11.(7 分) 如图,四边形$ABCD$的两条对角线$AC,BD$互相垂直,$AC + BD = 1 0$.当$AC,BD$的长是多少时,四边形$ABCD$的面积最大?

设 $AC = x$，则 $BD = 10 - x$，
四边形 $ABCD$ 的面积 $S$ 可以表示为：
$S = \frac{1}{2} AC · BD = \frac{1}{2} x(10 - x)$
$S= -\frac{1}{2}x^2 + 5x$
$S= -\frac{1}{2}(x - 5)^2 + \frac{25}{2}$
由于二次函数 $ -\frac{1}{2}(x - 5)^2 + \frac{25}{2}$ 的系数 $a = -\frac{1}{2} ＜ 0$，因此该函数有最大值。
当 $x = 5$ 时，$S$ 达到最大值 $\frac{25}{2}$。
此时，$AC = 5$，$BD = 10 - 5 = 5$。
故当 $AC$ 和 $BD$ 的长度均为 $5$ 时，四边形 $ABCD$ 的面积最大。

12.(7 分) 如图,某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物,大门地面宽$AB = 4 m$,顶部$C$离地面高度为$4 . 4 m$.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面$2 . 8 m$,装货宽度为$2 . 4 m$.请通过计算判断这辆汽车能否顺利通过大门.

建立坐标系：以大门地面宽$AB$所在直线为$x$轴，$AB$的垂直平分线为$y$轴，垂足为$O$（即坐标系原点在$AB$中点下方地面处）。
已知$AB = 4m$，则$A$点坐标为$(-2,0)$，$B$点坐标为$(2,0)$，$C$点坐标为$(0,4.4)$。
设抛物线方程为$y = ax^{2}+b$，把$B(2,0)$，$C(0,4.4)$代入方程得：
$\begin{cases}4a + b=0\\b = 4.4\end{cases}$
将$b = 4.4$代入$4a + b = 0$，得$4a+4.4 = 0$，解得$a=-1.1$。
所以抛物线方程为$y=-1.1x^{2}+4.4$。
已知装货宽度为$2.4m$，那么当$x = 1.2$时（因为汽车在大门中间行驶，$2.4÷2 = 1.2$），
$y=-1.1×1.2^{2}+4.4$
$=-1.1×1.44 + 4.4$
$=-1.584+4.4$
$= 2.816$
因为$2.816\gt2.8$。
所以这辆汽车能顺利通过大门。