23.(11分)观察:
$2^2 + 4^2 = 20 = 4×5$;
$8^2 + 10^2 = 164 = 4×41$;
$36^2 + 38^2 = 2740 = 4×685$;
$24^2 + 26^2 = 1252 = 4×313$;
$·s·s$
(1)发现结论:任意两个连续偶数的平方和是4的倍(用“偶数”或“奇数”填空);
(2)逻辑论证:在两个连续偶数中,设较小的数为$2n(n$为整数),请论证(1)中结论的正确性.

(1)奇数
(2)设较小的连续偶数为$2n$（$n$为整数），则较大的连续偶数为$2n + 2$。
$\begin{aligned}&(2n)^2 + (2n + 2)^2\\=&4n^2 + (4n^2 + 8n + 4)\\=&4n^2 + 4n^2 + 8n + 4\\=&8n^2 + 8n + 4\\=&4(2n^2 + 2n + 1)\end{aligned}$
因为$n$为整数，所以$2n^2 + 2n = 2n(n + 1)$，$n$与$n + 1$是两个连续整数，必有一个为偶数，所以$2n(n + 1)$是偶数，$2n^2 + 2n + 1$是奇数。因此，任意两个连续偶数的平方和是$4$的奇数倍。

24.(12分)我们已经学过将一个多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法,其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等等.
①分组分解法:
例如:$x^2 - 2xy + y^2 - 25=(x^2 - 2xy + y^2) - 25=(x - y)^2 - 5^2=(x - y - 5)(x - y + 5)$.
②拆项法:
例如:$x^2 + 2x - 3 = x^2 + 2x + 1 - 4=(x + 1)^2 - 2^2=(x + 1 - 2)(x + 1 + 2)=(x - 1)(x + 3)$.
(1)仿照以上方法,按照要求分解因式:
①用分组分解法:$x^2 + 2x - y^2 + 1$;
②用拆项法:$x^2 - 4x + 3$;
(2)已知$a,b,c$为$\triangle ABC$的三边长,$a^2 + 5b^2 + c^2 - 4ab - 6b - 10c + 34 = 0$,求$\triangle ABC$的周长.

(1)①
$x^2 + 2x - y^2 + 1$
$=(x^2 + 2x + 1) - y^2$
$=(x + 1)^2 - y^2$
$=(x + 1 + y)(x + 1 - y)$
②
$x^2 - 4x + 3$
$=x^2 - 4x + 4 - 1$
$=(x - 2)^2 - 1$
$=(x - 2 + 1)(x - 2 - 1)$
$=(x - 1)(x - 3)$
(2)
$a^2 + 5b^2 + c^2 - 4ab - 6b - 10c + 34 = 0$
$a^2 - 4ab + 4b^2 + b^2 - 6b + 9 + c^2 - 10c + 25 = 0$
$(a - 2b)^2 + (b - 3)^2 + (c - 5)^2 = 0$
因为$(a - 2b)^2\geq0$，$(b - 3)^2\geq0$，$(c - 5)^2\geq0$，要使等式成立，则：
$\begin{cases}a - 2b = 0\\b - 3 = 0\\c - 5 = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 6\\b = 3\\c = 5\end{cases}$
$\triangle ABC$的周长为$a + b + c = 6 + 3 + 5 = 14$。
综上，答案依次为：(1)①$(x + 1 + y)(x + 1 - y)$；②$(x - 1)(x - 3)$；(2)$14$。