轴负半轴，C在x轴正半轴，得$A(0,-4)$，$B(-4,0)$，$C(6,0)$。
(2) 分情况讨论：
① 当$a＞2$时，如图1，作$PH⊥x$轴交于点H，过点A作$AG⊥PH$交于点G。
利用割补法：$S_{△ PAB}=S_{梯形PHGA}-S_{△ PHB}-S_{△ AGB}$
代入计算：$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}×(a+4)×6-\frac{1}{2}×2×a-\frac{1}{2}×(2+6)×4=2a-4$。
② 当$a＜2$时，通过对应辅助线（如图2、图3、图4的辅助线做法），同理用割补法计算可得$S_{△ PAB}=4-2a$。
综上，$S_{△ PAB}=\begin{cases}2a-4,a＞2,\\4-2a,a＜2.\end{cases}$
(3) 先计算$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×|OA|=\frac{1}{2}×10×4=20$。
令$S_{△ PAB}=S_{△ ABC}=20$：
① 当$a＞2$时，$2a-4=20$，解得$a=12$，此时$P(-6,12)$；
② 当$a＜2$时，$4-2a=20$，解得$a=-8$，此时$P(-6,-8)$。
因此存在满足条件的点P。
【答案】
(1) $A(0,-4)$，$B(-4,0)$，$C(6,0)$；
(2) $S_{△ PAB}=\begin{cases}2a-4,a＞2,\\4-2a,a＜2\end{cases}$；
(3) 存在，点P的坐标为$(-6,12)$或$(-6,-8)$。
【知识点】
1. 平面直角坐标系点的坐标
2. 三角形面积计算
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形面积问题的典型题型，既考查了坐标与图形的基本性质，又要求灵活运用割补法求解不规则三角形的面积，解题时需注意根据动点的位置分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
