登录
2* 试用配方法说明,无论$x$取何值时,代数式$2x^2 - 5x + 4$的值总是正数,并指出$x$为何值时,这个代数式的值最小,最小值是多少？
答案
解：$2x^2 - 5x + 4$
$=2\left(x^2 - \frac{5}{2}x\right) + 4$
$=2\left[x^2 - \frac{5}{2}x + \left(\frac{5}{4}\right)^2 - \left(\frac{5}{4}\right)^2\right] + 4$
$=2\left[\left(x - \frac{5}{4}\right)^2 - \frac{25}{16}\right] + 4$
$=2\left(x - \frac{5}{4}\right)^2 - \frac{25}{8} + 4$
$=2\left(x - \frac{5}{4}\right)^2 + \frac{7}{8}$
因为$\left(x - \frac{5}{4}\right)^2 \geq 0$，所以$2\left(x - \frac{5}{4}\right)^2 \geq 0$，则$2\left(x - \frac{5}{4}\right)^2 + \frac{7}{8} \geq \frac{7}{8} ＞ 0$，即无论$x$取何值，代数式$2x^2 - 5x + 4$的值总是正数。
当$\left(x - \frac{5}{4}\right)^2 = 0$，即$x = \frac{5}{4}$时，代数式的值最小，最小值是$\frac{7}{8}$。
$=2\left(x^2 - \frac{5}{2}x\right) + 4$
$=2\left[x^2 - \frac{5}{2}x + \left(\frac{5}{4}\right)^2 - \left(\frac{5}{4}\right)^2\right] + 4$
$=2\left[\left(x - \frac{5}{4}\right)^2 - \frac{25}{16}\right] + 4$
$=2\left(x - \frac{5}{4}\right)^2 - \frac{25}{8} + 4$
$=2\left(x - \frac{5}{4}\right)^2 + \frac{7}{8}$
因为$\left(x - \frac{5}{4}\right)^2 \geq 0$，所以$2\left(x - \frac{5}{4}\right)^2 \geq 0$，则$2\left(x - \frac{5}{4}\right)^2 + \frac{7}{8} \geq \frac{7}{8} ＞ 0$，即无论$x$取何值，代数式$2x^2 - 5x + 4$的值总是正数。
当$\left(x - \frac{5}{4}\right)^2 = 0$，即$x = \frac{5}{4}$时，代数式的值最小，最小值是$\frac{7}{8}$。
1. 方程$2x^2+x-6= 0$的解是(
A.$x_1= 1,x_2= -1$
B.$x_1= x_2= 1$
C.$x_1= x_2= -1$
D.$x_1= 1.5,x_2= -2$
D
)A.$x_1= 1,x_2= -1$
B.$x_1= x_2= 1$
C.$x_1= x_2= -1$
D.$x_1= 1.5,x_2= -2$
答案
解：方程$2x^2 + x - 6 = 0$，
这里$a = 2$，$b = 1$，$c = -6$，
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×2×(-6) = 1 + 48 = 49$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2×2} = \frac{-1 \pm 7}{4}$，
$x_1 = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$，$x_2 = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2$。
答案：D
这里$a = 2$，$b = 1$，$c = -6$，
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×2×(-6) = 1 + 48 = 49$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2×2} = \frac{-1 \pm 7}{4}$，
$x_1 = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$，$x_2 = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2$。
答案：D
2. 如果$x^2-x-1= 1$,那么x的值为(
A.2或-1
B.0或1
C.2
D.-1
A
)A.2或-1
B.0或1
C.2
D.-1
答案
解：$x^2 - x - 1 = 1$
$x^2 - x - 2 = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
$x - 2 = 0$ 或 $x + 1 = 0$
$x_1 = 2$，$x_2 = -1$
答案：A
$x^2 - x - 2 = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
$x - 2 = 0$ 或 $x + 1 = 0$
$x_1 = 2$，$x_2 = -1$
答案：A
3. 三角形的两边长分别是3和6,第三边是方程$x^2-6x+8= 0$的解,则这个三角形的周长是(
A.11
B.13
C.11或13
D.不能确定
B
)A.11
B.13
C.11或13
D.不能确定
答案
解：解方程$x^2 - 6x + 8 = 0$，
因式分解得$(x - 2)(x - 4)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=4$。
当第三边为$2$时，$3 + 2 = 5\lt6$，不满足三角形三边关系，舍去。
当第三边为$4$时，$3 + 4 = 7\gt6$，$6 - 3 = 3\lt4$，满足三角形三边关系。
三角形周长为$3 + 6 + 4 = 13$。
答案：B
因式分解得$(x - 2)(x - 4)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=4$。
当第三边为$2$时，$3 + 2 = 5\lt6$，不满足三角形三边关系，舍去。
当第三边为$4$时，$3 + 4 = 7\gt6$，$6 - 3 = 3\lt4$，满足三角形三边关系。
三角形周长为$3 + 6 + 4 = 13$。
答案：B
4. 用公式法解方程$-x^2-2x= 1$时,$b^2-4ac$的值是(
A.8
B.0
C.5
D.6
B
)A.8
B.0
C.5
D.6
答案
解：将方程整理为一般形式：$-x^2 - 2x - 1 = 0$，两边同乘$-1$得$x^2 + 2x + 1 = 0$。
其中$a = 1$，$b = 2$，$c = 1$。
$b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×1 = 4 - 4 = 0$。
答案：B
其中$a = 1$，$b = 2$，$c = 1$。
$b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×1 = 4 - 4 = 0$。
答案：B
1. 用公式法解一元二次方程$3x= 40-x^2$时,应先将方程化为一般形式:
$x^2 + 3x - 40 = 0$
,再计算出$b^2-4ac= $169
,最后代入求根公式中求出该方程的解是$x_1 = 5, x_2 = -8$
.答案
【解析】：
这是一道数学九年级华师大版上册中关于一元二次方程解法的题目。
首先，我们需要将给定的方程$3x = 40 - x^2$转化为一般形式，即$ax^2 + bx + c = 0$。
然后，我们需要计算判别式$b^2 - 4ac$的值。
最后，我们将这些值代入求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$中，以求得方程的解。
将原方程化为一般形式：
$x^2 + 3x - 40 = 0$
其中，$a = 1, b = 3, c = -40$。
计算判别式$b^2 - 4ac$：
$b^2 - 4ac = 3^2 - 4 × 1 × (-40) = 9 + 160 = 169$
代入求根公式求解：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{-3 \pm 13}{2}$
解得：
$x_1 = \frac{-3 + 13}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-3 - 13}{2} = -8$
【答案】：
方程的一般形式为$x^2 + 3x - 40 = 0$；
判别式$b^2 - 4ac = 169$；
方程的解为$x_1 = 5, x_2 = -8$。
这是一道数学九年级华师大版上册中关于一元二次方程解法的题目。
首先，我们需要将给定的方程$3x = 40 - x^2$转化为一般形式，即$ax^2 + bx + c = 0$。
然后，我们需要计算判别式$b^2 - 4ac$的值。
最后，我们将这些值代入求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$中，以求得方程的解。
将原方程化为一般形式：
$x^2 + 3x - 40 = 0$
其中，$a = 1, b = 3, c = -40$。
计算判别式$b^2 - 4ac$：
$b^2 - 4ac = 3^2 - 4 × 1 × (-40) = 9 + 160 = 169$
代入求根公式求解：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{-3 \pm 13}{2}$
解得：
$x_1 = \frac{-3 + 13}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-3 - 13}{2} = -8$
【答案】：
方程的一般形式为$x^2 + 3x - 40 = 0$；
判别式$b^2 - 4ac = 169$；
方程的解为$x_1 = 5, x_2 = -8$。
2. 方程$3x^2-5x+1= 0$的解是
$x_1=\frac{5+\sqrt{13}}{6}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{13}}{6}$
.答案
解：$a=3$，$b=-5$，$c=1$
$\Delta =b^2-4ac=(-5)^2-4×3×1=25-12=13＞0$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm\sqrt{13}}{2×3}=\frac{5\pm\sqrt{13}}{6}$
$x_1=\frac{5+\sqrt{13}}{6}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{13}}{6}$
$\Delta =b^2-4ac=(-5)^2-4×3×1=25-12=13＞0$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm\sqrt{13}}{2×3}=\frac{5\pm\sqrt{13}}{6}$
$x_1=\frac{5+\sqrt{13}}{6}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{13}}{6}$
3. 方程$x^2+x-1= 0$的解是
$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
.答案
【解析】：
本题考查一元二次方程的求解。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，其解可以通过公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$求得。
对于方程$x^2+x-1=0$，其中$a=1, b=1, c=-1$。
代入公式，有：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4×1×(-1)}}{2×1}$
$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
【答案】：
$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
本题考查一元二次方程的求解。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，其解可以通过公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$求得。
对于方程$x^2+x-1=0$，其中$a=1, b=1, c=-1$。
代入公式，有：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4×1×(-1)}}{2×1}$
$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
【答案】：
$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
4. 若$y_1= 2x^2+7x-1,y_2= 6x+2$,则当$x= $
1 或 $-\frac{3}{2}$
时,$y_1= y_2$.答案
【解析】：
题目要求找到$y_1$和$y_2$相等的$x$的值，即解方程$2x^2 + 7x - 1 = 6x + 2$。
首先，将方程整理为标准形式：
$2x^2 + 7x - 6x - 1 - 2 = 0$
$2x^2 + x - 3 = 0$
接下来，使用一元二次方程的求根公式来求解这个方程。
求根公式为：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
其中，$a = 2, b = 1, c = -3$。
代入求根公式，得到：
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 × 2 × (-3)}}{2 × 2}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{4}$
$x = \frac{-1 \pm 5}{4}$
解得：
$x_1 = 1, \quad x_2 = -\frac{3}{2}$
【答案】：
$x = 1$ 或 $x = -\frac{3}{2}$
题目要求找到$y_1$和$y_2$相等的$x$的值，即解方程$2x^2 + 7x - 1 = 6x + 2$。
首先，将方程整理为标准形式：
$2x^2 + 7x - 6x - 1 - 2 = 0$
$2x^2 + x - 3 = 0$
接下来，使用一元二次方程的求根公式来求解这个方程。
求根公式为：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
其中，$a = 2, b = 1, c = -3$。
代入求根公式，得到：
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 × 2 × (-3)}}{2 × 2}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{4}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{4}$
$x = \frac{-1 \pm 5}{4}$
解得：
$x_1 = 1, \quad x_2 = -\frac{3}{2}$
【答案】：
$x = 1$ 或 $x = -\frac{3}{2}$
5. 已知三角形两边长是方程$x^2-5x+6= 0$的两个根,则三角形的第三边c的取值范围是
$1 ＜ c ＜ 5$
.答案
解：解方程$x^2 - 5x + 6 = 0$，
因式分解得$(x - 2)(x - 3) = 0$，
则$x - 2 = 0$或$x - 3 = 0$，
解得$x_1 = 2$，$x_2 = 3$。
设三角形两边长分别为$2$和$3$，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得：
$3 - 2 ＜ c ＜ 3 + 2$，即$1 ＜ c ＜ 5$。
$1 ＜ c ＜ 5$
因式分解得$(x - 2)(x - 3) = 0$，
则$x - 2 = 0$或$x - 3 = 0$，
解得$x_1 = 2$，$x_2 = 3$。
设三角形两边长分别为$2$和$3$，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得：
$3 - 2 ＜ c ＜ 3 + 2$，即$1 ＜ c ＜ 5$。
$1 ＜ c ＜ 5$
