19. （8 分）如图，已经正比例函数 $ y_1 = kx $ 与反比例函数 $ y_2 = \frac{m}{x} $ 的图象分别交于 $ A $，$ B $ 两点，其中 $ A(2,4) $。
（1）求正比例函数与反比例函数的解析式；
（2）当 $ y_1 ＞ y_2 $ 时，求 $ x $ 的取值范围。

19. $y_1 = 2x,y_2 = \dfrac{8}{x}$ (2) $-2 ＜ x ＜ 0$ 或 $x ＞ 2$

解：（1）将点$A(2,4)$代入$y_1 = kx$，得$4 = 2k$，解得$k = 2$，所以正比例函数解析式为$y_1 = 2x$。
将点$A(2,4)$代入$y_2 = \frac{m}{x}$，得$4 = \frac{m}{2}$，解得$m = 8$，所以反比例函数解析式为$y_2 = \frac{8}{x}$。
（2）联立$\begin{cases}y = 2x \\ y = \frac{8}{x} \end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 2 \\ y = 4 \end{cases}$或$\begin{cases}x = -2 \\ y = -4 \end{cases}$，所以点$B$的坐标为$(-2,-4)$。
由图象可知，当$y_1 ＞ y_2$时，$x$的取值范围是$-2 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 2$。

20. （8 分）如图，在 $ △ ABC $ 中，$ D $，$ E $ 分别是 $ AB $，$ AC $ 上的点，$ △ ADE ∼ △ ACB $。$ △ ABC $ 的角平分线 $ AF $ 交 $ DE $ 于点 $ G $。
（1）求证：$ △ ADG ∼ △ ACF $；
（2）若 $ AE:AB = 2:3 $，求 $ \frac{AG}{FG} $ 的值。

20. (1) 略 (2) $\dfrac{AG}{FG} = 2$

（1）证明：因为$△ ADE ∼ △ ACB$，所以$∠ ADG = ∠ C$。
因为$AF$是$△ ABC$的角平分线，所以$∠ DAG = ∠ CAF$。
在$△ ADG$和$△ ACF$中，$∠ ADG = ∠ C$，$∠ DAG = ∠ CAF$，所以$△ ADG ∼ △ ACF$。
（2）因为$△ ADE ∼ △ ACB$，所以$\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{2}{3}$。
由（1）知$△ ADG ∼ △ ACF$，所以$\dfrac{AG}{AF} = \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{2}{3}$，即$AG = \dfrac{2}{3}AF$。
所以$FG = AF - AG = AF - \dfrac{2}{3}AF = \dfrac{1}{3}AF$，因此$\dfrac{AG}{FG} = \dfrac{\dfrac{2}{3}AF}{\dfrac{1}{3}AF} = 2$。