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7. 新素养 几何直观 如图所示为一个正方形，求涂色部分甲与涂色部分乙的面积差。
答案
2+6=8(厘米) 3.14×8²÷4=50.24(平方厘米)
8×6=48(平方厘米) 50.24−48=2.24(平方厘米)
答:涂色部分甲与涂色部分乙的面积差是2.24平方厘米。
解析 涂色部分甲加上左下角的空白部分是一个扇形,涂色部分乙加上左下角的空白部分是一个长方形,涂色部分甲与涂色部分乙的面积差也就是扇形与长方形的面积差。
8×6=48(平方厘米) 50.24−48=2.24(平方厘米)
答:涂色部分甲与涂色部分乙的面积差是2.24平方厘米。
解析 涂色部分甲加上左下角的空白部分是一个扇形,涂色部分乙加上左下角的空白部分是一个长方形,涂色部分甲与涂色部分乙的面积差也就是扇形与长方形的面积差。
解析
【分析】
要求涂色部分甲和乙的面积差，直接分别计算甲、乙的面积较难，因为二者都是不规则图形。我们可以利用“差不变”的思路：甲和乙分别加上左下角相同的空白部分后，二者的差不变。甲加空白部分是半径为(2+6)厘米的四分之一圆（扇形），乙加空白部分是长为(2+6)厘米、宽为6厘米的长方形，因此甲乙的面积差就等于扇形面积减去长方形的面积，只需计算这两个规则图形的面积差即可。
【解析】
第一步：计算扇形的半径
$2+6=8$（厘米）
第二步：计算四分之一扇形的面积
扇形为圆心角90°的圆，面积是整圆面积的$\frac{1}{4}$：
$3.14×8^2÷4$
$=3.14×64÷4$
$=50.24$（平方厘米）
第三步：计算长方形的面积
长方形长为8厘米，宽为6厘米：
$8×6=48$（平方厘米）
第四步：计算甲乙的面积差
根据差不变原理，甲乙面积差=扇形面积-长方形面积：
$50.24-48=2.24$（平方厘米）
【答案】
2.24平方厘米
【知识点】
差不变原理、扇形面积计算、长方形面积计算
【点评】
本题巧妙运用差不变的转化思想，将不规则图形的面积差转化为规则图形的面积差，简化了计算过程，重点考查几何直观和转化思维的应用。
【难度系数】
0.7
要求涂色部分甲和乙的面积差，直接分别计算甲、乙的面积较难，因为二者都是不规则图形。我们可以利用“差不变”的思路：甲和乙分别加上左下角相同的空白部分后，二者的差不变。甲加空白部分是半径为(2+6)厘米的四分之一圆（扇形），乙加空白部分是长为(2+6)厘米、宽为6厘米的长方形，因此甲乙的面积差就等于扇形面积减去长方形的面积，只需计算这两个规则图形的面积差即可。
【解析】
第一步：计算扇形的半径
$2+6=8$（厘米）
第二步：计算四分之一扇形的面积
扇形为圆心角90°的圆，面积是整圆面积的$\frac{1}{4}$：
$3.14×8^2÷4$
$=3.14×64÷4$
$=50.24$（平方厘米）
第三步：计算长方形的面积
长方形长为8厘米，宽为6厘米：
$8×6=48$（平方厘米）
第四步：计算甲乙的面积差
根据差不变原理，甲乙面积差=扇形面积-长方形面积：
$50.24-48=2.24$（平方厘米）
【答案】
2.24平方厘米
【知识点】
差不变原理、扇形面积计算、长方形面积计算
【点评】
本题巧妙运用差不变的转化思想，将不规则图形的面积差转化为规则图形的面积差，简化了计算过程，重点考查几何直观和转化思维的应用。
【难度系数】
0.7
8. 如图，涂色部分甲的面积比涂色部分乙的面积大28平方厘米，半圆的直径AB为20厘米。求直角三角形的另一条直角边BC的长。
答案
3.14×(20÷2)²÷2−28=129(平方厘米)
129×2÷20=12.9(厘米) 答:直角三角形的另一条直角边BC的长是12.9厘米。
解析 根据题意,易得涂色部分甲和涂色部分乙同时加上空白部分,面积还是相差28平方厘米。可以先求出半圆的面积,再求出直角三角形的面积,最后根据三角形面积计算公式求出直角三角形的另一条直角边BC的长。
129×2÷20=12.9(厘米) 答:直角三角形的另一条直角边BC的长是12.9厘米。
解析 根据题意,易得涂色部分甲和涂色部分乙同时加上空白部分,面积还是相差28平方厘米。可以先求出半圆的面积,再求出直角三角形的面积,最后根据三角形面积计算公式求出直角三角形的另一条直角边BC的长。
解析
【分析】
观察图形可知，甲涂色部分加中间空白部分就是直径为20厘米的半圆的面积，乙涂色部分加中间空白部分就是直角三角形ABC的面积。已知甲的面积比乙大28平方厘米，根据差不变规律，两个部分同时加上相同的空白部分，面积差不变，因此半圆面积比直角三角形ABC的面积大28平方厘米。我们可先求出半圆面积，再用半圆面积减去28平方厘米得到三角形的面积，最后根据三角形面积公式反向求出直角边BC的长度。
【解析】
1. 先求半圆的半径：$20÷2=10$（厘米）
2. 计算半圆的面积：
$3.14×10^2÷2=3.14×100÷2=157$（平方厘米）
3. 计算直角三角形ABC的面积：
由半圆面积-三角形面积=28平方厘米，得三角形面积：$157-28=129$（平方厘米）
4. 根据三角形面积公式求BC的长：
三角形面积=底×高÷2，已知底AB=20厘米，因此$BC=三角形面积×2÷AB=129×2÷20=12.9$（厘米）
【答案】
直角三角形的另一条直角边BC的长是12.9厘米。
【知识点】
差不变原理，圆的面积计算，三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用差不变思想，将不规则的阴影面积差转化为两个规则图形的面积差，降低了解题难度，需要熟练掌握圆、三角形等规则图形的面积公式，学会用转化思想处理不规则图形的面积相关问题。
【难度系数】
0.6
观察图形可知，甲涂色部分加中间空白部分就是直径为20厘米的半圆的面积，乙涂色部分加中间空白部分就是直角三角形ABC的面积。已知甲的面积比乙大28平方厘米，根据差不变规律，两个部分同时加上相同的空白部分，面积差不变，因此半圆面积比直角三角形ABC的面积大28平方厘米。我们可先求出半圆面积，再用半圆面积减去28平方厘米得到三角形的面积，最后根据三角形面积公式反向求出直角边BC的长度。
【解析】
1. 先求半圆的半径：$20÷2=10$（厘米）
2. 计算半圆的面积：
$3.14×10^2÷2=3.14×100÷2=157$（平方厘米）
3. 计算直角三角形ABC的面积：
由半圆面积-三角形面积=28平方厘米，得三角形面积：$157-28=129$（平方厘米）
4. 根据三角形面积公式求BC的长：
三角形面积=底×高÷2，已知底AB=20厘米，因此$BC=三角形面积×2÷AB=129×2÷20=12.9$（厘米）
【答案】
直角三角形的另一条直角边BC的长是12.9厘米。
【知识点】
差不变原理，圆的面积计算，三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用差不变思想，将不规则的阴影面积差转化为两个规则图形的面积差，降低了解题难度，需要熟练掌握圆、三角形等规则图形的面积公式，学会用转化思想处理不规则图形的面积相关问题。
【难度系数】
0.6
9. 下图中涂色部分的面积是20平方分米。求圆环的面积。
答案
3.14×(20×2)=125.6(平方分米)
答:圆环的面积是125.6平方分米。
解析 题图中小圆的半径r等于小等腰直角三角形的腰长,所以小等腰直角三角形的面积等于小圆的半径的平方的一半,即r²÷2;同理可得大等腰直角三角形的面积为R²÷2,则涂色部分的面积=大等腰直角三角形的面积−小等腰直角三角形的面积=R²÷2−r²÷2=20平方分米,所以R²−r²=40平方分米。再根据圆环的面积计算公式即可求出圆环的面积。
答:圆环的面积是125.6平方分米。
解析 题图中小圆的半径r等于小等腰直角三角形的腰长,所以小等腰直角三角形的面积等于小圆的半径的平方的一半,即r²÷2;同理可得大等腰直角三角形的面积为R²÷2,则涂色部分的面积=大等腰直角三角形的面积−小等腰直角三角形的面积=R²÷2−r²÷2=20平方分米,所以R²−r²=40平方分米。再根据圆环的面积计算公式即可求出圆环的面积。
解析
【分析】
解题时首先观察涂色部分的构成：它是大等腰直角三角形的面积减去小等腰直角三角形的面积得到的。首先回忆等腰直角三角形的面积公式：面积=腰长×腰长÷2，这里大等腰直角三角形的腰长就是外圆半径R，小等腰直角三角形的腰长就是内圆半径r，所以可以先根据涂色面积得到R²和r²的差，而圆环的面积公式是π×(R² - r²)，不需要单独求R和r的值，把R² - r²当作整体代入计算即可。
【解析】
1. 分析两个三角形的面积：
小等腰直角三角形的腰长等于内圆半径r，它的面积 = $ r × r ÷ 2 = r^2 ÷ 2 $；
大等腰直角三角形的腰长等于外圆半径R，它的面积 = $ R × R ÷ 2 = R^2 ÷ 2 $。
2. 根据涂色部分面积推导$ R^2 - r^2 $的值：
涂色部分面积=大三角形面积-小三角形面积，即$ R^2÷2 - r^2÷2 = 20 $平方分米，
整理可得$ (R^2 - r^2)÷2 = 20 $，因此$ R^2 - r^2 = 20×2 = 40 $平方分米。
3. 代入圆环面积公式计算：
圆环面积公式为$ S=π(R^2 - r^2) $，代入数值计算得$ 3.14×40 = 125.6 $平方分米。
【答案】
125.6平方分米
【知识点】
圆环面积计算，等腰直角三角形面积，整体代换
【点评】
这道题不需要单独求出外圆和内圆的半径，重点是通过涂色部分的面积关系推导出$ R^2 $与$ r^2 $的差值，再整体代入圆环面积公式求解，能锻炼图形关系分析和整体计算的能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察涂色部分的构成：它是大等腰直角三角形的面积减去小等腰直角三角形的面积得到的。首先回忆等腰直角三角形的面积公式：面积=腰长×腰长÷2，这里大等腰直角三角形的腰长就是外圆半径R，小等腰直角三角形的腰长就是内圆半径r，所以可以先根据涂色面积得到R²和r²的差，而圆环的面积公式是π×(R² - r²)，不需要单独求R和r的值，把R² - r²当作整体代入计算即可。
【解析】
1. 分析两个三角形的面积：
小等腰直角三角形的腰长等于内圆半径r，它的面积 = $ r × r ÷ 2 = r^2 ÷ 2 $；
大等腰直角三角形的腰长等于外圆半径R，它的面积 = $ R × R ÷ 2 = R^2 ÷ 2 $。
2. 根据涂色部分面积推导$ R^2 - r^2 $的值：
涂色部分面积=大三角形面积-小三角形面积，即$ R^2÷2 - r^2÷2 = 20 $平方分米，
整理可得$ (R^2 - r^2)÷2 = 20 $，因此$ R^2 - r^2 = 20×2 = 40 $平方分米。
3. 代入圆环面积公式计算：
圆环面积公式为$ S=π(R^2 - r^2) $，代入数值计算得$ 3.14×40 = 125.6 $平方分米。
【答案】
125.6平方分米
【知识点】
圆环面积计算，等腰直角三角形面积，整体代换
【点评】
这道题不需要单独求出外圆和内圆的半径，重点是通过涂色部分的面积关系推导出$ R^2 $与$ r^2 $的差值，再整体代入圆环面积公式求解，能锻炼图形关系分析和整体计算的能力。
【难度系数】
0.6
10. 新趋势思维过程 下图中圆环的面积是94.2平方分米。求涂色部分的面积。
答案
94.2÷3.14=30(平方分米)
答:涂色部分的面积是30平方分米。
解析 由题图可知,大正方形的边长等于外圆的半径,小正方形的边长等于内圆的半径,涂色部分的面积等于外圆半径的平方与内圆的半径的平方的差,所以直接用圆环的面积除以3.14即可求出涂色部分的面积。
答:涂色部分的面积是30平方分米。
解析 由题图可知,大正方形的边长等于外圆的半径,小正方形的边长等于内圆的半径,涂色部分的面积等于外圆半径的平方与内圆的半径的平方的差,所以直接用圆环的面积除以3.14即可求出涂色部分的面积。
解析
【分析】
解题时先回忆圆环的面积计算公式：圆环面积=π×(外圆半径的平方-内圆半径的平方)，即$S_{环}=π(R^2-r^2)$。再观察图形：涂色部分是大正方形减去小正方形的面积，大正方形边长等于外圆半径$R$，面积为$R^2$；小正方形边长等于内圆半径$r$，面积为$r^2$，因此涂色部分面积就是$R^2-r^2$。已知圆环面积，只需用圆环面积除以3.14，就能得到$R^2-r^2$的值，也就是涂色部分的面积。
【解析】
1. 圆环面积公式：$S_{\mathrm{圆环}}=π(R^2-r^2)$，其中$R$为外圆半径，$r$为内圆半径。
2. 涂色部分面积=大正方形面积-小正方形面积，大正方形面积$=R^2$，小正方形面积$=r^2$，因此$S_{\mathrm{涂色}}=R^2-r^2$。
3. 代入已知条件计算：
已知$S_{\mathrm{圆环}}=94.2$平方分米，取$π=3.14$，则：
$R^2-r^2=S_{\mathrm{圆环}}÷π=94.2÷3.14=30$（平方分米）
【答案】
30平方分米
【知识点】
圆环面积计算、正方形面积计算、等量代换
【点评】
本题将圆环面积和正方形面积结合考查，解题核心是不需要单独求出$R$、$r$的具体数值，只要找到涂色部分面积与$R^2$、$r^2$的关系，通过整体代换即可快速得出结果，侧重考查图形观察能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.65
解题时先回忆圆环的面积计算公式：圆环面积=π×(外圆半径的平方-内圆半径的平方)，即$S_{环}=π(R^2-r^2)$。再观察图形：涂色部分是大正方形减去小正方形的面积，大正方形边长等于外圆半径$R$，面积为$R^2$；小正方形边长等于内圆半径$r$，面积为$r^2$，因此涂色部分面积就是$R^2-r^2$。已知圆环面积，只需用圆环面积除以3.14，就能得到$R^2-r^2$的值，也就是涂色部分的面积。
【解析】
1. 圆环面积公式：$S_{\mathrm{圆环}}=π(R^2-r^2)$，其中$R$为外圆半径，$r$为内圆半径。
2. 涂色部分面积=大正方形面积-小正方形面积，大正方形面积$=R^2$，小正方形面积$=r^2$，因此$S_{\mathrm{涂色}}=R^2-r^2$。
3. 代入已知条件计算：
已知$S_{\mathrm{圆环}}=94.2$平方分米，取$π=3.14$，则：
$R^2-r^2=S_{\mathrm{圆环}}÷π=94.2÷3.14=30$（平方分米）
【答案】
30平方分米
【知识点】
圆环面积计算、正方形面积计算、等量代换
【点评】
本题将圆环面积和正方形面积结合考查，解题核心是不需要单独求出$R$、$r$的具体数值，只要找到涂色部分面积与$R^2$、$r^2$的关系，通过整体代换即可快速得出结果，侧重考查图形观察能力和整体运算思维。
【难度系数】
0.65
11. 新趋势 操作探究 探究圆的面积时，我们基本是通过割补法把圆转化成近似的平行四边形或长方形，即将没学过的图形转化成已经学过的图形。
我们熟悉的图形还有三角形、梯形，圆既然能转化成近似的平行四边形或长方形，是不是也能转化成它们呢？
现在我们一起来验证是否能推导出 $ S = π r^2 $。用字母 $ r $ 表示圆的半径，圆的周长是 $ 2π r $，每个小扇形的弧长是 $ 2π r ÷ (\quad) = 0.125π r $。
近似的梯形的上底是(),下底是(),高是(),面积是()。
近似的三角形的底是(),高是(),面积是()。
思路提示:最后利用交换律进行整理后，三种方式推导出的圆的面积计算公式应该一样哦！
我们熟悉的图形还有三角形、梯形，圆既然能转化成近似的平行四边形或长方形，是不是也能转化成它们呢？
现在我们一起来验证是否能推导出 $ S = π r^2 $。用字母 $ r $ 表示圆的半径，圆的周长是 $ 2π r $，每个小扇形的弧长是 $ 2π r ÷ (\quad) = 0.125π r $。
近似的梯形的上底是(),下底是(),高是(),面积是()。
近似的三角形的底是(),高是(),面积是()。
思路提示:最后利用交换律进行整理后，三种方式推导出的圆的面积计算公式应该一样哦！
答案
16 0.375πr 0.625πr 2r πr² 0.5πr 4r πr²
解析 将圆分成了16等份,每份的弧长都是0.125πr,通过数一数的方法分别得出近似的梯形的上底和下底,近似的三角形的底,以及两者的高,分别代入梯形面积计算公式和三角形面积计算公式进行计算即可。
解析 将圆分成了16等份,每份的弧长都是0.125πr,通过数一数的方法分别得出近似的梯形的上底和下底,近似的三角形的底,以及两者的高,分别代入梯形面积计算公式和三角形面积计算公式进行计算即可。
解析
【分析】
解题时抓住割补前后圆的总弧长、总面积不变的特点，按以下步骤思考：①先根据圆的总周长和每份小扇形的弧长，算出圆被平均分成的总份数；②观察近似梯形的上底、下底分别对应几份小扇形的弧长，高对应几个半径的长度；③观察近似三角形的底对应几份小扇形的弧长，高对应几个半径的长度；④分别代入梯形、三角形的面积公式计算，验证结果和圆的面积公式一致。
【解析】
1. 求圆被分成的份数：
圆的总周长是$2π r$，每个小扇形弧长是$0.125π r$，总份数=总周长÷每份弧长，即 $2π r ÷ 0.125π r = 16$，所以第一个空填16。
2. 求近似梯形的相关量和面积：
观察可知上底对应3个小扇形的弧长，上底= $3×0.125π r = 0.375π r$；
下底对应5个小扇形的弧长，下底= $5×0.125π r = 0.625π r$；
高是2个半径的长度，即高=$2r$；
代入梯形面积公式 $S=(上底+下底)×高÷2$，得：
$S=(0.375π r + 0.625π r)×2r÷2 = π r × 2r ÷ 2 = π r^2$。
3. 求近似三角形的相关量和面积：
观察可知底对应4个小扇形的弧长，底= $4×0.125π r = 0.5π r$；
高是4个半径的长度，即高=$4r$；
代入三角形面积公式 $S=底×高÷2$，得：
$S=0.5π r ×4r ÷2 = 2π r^2 ÷2 = π r^2$。
【答案】
16 0.375πr 0.625πr 2r πr² 0.5πr 4r πr²
【知识点】
圆的面积推导；梯形面积计算；三角形面积计算
【点评】
本题借助割补转化的数学思想，将陌生的圆面积推导转化为熟悉的梯形、三角形面积计算，能帮助理解图形转化前后的等量关系，加深对圆面积公式来源的掌握。
【难度系数】
0.7
解题时抓住割补前后圆的总弧长、总面积不变的特点，按以下步骤思考：①先根据圆的总周长和每份小扇形的弧长，算出圆被平均分成的总份数；②观察近似梯形的上底、下底分别对应几份小扇形的弧长，高对应几个半径的长度；③观察近似三角形的底对应几份小扇形的弧长，高对应几个半径的长度；④分别代入梯形、三角形的面积公式计算，验证结果和圆的面积公式一致。
【解析】
1. 求圆被分成的份数：
圆的总周长是$2π r$，每个小扇形弧长是$0.125π r$，总份数=总周长÷每份弧长，即 $2π r ÷ 0.125π r = 16$，所以第一个空填16。
2. 求近似梯形的相关量和面积：
观察可知上底对应3个小扇形的弧长，上底= $3×0.125π r = 0.375π r$；
下底对应5个小扇形的弧长，下底= $5×0.125π r = 0.625π r$；
高是2个半径的长度，即高=$2r$；
代入梯形面积公式 $S=(上底+下底)×高÷2$，得：
$S=(0.375π r + 0.625π r)×2r÷2 = π r × 2r ÷ 2 = π r^2$。
3. 求近似三角形的相关量和面积：
观察可知底对应4个小扇形的弧长，底= $4×0.125π r = 0.5π r$；
高是4个半径的长度，即高=$4r$；
代入三角形面积公式 $S=底×高÷2$，得：
$S=0.5π r ×4r ÷2 = 2π r^2 ÷2 = π r^2$。
【答案】
16 0.375πr 0.625πr 2r πr² 0.5πr 4r πr²
【知识点】
圆的面积推导；梯形面积计算；三角形面积计算
【点评】
本题借助割补转化的数学思想，将陌生的圆面积推导转化为熟悉的梯形、三角形面积计算，能帮助理解图形转化前后的等量关系，加深对圆面积公式来源的掌握。
【难度系数】
0.7
