1. 如图,$\angle ACB= \angle ADB = 90^{\circ}$,$CE\perp DB$ 于点 $E$,$AC = BC$。求证：$\angle CDE = 45^{\circ}$。

证明:过点 C 作 $ CF \perp AD $,交 AD 的延长线于点 F.
$ \because \angle ACB = \angle ADB = 90^\circ $,
$ \therefore \angle CBE = \angle CAF $.
$ \because CE \perp DB $ 于点 E,$ CF \perp AD $ 于点 F,
$ \therefore \angle CEB = \angle CFA = 90^\circ $.
$ \because AC = BC $,
$ \therefore \triangle CBE \cong \triangle CAF (AAS) $,
$ \therefore EC = FC $,
$ \therefore DC $ 平分 $ \angle FDB $,
$ \therefore \angle FDC = \angle EDC $.
$ \because \angle ADB = 90^\circ $,
$ \therefore \angle FDB = 90^\circ $,
$ \therefore \angle FDC = \angle CDE = 45^\circ $.

2. (原创题)如图,在四边形 $ABCD$ 中,$DB = DC$,$AD$ 平分 $\triangle ABC$ 的外角 $\angle FAC$,$DE\perp AC$ 于点 $E$。
(1) 求证：$\angle BDC= \angle BAC$；
(2) 若 $AE = 3$,求 $AC - AB$ 的值。

解:(1)过点 D 作 $ DH \perp AF $ 于点 H.
$ \because AD $ 平分 $ \triangle ABC $ 的外角 $ \angle FAC $,
$ DE \perp AC $,$ DH \perp AF $,
$ \therefore ED = HD $.
$ \because DB = DC $,
$ \therefore \text{Rt} \triangle BDH \cong \text{Rt} \triangle CDE (HL) $,
$ \therefore \angle DCE = \angle DBF $,
$ \therefore \angle BDC = \angle BAC $;
(2)$ \because ED = HD $,$ AD = AD $,
$ \therefore \text{Rt} \triangle ADE \cong \text{Rt} \triangle ADH (HL) $,
$ \therefore AE = AH $.
$ \because \text{Rt} \triangle BDH \cong \text{Rt} \triangle CDE (HL) $,
$ \therefore CE = BH $,
$ \begin{align}\therefore AC - AB &= CE + AE - (BH - AH) \\&= AE + AH \\&= 2AE \\&= 6.\end{align} $

3. 如图,在 $\triangle ADE$ 和 $\triangle ABC$ 中,$\angle E= \angle C$,$DE = BC$,$EA = CA$,过点 $A$ 作 $AF\perp DE$,垂足为 $F$,$DE$ 交 $CB$ 的延长线于点 $G$,连接 $AG$。
(1) 求证：$GA$ 平分 $\angle DGB$；
(2) 若四边形 $DGBA$ 的面积为 $12$,$AF = 4$,求 $FG$ 的长。

解:(1)过点 A 作 $ AH \perp BC $ 于点 H.
$ \because \angle E = \angle C $,$ DE = BC $,$ EA = CA $,
$ \therefore \triangle ABC \cong \triangle ADE (SAS) $,
$ \therefore AD = AB $,$ S_{\triangle ABC} = S_{\triangle AED} $.
又 $ \because AF \perp DE $,
$ \therefore \frac{1}{2} DE \cdot AF = \frac{1}{2} BC \cdot AH $,
$ \therefore AF = AH $,
$ \therefore GA $ 平分 $ \angle DGB $;
(2)$ \because AF \perp DE $,$ AH \perp BC $,
$ \therefore \angle AFG = \angle AHG = 90^\circ $.
$ \because \angle AGF = \angle AGH $,$ AG = AG $,
$ \therefore \text{Rt} \triangle AFG \cong \text{Rt} \triangle AHG (HL) $.
同理 $ \text{Rt} \triangle ADF \cong \text{Rt} \triangle ABH (HL) $,
$ \therefore S_{\text{四边形} DGBA} = S_{\text{四边形} AFCH} = 12 $.
$ \because \text{Rt} \triangle AFG \cong \text{Rt} \triangle AHG $,
$ \therefore S_{\text{Rt} \triangle AFG} = 6 $.
$ \because AF = 4 $,
$ \therefore \frac{1}{2} \times FG \times 4 = 6 $,解得 $ FG = 3 $.