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5.如图所示,将一未装满水的密闭矿泉水瓶,先正立放置在水平桌面上,再倒立放置,则正立时水对瓶底的压强和倒立时水对瓶盖的压强之比是
3:4
;正立时水对瓶底的压力为$F_1$,倒立时水对瓶盖的压力为$F_2$,则$F_1$＞
(选填“＞”“＜”或“=”)$F_2$。答案
5. 3:4 ＞
6. 如图所示,均匀圆柱体 A 和轻质薄壁柱形容器 B 置于水平地面上。容器 B 高 0.25 m,底面积为$2× 10^{-2}\ \mathrm{m}^2$,其内部盛有 4 kg 的水。($g=9.8\ \mathrm{N/kg}$,$\rho_{\mathrm{水}}=1.0× 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$)
(1)求水的体积$V_{\mathrm{水}}$。
(2)求水对容器底部的压强$p_{\mathrm{水}}$。
(3)若圆柱体 A 的底面积为$1× 10^{-2}\ \mathrm{m}^2$,高为 0.3 m,现沿水平方向将其截取一定的厚度$\Delta h$,并将截取部分放入容器 B 的水中(已知 A 的密度大于水)。
①若要使水对容器底部压强最大,求圆柱体 A 截取的厚度$\Delta h$的最小值;
②若$\Delta h$为最小值时,圆柱体 A 对地面的压强$p_{\mathrm{A}}'$恰为水对容器底部压强$p_{\mathrm{水}}'$的两倍,求 A 的密度$\rho_{\mathrm{A}}$。
(1)求水的体积$V_{\mathrm{水}}$。
(2)求水对容器底部的压强$p_{\mathrm{水}}$。
(3)若圆柱体 A 的底面积为$1× 10^{-2}\ \mathrm{m}^2$,高为 0.3 m,现沿水平方向将其截取一定的厚度$\Delta h$,并将截取部分放入容器 B 的水中(已知 A 的密度大于水)。
①若要使水对容器底部压强最大,求圆柱体 A 截取的厚度$\Delta h$的最小值;
②若$\Delta h$为最小值时,圆柱体 A 对地面的压强$p_{\mathrm{A}}'$恰为水对容器底部压强$p_{\mathrm{水}}'$的两倍,求 A 的密度$\rho_{\mathrm{A}}$。
答案
6.解:(1)容器B中所盛水的体积
$V_{\mathrm{水}}=\frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}}=\frac{4\ \mathrm{kg}}{1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=4 × 10^{-3}\ \mathrm{m}^3$。
(2)水对容器B底部的压强
$p_{\mathrm{水}}=\frac{G_{\mathrm{水}}}{S_{\mathrm{B}}}=\frac{m_{\mathrm{水}}g}{S_{\mathrm{B}}}=\frac{4\ \mathrm{kg} × 9.8\ \mathrm{N/kg}}{2 × 10^{-2}\ \mathrm{m}^2}=1\ 960\ \mathrm{Pa}$。
(3)①容器B中现有水的深度$h_{\mathrm{水}}=\frac{V_{\mathrm{水}}}{S_{\mathrm{B}}}=\frac{4 × 10^{-3}\ \mathrm{m}^3}{2 × 10^{-2}\ \mathrm{m}^2}=0.2\ \mathrm{m}$,圆柱体A截取部分放入B的水中后,容器B中水面会升高,当容器B中液面和容器口刚好相平时,B中水的深度达到最大值,根据液体压强公式$p=\rho_{\mathrm{液}}gh$可知,此时水对容器底部压强达到最大值,圆柱体A截取的厚度$\Delta h$达到最小值,圆柱体A截取部分排开水的体积和截取部分体积相等,即$V_{\mathrm{排}}=V_{\mathrm{截}}$,由此式可得$(h_{\mathrm{B}}-h_{\mathrm{水}})· S_{\mathrm{B}}=\Delta h_{\mathrm{小}} S_{\mathrm{A}}$,整理后代入数据可得
$\Delta h_{\mathrm{小}}=\frac{(h_{\mathrm{B}}-h_{\mathrm{水}})S_{\mathrm{B}}}{S_{\mathrm{A}}}=\frac{(0.25\ \mathrm{m}-0.2\ \mathrm{m}) × 2 × 10^{-2}\ \mathrm{m}^2}{1 × 10^{-2}\ \mathrm{m}^2}=0.1\ \mathrm{m}$,即圆柱体A截取的厚度$\Delta h$的最小值为0.1 m;
②水平截去0.1 m的厚度之后,圆柱体A对地面的压强$p_{\mathrm{A}}'$恰为水对容器底部压强$p_{\mathrm{水}}'$的两倍,即$p_{\mathrm{A}}'=2p_{\mathrm{水}}'=2\rho_{\mathrm{水}}gh_{\mathrm{B}}$,均匀圆柱体A对地面的压强也可以用液体压强公式表示,即$p_{\mathrm{A}}'=\rho_{\mathrm{A}}g(h_{\mathrm{A}}-\Delta h_{\mathrm{小}})$,联立可得$\rho_{\mathrm{A}}=\frac{2\rho_{\mathrm{水}} h_{\mathrm{B}}}{h_{\mathrm{A}}-\Delta h_{\mathrm{小}}}=\frac{2 × 1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 0.25\ \mathrm{m}}{0.3\ \mathrm{m}-0.1\ \mathrm{m}}=2.5 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
$V_{\mathrm{水}}=\frac{m_{\mathrm{水}}}{\rho_{\mathrm{水}}}=\frac{4\ \mathrm{kg}}{1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=4 × 10^{-3}\ \mathrm{m}^3$。
(2)水对容器B底部的压强
$p_{\mathrm{水}}=\frac{G_{\mathrm{水}}}{S_{\mathrm{B}}}=\frac{m_{\mathrm{水}}g}{S_{\mathrm{B}}}=\frac{4\ \mathrm{kg} × 9.8\ \mathrm{N/kg}}{2 × 10^{-2}\ \mathrm{m}^2}=1\ 960\ \mathrm{Pa}$。
(3)①容器B中现有水的深度$h_{\mathrm{水}}=\frac{V_{\mathrm{水}}}{S_{\mathrm{B}}}=\frac{4 × 10^{-3}\ \mathrm{m}^3}{2 × 10^{-2}\ \mathrm{m}^2}=0.2\ \mathrm{m}$,圆柱体A截取部分放入B的水中后,容器B中水面会升高,当容器B中液面和容器口刚好相平时,B中水的深度达到最大值,根据液体压强公式$p=\rho_{\mathrm{液}}gh$可知,此时水对容器底部压强达到最大值,圆柱体A截取的厚度$\Delta h$达到最小值,圆柱体A截取部分排开水的体积和截取部分体积相等,即$V_{\mathrm{排}}=V_{\mathrm{截}}$,由此式可得$(h_{\mathrm{B}}-h_{\mathrm{水}})· S_{\mathrm{B}}=\Delta h_{\mathrm{小}} S_{\mathrm{A}}$,整理后代入数据可得
$\Delta h_{\mathrm{小}}=\frac{(h_{\mathrm{B}}-h_{\mathrm{水}})S_{\mathrm{B}}}{S_{\mathrm{A}}}=\frac{(0.25\ \mathrm{m}-0.2\ \mathrm{m}) × 2 × 10^{-2}\ \mathrm{m}^2}{1 × 10^{-2}\ \mathrm{m}^2}=0.1\ \mathrm{m}$,即圆柱体A截取的厚度$\Delta h$的最小值为0.1 m;
②水平截去0.1 m的厚度之后,圆柱体A对地面的压强$p_{\mathrm{A}}'$恰为水对容器底部压强$p_{\mathrm{水}}'$的两倍,即$p_{\mathrm{A}}'=2p_{\mathrm{水}}'=2\rho_{\mathrm{水}}gh_{\mathrm{B}}$,均匀圆柱体A对地面的压强也可以用液体压强公式表示,即$p_{\mathrm{A}}'=\rho_{\mathrm{A}}g(h_{\mathrm{A}}-\Delta h_{\mathrm{小}})$,联立可得$\rho_{\mathrm{A}}=\frac{2\rho_{\mathrm{水}} h_{\mathrm{B}}}{h_{\mathrm{A}}-\Delta h_{\mathrm{小}}}=\frac{2 × 1.0 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3 × 0.25\ \mathrm{m}}{0.3\ \mathrm{m}-0.1\ \mathrm{m}}=2.5 × 10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
