8 在同一平面直角坐标系中，函数 $ y=ax $ 和 $ y=x+a $（$ a $ 为常数，$ a＜0 $）的图象可能是 （）

8. D

9 已知一次函数 $ y = kx + b $ 的图象经过点(1,3)和(-1,2)，则 $ k^2 - b^2 $ 的值为。

9. $-6$

10 [2024广安]如图，直线$y=2x+2$与x轴、y轴分别相交于点A，B，将△AOB绕点A按逆时针方向旋转$90°$得到△ACD，则点D的坐标为。

10. $(-3,1)$

11 已知第一象限内的点 P 在直线 $ y=-x+5 $ 上，点 A 的坐标为 $ (4,0) $，设 $ △ AOP $ 的面积为 $ S $。
(1) 当点 P 的横坐标为 2 时，求 $ △ AOP $ 的面积；
(2) 当 $ S=4 $ 时，求点 P 的坐标；
(3) 求 $ S $ 关于 $ x $ 的函数表达式，写出 $ x $ 的取值范围，并画出函数图象。

11. (1) 把$x=2$代入$y=-x+5$,得$y=-2+5=3$,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(2,3)$.$\because$ 点$A$的坐标为$(4,0)$,$\therefore OA=4$,$\therefore S_{△ AOP}=\frac{1}{2}OA· y_P=\frac{1}{2}×4×3=6$
(2) 当$S=4$时,$\frac{1}{2}OA· |y_P|=4$.$\because$ 点$P$在第一象限内,$A(4,0)$,$\therefore OA=4$,$y_P＞0$,$\therefore y_P=2$. 在$y=-x+5$中,令$y=2$,得$x=3$,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(3,2)$
(3) 设$P(x,-x+5)$. 根据题意,得$S=\frac{1}{2}OA· |y_P|=\frac{1}{2}×4· y_P=2(-x+5)=-2x+10$. $\because$ 点$P$在第一象限,$\therefore \begin{cases}x＞0,\\-x+5＞0,\end{cases}$ 解得$0＜x＜5$,$\therefore S$关于$x$的函数表达式为$S=-2x+10(0＜x＜5)$,函数图象如图所示

12 如图①，点A的坐标是(0,1)，B是x轴正半轴上的一个动点，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使点C在第一象限内，∠BAC=90°.设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y.
（1）求y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）在图②中画出（1）中函数的图象.

12. (1) 如图①,过点$C$作$CH⊥ y$轴,垂足为$H$,则$∠ AHC=90°$.$\because$ 点$C$的纵坐标为$y$,$\therefore OH=y$.$\because$ 点$A$的坐标是$(0,1)$,$\therefore OA=1$. $\because △ ABC$ 是以 $AB$ 为边的等腰直角三角形,$\therefore AC=BA$. $\because ∠ BAC=90°$,$\therefore ∠ HAC+∠ OAB=90°$.$\because ∠ BOA=90°$,$\therefore ∠ OBA+∠ OAB=90°$,$\therefore ∠ HAC=∠ OBA$. 在 $△ HAC$ 和 $△ OBA$ 中, $\begin{cases}∠ AHC=∠ BOA,\\∠ HAC=∠ OBA,\\AC=BA,\end{cases}$ $\therefore △ HAC≌△ OBA(\mathrm{AAS})$,$\therefore AH=BO$. $\because$ 点 $B$ 的横坐标为$x$,$\therefore AH=BO=x$,$\therefore OH=OA+AH=1+x$,$\therefore y=x+1$.$\because B$ 是 $x$ 轴正半轴上的一个动点,$\therefore$ 自变量 $x$ 的取值范围是$x＞0$
(2) 如图②所示 【解析】不妨取点$(0,1),(1,2)$画图. 画图时,注意自变量的取值范围.