11.如图,$\odot O的半径为\sqrt{2}$,圆周角$∠BAC = 120^{\circ}$,求$BC$的长.

解：作直径BE，连接CE，
则∠BCE=90°，
∠E=180°−∠A=60°，
∴∠CBE=30°，
∴CE=$\frac{1}{2}$BE=$\sqrt{2}$，
∴BC=$\sqrt{3}$CE=$\sqrt{6}$.

12.(2024扬州中考改)已知$\odot O是等边\triangle ABC$的外接圆,点$D在\overset{\frown}{BC}$上,连接$AD$,$BD$,$CD$.
【特殊化感知】(1)如图1,若点$D在AO$延长线上,直接写出$AD - BD与CD$的数量关系;
【一般化探究】(2)如图2,若点$C$,$D在AB$同侧,判断$AD - BD与CD$的数量关系并说明理由.

解：(1)AD−BD=CD；
(2)AD−BD=CD.
理由：延长BD至点E，
使DE=CD，连接CE.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°.
∵四边形ABDC为圆的内接四边形，
∴∠CDE=∠BAC=60°.
∵DE=CD，
∴△CDE为等边三角形，
∴CE=CD，∠DCE=∠E=60°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD
=60°+∠BCD.
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE
=60°+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE.
∵∠CAD=∠CBD，
∴△ACD≌△BCE(ASA)，
∴AD=BE.
∵BE=BD+DE=BD+CD，
∴AD=BD+CD，
∴AD−BD=CD.

13.如图,以$AB为直径作半圆O$,$C$是半圆的中点,$P是\overset{\frown}{BC}$上一点.
(1)求$∠BPC$的度数;
(2)若$AB = 5\sqrt{2}$,$PB = 1$,求$PC$的长.

解：(1)连接BC.
∵AB为直径，
C为半圆的中点，
∴CB=CA，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°.
∵∠CPB+∠CAB=180°，
∴∠CPB=135°；
(2)由(1)知CA=CB，∠ACB=90°.
∵AB=5$\sqrt{2}$，∴BC=AC=5.
过点C作CQ⊥BP，
交BP的延长线于点Q，
则∠CPQ=∠PCQ=45°，
∴PQ=CQ.设PQ=CQ=x，
则BQ=x+1，在Rt△BCQ中，
BQ²+CQ²=BC²，
∴(x+1)²+x²=5²，
解得x=3(负值已舍去)，
∴PQ=3，∴PC=$\sqrt{2}$PQ=3$\sqrt{2}$.