如图1，$∠ ACB = 90°, AC = BC$，直线$l$经过点$C$，$AD ⊥$直线$l$，$BE ⊥$直线$l$，垂足分别为$D,E$，求证：$△ ADC ≌ △ CEB$。

证明:$\because ∠ ACB = 90°,AD ⊥$直线$l,BE ⊥$直线$l$,
$\therefore ∠ ADC = ∠ CEB = 90°,∠ ACD + ∠ ECB = 90°$,
$\therefore ∠ DAC + ∠ ACD = 90°$,
$\therefore ∠ DAC = ∠ ECB$.
在$△ ADC$和$△ CEB$中,$\begin{cases} ∠ ADC = ∠ CEB, \\ ∠ DAC = ∠ ECB, \\ AC = CB, \end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB(\mathrm{AAS})$.

【分析】
要证明△ADC≌△CEB，首先梳理已知条件：一是AD、BE都垂直于直线l，可得△ADC和△CEB都是直角三角形，存在一组直角相等；二是题目直接给出AC=BC。此时还缺一组角或边相等的条件，结合∠ACB=90°，可知∠ACD与∠ECB互余，而Rt△ADC中∠DAC与∠ACD也互余，根据同角的余角相等，即可得到∠DAC=∠ECB，凑齐AAS全等判定的三个条件后就能完成证明。
【解析】
证明:$\because ∠ ACB = 90°,AD ⊥$直线$l,BE ⊥$直线$l$,
$\therefore ∠ ADC = ∠ CEB = 90°,∠ ACD + ∠ ECB = 90°$,
$\because$在$Rt△ADC$中，$∠ DAC + ∠ ACD = 90°$,
$\therefore ∠ DAC = ∠ ECB$（同角的余角相等）.
在$△ ADC$和$△ CEB$中,$\begin{cases} ∠ ADC = ∠ CEB, \\ ∠ DAC = ∠ ECB, \\ AC = CB, \end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB(\mathrm{AAS})$.
【答案】
$△ ADC ≌ △ CEB$，证明过程见上述解析。
【知识点】
垂直的性质，同角的余角相等，全等三角形AAS判定
【点评】
本题是一线三等角全等模型的基础应用，解题核心是通过直角的性质推导相等的锐角，结合已知的边相等条件，选用合适的全等判定定理完成证明，熟练掌握该模型可快速解决同类几何证明问题。
【难度系数】
0.8

【变式探究】
(1)如图2,$AC = BC$,$D,C,E$三点都在直线$l$上,并且有$∠ ADC = ∠ ACB = ∠ CEB = α$,其中$α$为任意锐角或钝角,则$△ ADC$与$△ CEB$是否全等?若仍全等,请你给出证明;若不全等,请说明理由.

(2)如图3,$AB = AC$,$A,E,D$三点都在直线$m$上,且有$∠ BDF = ∠ DEC = ∠ BAC = β$,其中$β$为任意锐角.探究线段$DE,BD,CE$之间的数量关系,并说明理由.

【拓展应用】

(1)解:$△ ADC$和$△ CEB$全等.
证明:$\because ∠ ADC + ∠ DAC + ∠ ACD = 180°,∠ ACD + ∠ ACB + ∠ ECB = 180°,∠ ADC = ∠ ACB = α$,
$\therefore ∠ DAC + ∠ ACD = 180° - α,∠ ECB + ∠ ACD = 180° - α$,
$\therefore ∠ DAC = ∠ ECB$.
在$△ ADC$和$△ CEB$中,$\begin{cases} ∠ ADC = ∠ CEB, \\ ∠ DAC = ∠ ECB, \\ AC = CB, \end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB(\mathrm{AAS})$.
(2)解:$DE = CE - BD$.理由如下:
$\because ∠ DEC = ∠ EAC + ∠ C,∠ BAC = ∠ BAD + ∠ EAC,∠ DEC = ∠ BAC$,$\therefore ∠ BAD = ∠ C$.
$\because ∠ BDF = ∠ DEC$,$\therefore ∠ BDA = ∠ AEC$.
在$△ ADB$和$△ CEA$中,$\begin{cases} ∠ BAD = ∠ C, \\ ∠ BDA = ∠ AEC, \\ AB = CA, \end{cases}$
$\therefore △ ADB ≌ △ CEA(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AD = CE,AE = BD$,
$\therefore CE = AD = AE + DE = BD + DE$,
$\therefore DE = CE - BD$.

【分析】
(1) 要判断△ADC和△CEB是否全等，已知AC=BC，且∠ADC=∠CEB=α，仅需再推导出一组对应角相等即可用AAS判定全等。结合三角形内角和与平角均为180°，通过等量代换可推出∠DAC=∠ECB，满足AAS判定条件，即可证明全等。
(2) 探究线段数量关系时，首先观察图形符合一线三等角模型特征，先通过角的和差关系推导得到∠BAD=∠C、∠BDA=∠AEC，结合已知AB=AC可证明△ADB≌△CEA，再利用全等三角形对应边相等的性质，将相关线段代换后通过和差运算即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1) △ADC和△CEB全等，证明如下：
$\because ∠ ADC + ∠ DAC + ∠ ACD = 180°,∠ ACD + ∠ ACB + ∠ ECB = 180°,∠ ADC = ∠ ACB = α$,
$\therefore ∠ DAC + ∠ ACD = 180° - α,∠ ECB + ∠ ACD = 180° - α$,
$\therefore ∠ DAC = ∠ ECB$.
在$△ ADC$和$△ CEB$中,
$\begin{cases} ∠ ADC = ∠ CEB, \\ ∠ DAC = ∠ ECB, \\ AC = CB, \end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB(\mathrm{AAS})$.
(2) 线段数量关系为$DE = CE - BD$，理由如下：
$\because ∠ DEC = ∠ EAC + ∠ C,∠ BAC = ∠ BAD + ∠ EAC,∠ DEC = ∠ BAC$,
$\therefore ∠ BAD = ∠ C$.
$\because ∠ BDF = ∠ DEC$,
$\therefore ∠ BDA = ∠ AEC$.
在$△ ADB$和$△ CEA$中,
$\begin{cases} ∠ BAD = ∠ C, \\ ∠ BDA = ∠ AEC, \\ AB = CA, \end{cases}$
$\therefore △ ADB ≌ △ CEA(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AD = CE,AE = BD$,
$\because AD = AE + DE$,
$\therefore CE = BD + DE$,
即$DE = CE - BD$.
【答案】
(1) △ADC与△CEB全等，证明见解析；
(2) $DE = CE - BD$，理由见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、一线三等角模型
【点评】
本题是一线三等角模型的典型应用，解题核心是通过角的和差关系推导相等内角，结合已知等边证明三角形全等，再利用全等性质转化线段得到结论，熟练掌握全等判定定理和模型特征可快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.6

如图4,在△ABC中,AB=AC,AB＞BC,点D在边BC上,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若AE=3DE,△BDE的面积为1,△ABC的面积为12,求△CDF的面积.

解:$\because ∠ 1 = ∠ 2 = ∠ BAC$,
$\therefore ∠ BEA = ∠ AFC,∠ BAE + ∠ FAC = ∠ FAC + ∠ ACF$,
$\therefore ∠ BAE = ∠ ACF$.
在$△ ABE$和$△ CAF$中,$\begin{cases} ∠ BEA = ∠ AFC, \\ ∠ BAE = ∠ ACF, \\ AB = CA, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ CAF(\mathrm{AAS})$.
$\because AE = 3DE,S_{△ BDE} = 1$,
$\therefore S_{△ CAF} = S_{△ ABE} = 3$,$\therefore S_{△ ABD} = S_{△ ABE} + S_{△ BDE} = 4$.
$\because S_{△ ABC} = 12$,
$\therefore S_{△ CDF} = S_{△ ABC} - S_{△ ABD} - S_{△ CAF} = 5$.

【分析】
解题时先从已知的等角条件和等边条件入手，首先根据补角性质推导∠BEA和∠AFC相等，再通过角的和差关系推出∠BAE=∠ACF，结合AB=AC的条件，用AAS判定△ABE和△CAF全等，得到二者面积相等；再利用同高三角形的面积比等于对应底的比，由AE=3DE和△BDE的面积求出△ABE的面积，也就得到了△CAF的面积，进而求出△ABD的面积；最后用△ABC的总面积减去△ABD和△CAF的面积，即可得到△CDF的面积。
【解析】
$\because ∠1 = ∠2 = ∠BAC$，
$\therefore ∠BEA = 180° - ∠1$，$∠AFC = 180° - ∠2$，故$∠BEA = ∠AFC$，
又$\because ∠BAC = ∠BAE + ∠FAC$，$∠2 = ∠FAC + ∠ACF$，
$\therefore ∠BAE + ∠FAC = ∠FAC + ∠ACF$，即$∠BAE = ∠ACF$。
在$△ ABE$和$△ CAF$中，
$\begin{cases} ∠BEA = ∠AFC \\ ∠BAE = ∠ACF \\ AB = CA \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ CAF(\mathrm{AAS})$。
$\because AE = 3DE$，$△ ABE$和$△ BDE$同高，面积比等于底的比，且$S_{△ BDE}=1$，
$\therefore S_{△ ABE}=3S_{△ BDE}=3$，由全等性质得$S_{△ CAF}=S_{△ ABE}=3$，
$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ ABE} + S_{△ BDE}=3+1=4$。
$\because S_{△ ABC}=12$，
$\therefore S_{△ CDF}=S_{△ ABC} - S_{△ ABD} - S_{△ CAF}=12-4-3=5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定（AAS）
2. 全等三角形的性质
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是一线三等角模型的典型考题，解题核心是通过角的等量代换推导全等所需的对应角相等，再结合同高三角形的面积与底边的比例关系求解，要求学生能灵活运用全等判定和面积相关性质，建立各部分面积的关联。
【难度系数】
0.6