1. 在平面直角坐标系中,将抛物线$y=x^2 -x -6$向上(下)或向左(右)平移$m$个单位长度,使平移后的抛物线恰好经过原点,则$|m|$的最小值为 ()

A.1
B.2
C.3
D.6

1. B 解析:当 x=0 时,y=-6,故函数图象与 y 轴交于点C(0,-6),当 y=0 时,x²-x-6=0,即(x+2)(x-3)=0,解得x=-2 或 x=3,即函数图象与 x 轴的两个交点分别为 A(-2,0),B(3,0).由图(图略)可知,函数图象向右平移 2 个单位长度或向左平移 3 个单位长度或向上平移 6 个单位长度恰好过原点,故|m|的最小值为 2.

2.（绍兴中考改编）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2,1).一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为$y=x^2$，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，此时该抛物线的函数表达式变为.

2. $y=x^2+8x+14$ 解析:
∵ 矩形 ABCD 的两条对称轴为坐标轴,
∴ 矩形 ABCD 关于坐标原点对称.
∵ A,C 两点是对角线上的两个点,
∴ A 点、C 点关于坐标原点对称,
∴ C 点的坐标为(-2,-1),
∴ 抛物线由 A 点平移至 C 点,向左平移了 4 个单位长度,向下平移了 2 个单位长度.
∵ 这个点与点 A 重合时,函数表达式为 $y=x^2$,
∴ 这个点与点 C 重合时,函数表达式为 $y=(x+4)^2-2=x^2+8x+14$.

3. 已知二次函数$y=2x^2+bx+1$（$b$为常数），当$b$取不同的值时，对应得到一系列二次函数的图象，它们的顶点都在一条抛物线上，则顶点所在的这同一条抛物线的表达式是；如果二次函数$y=2x^2+bx+1$的顶点只在$x$轴上方移动，那么$b$的取值范围是。

3. $y=-2x^2+1$ $-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$ 解析:
∵ $y=2x^2+bx+1$ 的顶点坐标是 $(-\frac{b}{4},\frac{8-b^2}{8})$,设 $x = -\frac{b}{4},y = \frac{8-b^2}{8}$,
∴ $b = -4x,y = \frac{8-b^2}{8}=\frac{8-(-4x)^2}{8}=-2x^2+1$.若二次函数 $y=2x^2+bx+1$ 的顶点只在 x 轴上方移动,
∵ a=2＞0,
∴ 抛物线与 x 轴没有交点,
∴ $b^2-4ac＜0$,即 $b^2-8＜0$,解得 $-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$.

4. 如图,抛物线的顶点为$P(-2,2)$,与$y$轴交于点$A(0,3)$.若平移该抛物线使其顶点$P$沿直线移动到点$P'(2,-2)$,点$A$的对应点为$A'$,则抛物线上$PA$段扫过的区域(阴影部分)的面积为.
答案D38

4. 12 解析:如图,连接 $AP,A'P'$,过点 A 作 $AD ⊥ PP'$ 于点 D,由题意可得出 $AP// A'P',AP=A'P'$,
∴ 四边形 $APP'A'$ 是平行四边形.
∵ 抛物线的顶点为 $P(-2,2)$,与 y 轴交于点 $A(0,3)$,平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到点 $P'(2,-2)$,
∴ $PO = \sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt{2}, ∠ AOP = 45°$. 又 $AD ⊥ OP$,
∴ $△ ADO$ 是等腰直角三角形,
∴ $AD = DO = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
∵ $P'(2,-2)$,
∴ $OP' = \sqrt{2^2+(-2)^2} = 2\sqrt{2}$,
∴ $PP' = 2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$,
∴ 抛物线上 PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积等于平行四边形 $APP'A'$ 的面积,为 $4\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}=12$.

5. (南京中考)(1)将函数$y=-x^2+2$的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与y轴交点的纵坐标是.
(2)平移函数$y=-x^2+2$的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数$y=kx+2$的图象上.设平移后的函数图象的顶点P的横坐标为m，与y轴交点的纵坐标为n，n随m的变化而变化.
①若$k=2$，当$0≤m≤3$时，求n的取值范围.
②设函数$y=kx+2$的图象与x轴、y轴的交点分别为A，B，点P在线段AB上.当k取不同值时，下列关于n的变化趋势的描述：(a)n随m的增大而增大；(b)n随m的增大而减小；(c)n随m的增大先增大后减小；(d)n随m的增大先减小后增大.其中，所有可能出现的序号是.

5. (1)-2 解析:由“左加右减”的原则可知,将函数 $y=-x^2+2$ 的图象向右平移 2 个单位长度,所得函数的表达式为 $y=-(x-2)^2+2$,令 x=0,则 y=-2,即平移后的图象与 y 轴交点的纵坐标为-2.
(2):
∵ 平移函数 $y=-x^2+2$ 的图象,在这个过程中,它的顶点都在一次函数 $y=kx+2$ 的图象上,设平移后的函数图象的顶点 P 的横坐标为 m,则平移后的坐标为 $(m,km+2)$,
∴ 平移后的函数表达式为 $y=-(x-m)^2+km+2$,当 x=0 时,与 y 轴交点的纵坐标 $n=-m^2+km+2$.
①若 k=2,则 $n=-m^2+2m+2=-(m-1)^2+3$,
∴ n 是关于 m 的二次函数,二次函数的开口向下,对称轴为直线 m=1.
∵ m=3 时,$n=-(3-1)^2+3=-1,m=1$ 时,n=3,
∴ 当 $0≤m≤3$ 时,n 的取值范围是 $-1≤n≤3$.
②(a)(b) 解析:
∵ 函数 $y=kx+2$ 的图象与 x 轴、y 轴的交点分别为 A,B,
∴ $A(-\frac{2}{k},0),B(0,2)$,
∴ 当 k＜0 时,$0≤m≤-\frac{2}{k}$.
∵ $n=-m^2+km+2$,
∴ 对称轴为直线 $m=\frac{k}{2}＜0$,
∴ 当 $m＞\frac{k}{2}$ 时,n 随 m 的增大而减小.
∵ $m≥0＞\frac{k}{2}$,
∴ n 随 m 的增大而减小;当 k＞0 时,$-\frac{2}{k}≤m≤0$.
∵ $n=-m^2+km+2$,
∴ 对称轴为直线 $m=\frac{k}{2}＞0$.
∵ $m≤0＜\frac{k}{2}$,
∴ n 随 m 的增大而增大,故可能的序号是(a)(b).