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23.(10分)如图7-45,数轴上A,B两点对应的有理数分别为10和15,点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动,点Q同时从原点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动,设运动时间为$t(t≥0)s$.
(1)用含$t$的式子填空:
①点P在数轴上对应的数为
②点Q在数轴上对应的数为
③线段PQ的长度为
(2)当$PQ=2AB$时,求$t$的值.
(3)在点$P,Q$运动过程中,是否存在$t$的值,使$A,P,Q$三点中,其中一点为其他两点所连线段的中点?若存在,请求出$t$的值;若不存在,请说明理由.
(1)用含$t$的式子填空:
①点P在数轴上对应的数为
10 + t
;②点Q在数轴上对应的数为
2t
;③线段PQ的长度为
|t - 10|
.(2)当$PQ=2AB$时,求$t$的值.
(3)在点$P,Q$运动过程中,是否存在$t$的值,使$A,P,Q$三点中,其中一点为其他两点所连线段的中点?若存在,请求出$t$的值;若不存在,请说明理由.
答案
23. 解:(1)①$10 + t$；②$2t$；③$|t - 10|$.
(2) $t$ 秒时,点 $P$ 对应 $10 + t$,点 $Q$ 对应 $2t$.
$\therefore PQ = |2t - (10 + t)| = |t - 10|$.
当 $PQ = 2AB$ 时, $|t - 10| = 2 × 5 = 10$.
根据绝对值的意义可得 $t = 0$ 或 $t = 20$.
$\therefore t$ 的值为 0 或 20.
(3) 提示:当 $A$ 是中点时,$AQ = AP$,
即 $10 - 2t = t$, 解得 $t = \frac{10}{3}$.
当 $Q$ 是中点时,$AQ = PQ$,
即 $2t - 10 = \frac{1}{2}t$, 解得 $t = \frac{20}{3}$.
当 $P$ 是中点时,$AP = PQ$,
即 $\frac{1}{2}(2t - 10) = t$, 无解,这种情况不存在.
(2) $t$ 秒时,点 $P$ 对应 $10 + t$,点 $Q$ 对应 $2t$.
$\therefore PQ = |2t - (10 + t)| = |t - 10|$.
当 $PQ = 2AB$ 时, $|t - 10| = 2 × 5 = 10$.
根据绝对值的意义可得 $t = 0$ 或 $t = 20$.
$\therefore t$ 的值为 0 或 20.
(3) 提示:当 $A$ 是中点时,$AQ = AP$,
即 $10 - 2t = t$, 解得 $t = \frac{10}{3}$.
当 $Q$ 是中点时,$AQ = PQ$,
即 $2t - 10 = \frac{1}{2}t$, 解得 $t = \frac{20}{3}$.
当 $P$ 是中点时,$AP = PQ$,
即 $\frac{1}{2}(2t - 10) = t$, 无解,这种情况不存在.
