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1. 对顶角是两条直线相交形成的角，对顶角是既有特殊的位置关系又有相对确定的数量关系的两个角.
2. 同位角、内错角、同旁内角是两条直线被另一条直线所截形成的角，都是具有特殊位置关系的两个角.请你变换图形，并结合图形说一说同位角、内错角、同旁内角是不是数量关系相对确定的两个角.
3. 自制学具做实验:在纸板上画一条直线AB,在直线外确定一点P,画一条可以绕点P转动的直线CD. ① 转动直线CD,观察两条直线交点位置变化的情况,想一想如何借此理解“经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”;② 再过点P画直线EF截直线AB,CD,转动直线CD,观察直线AB,CD的位置关系可以通过哪些特征表现出来,说一说如何借此理解“同位角相等,两直线平行”.
4. 在我们生活的环境中,有许多空间里的垂直关系和平行关系,请你借助于正方体图形说出空间里的线与线、线与面的垂直关系和平行关系.
思维延伸
1. 比较“在同一平面内,经过直线外一点或直线上一点,有且只有一条直线与已知直线垂直”和“经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”这两句话的异同点,这两句话中的“有且只有”的含义是什么?结合正方体中棱与棱的位置关系说一说前一句话中为什么有“在同一平面内”而后一句话中为什么没有.
2. “两点之间的距离”与“点到直线的距离”有什么联系与区别?
3. 平行线的定义中有两个条件:① 在同一平面内;② 两条直线不相交.想一想,这两个条件缺少一个行不行?请你自制学具或画出图形验证一下.
4. 平行线的性质和平行线的判定之间有什么区别和联系?
1. 对顶角是两条直线相交形成的角，对顶角是既有特殊的位置关系又有相对确定的数量关系的两个角.
2. 同位角、内错角、同旁内角是两条直线被另一条直线所截形成的角，都是具有特殊位置关系的两个角.请你变换图形，并结合图形说一说同位角、内错角、同旁内角是不是数量关系相对确定的两个角.
3. 自制学具做实验:在纸板上画一条直线AB,在直线外确定一点P,画一条可以绕点P转动的直线CD. ① 转动直线CD,观察两条直线交点位置变化的情况,想一想如何借此理解“经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”;② 再过点P画直线EF截直线AB,CD,转动直线CD,观察直线AB,CD的位置关系可以通过哪些特征表现出来,说一说如何借此理解“同位角相等,两直线平行”.
4. 在我们生活的环境中,有许多空间里的垂直关系和平行关系,请你借助于正方体图形说出空间里的线与线、线与面的垂直关系和平行关系.
思维延伸
1. 比较“在同一平面内,经过直线外一点或直线上一点,有且只有一条直线与已知直线垂直”和“经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”这两句话的异同点,这两句话中的“有且只有”的含义是什么?结合正方体中棱与棱的位置关系说一说前一句话中为什么有“在同一平面内”而后一句话中为什么没有.
2. “两点之间的距离”与“点到直线的距离”有什么联系与区别?
3. 平行线的定义中有两个条件:① 在同一平面内;② 两条直线不相交.想一想,这两个条件缺少一个行不行?请你自制学具或画出图形验证一下.
4. 平行线的性质和平行线的判定之间有什么区别和联系?
答案
解：
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2. 同位角、内错角、同旁内角不是数量关系相对确定的两个角。
取两条直线AB、CD被直线EF所截的图形，转动直线CD改变其倾斜程度：
同位角的度数会随之变化，可呈现不相等、相等的不同情况；
内错角的度数会随之变化，可呈现不相等、相等的不同情况；
同旁内角的度数会随之变化，可呈现和不等于180°、和等于180°的不同情况。
因此三者仅存在特殊位置关系，没有固定的数量关系。
3. ① 转动CD的过程中，CD与AB的交点会从AB的一侧不断向远处移动，当交点移动到无限远时CD与AB没有交点，即CD与AB平行，继续转动CD，交点又会出现在AB的另一侧。整个转动过程中，绕点P的所有直线里，只有唯一的一个位置能让CD和AB没有交点，其余位置的CD都和AB有且只有一个交点，由此可以直观理解“经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。
② 转动CD时，观察EF截AB、CD得到的同位角：当同位角不相等时，AB和CD是相交的；转动CD到同位角大小相等的位置时，AB和CD刚好没有交点，也就是互相平行，只要同位角相等，两直线就平行，由此可以理解“同位角相等，两直线平行”。
4. 以正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$为例：
线线垂直关系：棱$AB⊥$棱$AD$，$AB⊥$棱$AA_1$，$AB⊥$棱$BC$等；
线线平行关系：棱$AB//$棱$CD$，$AB//$棱$A_1B_1$，$AB//$棱$C_1D_1$等；
线面垂直关系：棱$AA_1$垂直于平面$ABCD$，棱$AA_1$垂直于平面$A_1B_1C_1D_1$等；
线面平行关系：棱$AB$平行于平面$CDD_1C_1$，棱$AB$平行于平面$A_1B_1C_1D_1$等。
---
思维延伸部分
1. 异同点：
相同点：两句话都描述了过指定点的、满足特定位置关系的直线的唯一性，都用“有且只有”做限定。
不同点：第一句话描述过点与已知直线垂直的直线的唯一性，限定了“在同一平面内”，点的位置可以是直线外也可以是直线上；第二句话描述过点与已知直线平行的直线的唯一性，没有“在同一平面内”的限定，点的位置只能是已知直线外。
“有且只有”的含义：“有”代表存在性，即一定存在符合要求的直线；“只有”代表唯一性，即符合要求的直线最多只有一条。
原因：在正方体中，取棱AB和棱上的点A，在空间里过点A可以作出棱AD、棱$AA_1$等多条直线都和棱AB垂直，这些直线不在同一个平面内，若不加“在同一平面内”的限定，过一点和已知直线垂直的直线就不止一条，所以前一句话需要加“在同一平面内”；而在空间中，过直线外一点，所有和已知直线平行的直线都是互相重合的，不存在不在同一平面内也和已知直线平行的直线，因此后一句话不需要额外加“在同一平面内”的限定。
2. 联系：点到直线的距离本质是直线外一点与该点向直线作垂线得到的垂足点之间的两点距离，是特殊的两点之间的距离。
区别：
① 定义不同：两点之间的距离是连接任意两点的线段的长度；点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
② 限定条件不同：任意两点都有对应的两点之间的距离，没有额外位置限制；点到直线的距离要求对应的线段必须是点到直线的垂线段，是该点到直线上所有点的连线中长度最短的线段。
3. 两个条件缺少一个都不行：
① 缺少条件①“在同一平面内”不行：空间中存在既不相交、也不在同一个平面内的两条直线，例如正方体中的棱AB和棱$CC_1$，它们不在同一平面内，也不相交，但不属于平行线，因此必须限定“在同一平面内”。
② 缺少条件②“两条直线不相交”不行：同一平面内的两条直线如果相交，就不可能是平行线，因此“不相交”是平行线的必要条件，不能缺少。
4. 区别：平行线的判定是根据同位角/内错角相等、同旁内角互补的角的关系，推导得到两条直线平行的结论，是从角的特征得到平行的结果；平行线的性质是已知两条直线平行，推导得到同位角、内错角相等，同旁内角互补的角的数量关系，是从平行的已知条件得到角的特征结果。
联系：判定和性质的条件与结论是互逆的，二者都以两条直线被第三条直线所截为基本图形，是对应的互逆推导过程。
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2. 同位角、内错角、同旁内角不是数量关系相对确定的两个角。
取两条直线AB、CD被直线EF所截的图形，转动直线CD改变其倾斜程度：
同位角的度数会随之变化，可呈现不相等、相等的不同情况；
内错角的度数会随之变化，可呈现不相等、相等的不同情况；
同旁内角的度数会随之变化，可呈现和不等于180°、和等于180°的不同情况。
因此三者仅存在特殊位置关系，没有固定的数量关系。
3. ① 转动CD的过程中，CD与AB的交点会从AB的一侧不断向远处移动，当交点移动到无限远时CD与AB没有交点，即CD与AB平行，继续转动CD，交点又会出现在AB的另一侧。整个转动过程中，绕点P的所有直线里，只有唯一的一个位置能让CD和AB没有交点，其余位置的CD都和AB有且只有一个交点，由此可以直观理解“经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。
② 转动CD时，观察EF截AB、CD得到的同位角：当同位角不相等时，AB和CD是相交的；转动CD到同位角大小相等的位置时，AB和CD刚好没有交点，也就是互相平行，只要同位角相等，两直线就平行，由此可以理解“同位角相等，两直线平行”。
4. 以正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$为例：
线线垂直关系：棱$AB⊥$棱$AD$，$AB⊥$棱$AA_1$，$AB⊥$棱$BC$等；
线线平行关系：棱$AB//$棱$CD$，$AB//$棱$A_1B_1$，$AB//$棱$C_1D_1$等；
线面垂直关系：棱$AA_1$垂直于平面$ABCD$，棱$AA_1$垂直于平面$A_1B_1C_1D_1$等；
线面平行关系：棱$AB$平行于平面$CDD_1C_1$，棱$AB$平行于平面$A_1B_1C_1D_1$等。
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1. 异同点：
相同点：两句话都描述了过指定点的、满足特定位置关系的直线的唯一性，都用“有且只有”做限定。
不同点：第一句话描述过点与已知直线垂直的直线的唯一性，限定了“在同一平面内”，点的位置可以是直线外也可以是直线上；第二句话描述过点与已知直线平行的直线的唯一性，没有“在同一平面内”的限定，点的位置只能是已知直线外。
“有且只有”的含义：“有”代表存在性，即一定存在符合要求的直线；“只有”代表唯一性，即符合要求的直线最多只有一条。
原因：在正方体中，取棱AB和棱上的点A，在空间里过点A可以作出棱AD、棱$AA_1$等多条直线都和棱AB垂直，这些直线不在同一个平面内，若不加“在同一平面内”的限定，过一点和已知直线垂直的直线就不止一条，所以前一句话需要加“在同一平面内”；而在空间中，过直线外一点，所有和已知直线平行的直线都是互相重合的，不存在不在同一平面内也和已知直线平行的直线，因此后一句话不需要额外加“在同一平面内”的限定。
2. 联系：点到直线的距离本质是直线外一点与该点向直线作垂线得到的垂足点之间的两点距离，是特殊的两点之间的距离。
区别：
① 定义不同：两点之间的距离是连接任意两点的线段的长度；点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
② 限定条件不同：任意两点都有对应的两点之间的距离，没有额外位置限制；点到直线的距离要求对应的线段必须是点到直线的垂线段，是该点到直线上所有点的连线中长度最短的线段。
3. 两个条件缺少一个都不行：
① 缺少条件①“在同一平面内”不行：空间中存在既不相交、也不在同一个平面内的两条直线，例如正方体中的棱AB和棱$CC_1$，它们不在同一平面内，也不相交，但不属于平行线，因此必须限定“在同一平面内”。
② 缺少条件②“两条直线不相交”不行：同一平面内的两条直线如果相交，就不可能是平行线，因此“不相交”是平行线的必要条件，不能缺少。
4. 区别：平行线的判定是根据同位角/内错角相等、同旁内角互补的角的关系，推导得到两条直线平行的结论，是从角的特征得到平行的结果；平行线的性质是已知两条直线平行，推导得到同位角、内错角相等，同旁内角互补的角的数量关系，是从平行的已知条件得到角的特征结果。
联系：判定和性质的条件与结论是互逆的，二者都以两条直线被第三条直线所截为基本图形，是对应的互逆推导过程。
