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9. (2024·苏州工业园区校级段考)已知雨滴在空中竖直下落时所受空气阻力与速度大小的二次方成正比，且不同质量的雨滴所受空气阻力与速度大小的二次方的比值相同。现有质量分别为4 g和1 g的雨滴从空中竖直下落，在落到地面之前都已做匀速直线运动，那么两雨滴做匀速直线运动的过程中，它们重力的功率之比为（
A.$16:1$
B.$8:1$
C.$4:1$
D.$2:1$
B
）A.$16:1$
B.$8:1$
C.$4:1$
D.$2:1$
答案
9. B
解析
【分析】
要解决这道题，需按以下思路推导：首先，雨滴匀速下落时受力平衡，重力等于空气阻力；其次，结合阻力与速度平方的关系，推导速度与雨滴质量的关联；最后利用重力功率公式，计算两雨滴的功率之比。具体步骤：1. 匀速状态下，重力与阻力平衡，即$G=f$；2. 由阻力公式$f=kv^2$和重力公式$G=mg$，推导出速度$v$与质量$m$的关系；3. 代入重力功率公式$P=Gv$，计算功率比值。
【解析】
解：雨滴匀速下落时，受力平衡，重力等于空气阻力，即$G = f$。
已知空气阻力$f = kv^2$（$k$为阻力与速度平方的比值，题目中不同雨滴的$k$相同），重力$G = mg$，因此：
$mg = kv^2$，解得匀速下落的速度$v = \sqrt{\frac{mg}{k}}$。
重力的功率公式为$P = Gv = mg · v$，将$v$代入得：
$P = mg · \sqrt{\frac{mg}{k}} = m^{\frac{3}{2}} · \sqrt{\frac{g}{k}}$。
由于两雨滴的$g$（重力加速度）和$k$均相同，因此功率之比：
$\frac{P_1}{P_2} = ( \frac{m_1}{m_2} )^{\frac{3}{2}}$。
已知$m_1 = 4\ \mathrm{g}$，$m_2 = 1\ \mathrm{g}$，代入得：
$\frac{P_1}{P_2} = ( \frac{4}{1} )^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^3 = 8$，即功率之比为$8:1$。
【答案】
B
【知识点】
二力平衡、功率计算、阻力与速度的关系
【点评】
本题结合受力平衡、功率公式及阻力特性，考查力学综合推导能力，需通过公式变形建立物理量间的关系，是力学部分的典型应用题型。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需按以下思路推导：首先，雨滴匀速下落时受力平衡，重力等于空气阻力；其次，结合阻力与速度平方的关系，推导速度与雨滴质量的关联；最后利用重力功率公式，计算两雨滴的功率之比。具体步骤：1. 匀速状态下，重力与阻力平衡，即$G=f$；2. 由阻力公式$f=kv^2$和重力公式$G=mg$，推导出速度$v$与质量$m$的关系；3. 代入重力功率公式$P=Gv$，计算功率比值。
【解析】
解：雨滴匀速下落时，受力平衡，重力等于空气阻力，即$G = f$。
已知空气阻力$f = kv^2$（$k$为阻力与速度平方的比值，题目中不同雨滴的$k$相同），重力$G = mg$，因此：
$mg = kv^2$，解得匀速下落的速度$v = \sqrt{\frac{mg}{k}}$。
重力的功率公式为$P = Gv = mg · v$，将$v$代入得：
$P = mg · \sqrt{\frac{mg}{k}} = m^{\frac{3}{2}} · \sqrt{\frac{g}{k}}$。
由于两雨滴的$g$（重力加速度）和$k$均相同，因此功率之比：
$\frac{P_1}{P_2} = ( \frac{m_1}{m_2} )^{\frac{3}{2}}$。
已知$m_1 = 4\ \mathrm{g}$，$m_2 = 1\ \mathrm{g}$，代入得：
$\frac{P_1}{P_2} = ( \frac{4}{1} )^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^3 = 8$，即功率之比为$8:1$。
【答案】
B
【知识点】
二力平衡、功率计算、阻力与速度的关系
【点评】
本题结合受力平衡、功率公式及阻力特性，考查力学综合推导能力，需通过公式变形建立物理量间的关系，是力学部分的典型应用题型。
【难度系数】
0.5
10. (2024·苏州姑苏校级段考)某校九年级举行登楼比赛的物理实践活动，要求参赛选手登上同一教学楼的顶楼，比一比，看谁的功率大。若你所在的班级要取胜，则应推选出体重较
重
并且上楼速度较快
的同学参加比赛。答案
10. 重 快
解析
【分析】登楼时的功率是克服重力做功的功率，需结合功率公式推导其影响因素。首先明确登楼做功的表达式，再结合速度公式转化功率公式，分析得出功率与体重、速度的关系，进而确定参赛同学的选择标准。
【解析】登楼时，克服重力做的功为$ W = Gh $（$ G $为人体重力，$ h $为楼的高度），功率公式为$ P = \frac{W}{t} $，代入功的表达式得$ P = \frac{Gh}{t} $。由于参赛同学登同一教学楼，楼的高度$ h $相同；再结合速度公式$ v = \frac{h}{t} $，可得$ t = \frac{h}{v} $，将其代入功率公式，推导出$ P = Gv $。由此可知，在$ h $一定时，功率与体重、上楼速度均成正比，因此要让功率更大，应推选体重较重且上楼速度较快的同学。
【答案】重；快
【知识点】功率的计算；功的计算
【点评】本题结合登楼比赛的实际场景，考查功率公式的推导与应用，将物理知识与生活实践结合，需要学生灵活运用公式推导得出功率的影响因素，难度适中，注重知识的实际应用。
【难度系数】0.6
【解析】登楼时，克服重力做的功为$ W = Gh $（$ G $为人体重力，$ h $为楼的高度），功率公式为$ P = \frac{W}{t} $，代入功的表达式得$ P = \frac{Gh}{t} $。由于参赛同学登同一教学楼，楼的高度$ h $相同；再结合速度公式$ v = \frac{h}{t} $，可得$ t = \frac{h}{v} $，将其代入功率公式，推导出$ P = Gv $。由此可知，在$ h $一定时，功率与体重、上楼速度均成正比，因此要让功率更大，应推选体重较重且上楼速度较快的同学。
【答案】重；快
【知识点】功率的计算；功的计算
【点评】本题结合登楼比赛的实际场景，考查功率公式的推导与应用，将物理知识与生活实践结合，需要学生灵活运用公式推导得出功率的影响因素，难度适中，注重知识的实际应用。
【难度系数】0.6
11. (2024·苏州姑苏段考)小华想利用所学的物理知识估测自己跳绳时克服重力做功的平均功率（不计绳重）。
（1）用体重计测量自己的质量m。
（2）用刻度尺测出自己每次跳起的平均高度h（人的重心上升的高度）。
（3）用秒表记录跳n次所用的时间t。
（4）计算出跳绳时克服重力的平均功率P=
（5）若小华的质量m=50 kg，小华的重心高度随时间变化的情况如图所示。根据图中所给条件，可估算出小华在1 min内克服重力做功的平均功率为
（6）若他要和其他同学比较跳绳的平均功率大小（设跳起的平均高度相同），则
A. 跳绳快的功率一定大
B. 跳绳的快慢相同，体重大的功率大
C. 体重相同，跳的个数越多的功率越大
D. 体重相同，跳的时间越长的功率越大
（1）用体重计测量自己的质量m。
（2）用刻度尺测出自己每次跳起的平均高度h（人的重心上升的高度）。
（3）用秒表记录跳n次所用的时间t。
（4）计算出跳绳时克服重力的平均功率P=
$\dfrac{nmgh}{t}$
（用字母表示）。（5）若小华的质量m=50 kg，小华的重心高度随时间变化的情况如图所示。根据图中所给条件，可估算出小华在1 min内克服重力做功的平均功率为
135
W。（g取10 N/kg）（6）若他要和其他同学比较跳绳的平均功率大小（设跳起的平均高度相同），则
B
。A. 跳绳快的功率一定大
B. 跳绳的快慢相同，体重大的功率大
C. 体重相同，跳的个数越多的功率越大
D. 体重相同，跳的时间越长的功率越大
答案
11. (4) $\dfrac{nmgh}{t}$ (5) 135 (6) B
解析
【分析】
要计算跳绳克服重力做功的平均功率，需明确平均功率是总功与总时间的比值；每次跳绳克服重力做功为$mgh$，跳$n$次的总功为$nmgh$，结合总时间可推导功率表达式；从图像中提取跳绳周期，能计算1分钟内的跳绳次数，进而求解平均功率；比较功率大小时，需结合功率公式分析各物理量的影响。
【解析】
（4）每次跳绳克服重力做功$W_0 = mgh$，跳$n$次的总功$W_{\mathrm{总}} = nmgh$，总时间为$t$，根据平均功率公式$P=\frac{W_{\mathrm{总}}}{t}$，得平均功率$P=\frac{nmgh}{t}$。
（5）由图像可知，每跳一次的周期为$\frac{1}{3}\ \mathrm{s}$，1分钟（$60\ \mathrm{s}$）内跳绳次数$n=\frac{60\ \mathrm{s}}{\frac{1}{3}\ \mathrm{s/次}}=180$次；每次做功$W_0=mgh=50\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}×0.09\ \mathrm{m}=45\ \mathrm{J}$，总功$W_{\mathrm{总}}=180×45\ \mathrm{J}=8100\ \mathrm{J}$，平均功率$P=\frac{8100\ \mathrm{J}}{60\ \mathrm{s}}=135\ \mathrm{W}$。
（6）平均功率$P=mgh·\frac{n}{t}$，$\frac{n}{t}$为跳绳快慢。当$h$相同时：A选项，跳绳快但质量小，功率不一定大，错误；B选项，跳绳快慢相同，体重大则功率大，正确；C选项，功率由单位时间跳绳次数决定，不是单纯个数，错误；D选项，功率由单位时间跳绳次数决定，不是单纯时间，错误。故选B。
【答案】
(4) $\dfrac{nmgh}{t}$；(5) 135；(6) B
【知识点】
功率计算、重力做功、平均功率
【点评】
本题结合实际场景考查平均功率的计算，需掌握总功与总时间的关系，能从图像提取关键信息，分析功率影响因素时要紧扣公式，避免概念混淆。
【难度系数】
0.5
要计算跳绳克服重力做功的平均功率，需明确平均功率是总功与总时间的比值；每次跳绳克服重力做功为$mgh$，跳$n$次的总功为$nmgh$，结合总时间可推导功率表达式；从图像中提取跳绳周期，能计算1分钟内的跳绳次数，进而求解平均功率；比较功率大小时，需结合功率公式分析各物理量的影响。
【解析】
（4）每次跳绳克服重力做功$W_0 = mgh$，跳$n$次的总功$W_{\mathrm{总}} = nmgh$，总时间为$t$，根据平均功率公式$P=\frac{W_{\mathrm{总}}}{t}$，得平均功率$P=\frac{nmgh}{t}$。
（5）由图像可知，每跳一次的周期为$\frac{1}{3}\ \mathrm{s}$，1分钟（$60\ \mathrm{s}$）内跳绳次数$n=\frac{60\ \mathrm{s}}{\frac{1}{3}\ \mathrm{s/次}}=180$次；每次做功$W_0=mgh=50\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}×0.09\ \mathrm{m}=45\ \mathrm{J}$，总功$W_{\mathrm{总}}=180×45\ \mathrm{J}=8100\ \mathrm{J}$，平均功率$P=\frac{8100\ \mathrm{J}}{60\ \mathrm{s}}=135\ \mathrm{W}$。
（6）平均功率$P=mgh·\frac{n}{t}$，$\frac{n}{t}$为跳绳快慢。当$h$相同时：A选项，跳绳快但质量小，功率不一定大，错误；B选项，跳绳快慢相同，体重大则功率大，正确；C选项，功率由单位时间跳绳次数决定，不是单纯个数，错误；D选项，功率由单位时间跳绳次数决定，不是单纯时间，错误。故选B。
【答案】
(4) $\dfrac{nmgh}{t}$；(5) 135；(6) B
【知识点】
功率计算、重力做功、平均功率
【点评】
本题结合实际场景考查平均功率的计算，需掌握总功与总时间的关系，能从图像提取关键信息，分析功率影响因素时要紧扣公式，避免概念混淆。
【难度系数】
0.5
12. (2024·苏州工业园区段考)一辆在水平路面上沿直线匀速行驶的货车，货车(含驾驶员)空载时重为$3×10^4\ \mathrm{N}$，行驶时所受的阻力为车总重的5%。求：
(1) 货车空载行驶时所受的阻力。
(2) 货车空载时以20 m/s的速度匀速行驶，10 s内货车牵引力做的功。
(3) 当货车装载$7×10^4\ \mathrm{N}$的货物，以80 kW的恒定功率匀速行驶时，货车行驶的速度。
(1) 货车空载行驶时所受的阻力。
(2) 货车空载时以20 m/s的速度匀速行驶，10 s内货车牵引力做的功。
(3) 当货车装载$7×10^4\ \mathrm{N}$的货物，以80 kW的恒定功率匀速行驶时，货车行驶的速度。
答案
12.（1）根据题意可知，货车空载行驶时所受的阻力 $f=5\% G_{\mathrm{空}}=0.05G_{\mathrm{空}}=0.05×3×10^4\ \mathrm{N}=1\ 500\ \mathrm{N}$
（2）货车匀速行驶的速度 $v=20\ \mathrm{m/s}$,货车匀速行驶 10 s 通过的路程 $s=vt=20\ \mathrm{m/s}×10\ \mathrm{s}=200\ \mathrm{m}$,由于货车在水平路面上沿直线匀速行驶,由二力平衡可知,货车的牵引力等于其受到的阻力,即 $F=f=1\ 500\ \mathrm{N}$, 所以牵引力做的功 $W=Fs=1\ 500\ \mathrm{N}×200\ \mathrm{m}=3×10^5\ \mathrm{J}$
（3）货车的总重 $G_{\mathrm{总}}=G_{\mathrm{空}}+G_{\mathrm{货}}=3×10^4\ \mathrm{N}+7×10^4\ \mathrm{N}=1×10^5\ \mathrm{N}$,货车匀速行驶时所受的阻力$f'=5\%G_{\mathrm{总}}=0.05G_{\mathrm{总}}=0.05×1×10^5\ \mathrm{N}=5×10^3\ \mathrm{N}$,由于货车在水平路面上沿直线匀速行驶,由二力平衡可知,货车的牵引力等于其受到的阻力,即 $F'=f'=5×10^3\ \mathrm{N}$,根据公式 $P=\dfrac{W}{t}=\dfrac{Fs}{t}=Fv$ 可得,货车的速度 $v'=\dfrac{P}{F'}=\dfrac{80×10^3\ \mathrm{W}}{5×10^3\ \mathrm{N}}=16\ \mathrm{m/s}$
（2）货车匀速行驶的速度 $v=20\ \mathrm{m/s}$,货车匀速行驶 10 s 通过的路程 $s=vt=20\ \mathrm{m/s}×10\ \mathrm{s}=200\ \mathrm{m}$,由于货车在水平路面上沿直线匀速行驶,由二力平衡可知,货车的牵引力等于其受到的阻力,即 $F=f=1\ 500\ \mathrm{N}$, 所以牵引力做的功 $W=Fs=1\ 500\ \mathrm{N}×200\ \mathrm{m}=3×10^5\ \mathrm{J}$
（3）货车的总重 $G_{\mathrm{总}}=G_{\mathrm{空}}+G_{\mathrm{货}}=3×10^4\ \mathrm{N}+7×10^4\ \mathrm{N}=1×10^5\ \mathrm{N}$,货车匀速行驶时所受的阻力$f'=5\%G_{\mathrm{总}}=0.05G_{\mathrm{总}}=0.05×1×10^5\ \mathrm{N}=5×10^3\ \mathrm{N}$,由于货车在水平路面上沿直线匀速行驶,由二力平衡可知,货车的牵引力等于其受到的阻力,即 $F'=f'=5×10^3\ \mathrm{N}$,根据公式 $P=\dfrac{W}{t}=\dfrac{Fs}{t}=Fv$ 可得,货车的速度 $v'=\dfrac{P}{F'}=\dfrac{80×10^3\ \mathrm{W}}{5×10^3\ \mathrm{N}}=16\ \mathrm{m/s}$
解析
【分析】
本题考查力学中阻力、功、功率的计算及二力平衡的应用，分三步解题：第(1)问根据阻力与车重的比例关系直接计算空载阻力；第(2)问先由速度和时间算行驶路程，再利用二力平衡得牵引力，最后通过W=Fs计算牵引力做功；第(3)问先算总重力，再求对应阻力，结合二力平衡得牵引力，利用功率公式P=Fv变形求行驶速度。
【解析】
(1) 已知行驶时阻力为车总重的5%，空载时车重$G_{\mathrm{空}}=3×10^4\ \mathrm{N}$，则空载阻力：
$f=5\%G_{\mathrm{空}}=0.05×3×10^4\ \mathrm{N}=1500\ \mathrm{N}$。
(2) 货车匀速行驶速度$v=20\ \mathrm{m/s}$，10s内通过的路程：
$s=vt=20\ \mathrm{m/s}×10\ \mathrm{s}=200\ \mathrm{m}$；
因货车匀速直线行驶，牵引力与阻力是平衡力，故牵引力$F=f=1500\ \mathrm{N}$；
牵引力做功：$W=Fs=1500\ \mathrm{N}×200\ \mathrm{m}=3×10^5\ \mathrm{J}$。
(3) 货车总重：$G_{\mathrm{总}}=G_{\mathrm{空}}+G_{\mathrm{货}}=3×10^4\ \mathrm{N}+7×10^4\ \mathrm{N}=1×10^5\ \mathrm{N}$；
此时阻力：$f'=5\%G_{\mathrm{总}}=0.05×1×10^5\ \mathrm{N}=5×10^3\ \mathrm{N}$；
因匀速行驶，牵引力$F'=f'=5×10^3\ \mathrm{N}$；
由功率公式$P=\dfrac{W}{t}=\dfrac{Fs}{t}=Fv$，得行驶速度：
$v'=\dfrac{P}{F'}=\dfrac{80×10^3\ \mathrm{W}}{5×10^3\ \mathrm{N}}=16\ \mathrm{m/s}$。
【答案】
(1) $1500\ \mathrm{N}$；(2) $3×10^5\ \mathrm{J}$；(3) $16\ \mathrm{m/s}$
【知识点】
功的计算、功率的计算、二力平衡
【点评】
本题为力学基础综合题，核心是利用阻力与车重的关系、二力平衡、功和功率的公式进行计算，解题步骤清晰，公式应用明确，侧重考查学生对基础公式的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.6
本题考查力学中阻力、功、功率的计算及二力平衡的应用，分三步解题：第(1)问根据阻力与车重的比例关系直接计算空载阻力；第(2)问先由速度和时间算行驶路程，再利用二力平衡得牵引力，最后通过W=Fs计算牵引力做功；第(3)问先算总重力，再求对应阻力，结合二力平衡得牵引力，利用功率公式P=Fv变形求行驶速度。
【解析】
(1) 已知行驶时阻力为车总重的5%，空载时车重$G_{\mathrm{空}}=3×10^4\ \mathrm{N}$，则空载阻力：
$f=5\%G_{\mathrm{空}}=0.05×3×10^4\ \mathrm{N}=1500\ \mathrm{N}$。
(2) 货车匀速行驶速度$v=20\ \mathrm{m/s}$，10s内通过的路程：
$s=vt=20\ \mathrm{m/s}×10\ \mathrm{s}=200\ \mathrm{m}$；
因货车匀速直线行驶，牵引力与阻力是平衡力，故牵引力$F=f=1500\ \mathrm{N}$；
牵引力做功：$W=Fs=1500\ \mathrm{N}×200\ \mathrm{m}=3×10^5\ \mathrm{J}$。
(3) 货车总重：$G_{\mathrm{总}}=G_{\mathrm{空}}+G_{\mathrm{货}}=3×10^4\ \mathrm{N}+7×10^4\ \mathrm{N}=1×10^5\ \mathrm{N}$；
此时阻力：$f'=5\%G_{\mathrm{总}}=0.05×1×10^5\ \mathrm{N}=5×10^3\ \mathrm{N}$；
因匀速行驶，牵引力$F'=f'=5×10^3\ \mathrm{N}$；
由功率公式$P=\dfrac{W}{t}=\dfrac{Fs}{t}=Fv$，得行驶速度：
$v'=\dfrac{P}{F'}=\dfrac{80×10^3\ \mathrm{W}}{5×10^3\ \mathrm{N}}=16\ \mathrm{m/s}$。
【答案】
(1) $1500\ \mathrm{N}$；(2) $3×10^5\ \mathrm{J}$；(3) $16\ \mathrm{m/s}$
【知识点】
功的计算、功率的计算、二力平衡
【点评】
本题为力学基础综合题，核心是利用阻力与车重的关系、二力平衡、功和功率的公式进行计算，解题步骤清晰，公式应用明确，侧重考查学生对基础公式的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.6
