8. 已知二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图像如图所示，线段$AB// x$轴，交抛物线于$A,B$两点，且点$A$的横坐标为2，则线段$AB$的长度为______。

第8题图

第9题图

第10题图

4

9.如图,菱形OABC的顶点O,A,C在抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$上,其中O为坐标原点,对角线OB在y轴上,且$OB=2$,则菱形OABC的面积是$\underline{\hspace{5em}}$.

$2\sqrt{3}$

10.(2024·广陵区期末)如图,在平面直角坐标系中,点$A(2,-4)$在抛物线$y=ax^2$上,过点A作y轴的垂线,交抛物线于另一点B,点C,D在线段AB上,且C,D两点关于y轴对称,过点C作x轴的垂线交抛物线于点E,连接ED,当$△ CDE$是等腰直角三角形时,线段CD的长为________.

$2\sqrt{5}-2$

11.已知抛物线 $ y=mx^2 $ 和直线 $ y=-x+b $ 都经过点 $ M(-2,4) $，$ O $ 为坐标原点，$ P $ 为抛物线上的动点，直线 $ y=-x+b $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $．
(1)求 $ m,b $ 的值；
(2)当 $ △ PAM $ 是以 $ AM $ 为底边的等腰三角形时，求点 $ P $ 的坐标．

解：​$(1)$​将​$M(-2，4)$​代入​$y = mx^2，$​得​$4 = 4m，$​解得​$m = 1.$​​$ $​将​$M(-2，4)$​代入​$y=-x + b，$​得​$4 = 2 + b，$​解得​$b = 2.$​​$ (2)$​由​$(1)$​可知，抛物线的函数表达式为​$y = x^2，$​直线​$AB$​的函数表达式为​$y=-x + 2.$​​$ $​当​$y = 0$​时，​$-x + 2 = 0，$​解得​$x = 2，$​ ∴点​$A$​的坐标为​$(2，0)，$​​$OA = 2.$​​$ $​设点​$P $​的坐标为​$(x，x^2)，$​​$ $​则​$PA^2=(2 - x)^2+(0 - x^2)^2=x^4+x^2-4x + 4，$​​$PM^2=(-2 - x)^2+(4 - x^2)^2=x^4-7x^2+4x + 20.$​ ∵​$\triangle PAM$​是以​$AM$​为底边的等腰三角形， ∴​$PA^2=PM^2，$​即​$x^4+x^2-4x + 4=x^4-7x^2+4x + 20，$​ 整理，得​$x^2-x - 2 = 0，$​解得​$x_{1}=-1，$​​$x_{2}=2，$​ ∴点​$P $​的坐标为​$(-1，1)$​或​$(2，4).$​

12. 如图,直线 AB 过 x 轴上的点 A(2,0),且与抛物线 $ y = ax^2 $ 相交于 B,C 两点,点 B 的坐标为(1,1).
(1)求直线 AB 和抛物线 $ y = ax^2 $ 的函数表达式;
(2)在抛物线上是否存在一点 D,使得 $ S_{△ OAD} = S_{△ OBC} $? 若不存在,请说明理由;若存在,请求出点 D 的坐标.

解：​$(1)$​设直线​$AB$​的函数表达式为​$y = kx + b.$​ ∵点​$A(2，0)，$​​$B(1，1)$​都在函数​$y = kx + b$​的图像上， ∴​$\begin {cases}0 = 2k + b\\1 = k + b\end {cases}，$​解得​$\begin {cases}k=-1\\b = 2\end {cases}，$​ ∴直线​$AB$​的函数表达式为​$y=-x + 2.$​ ∵点​$B(1，1)$​在抛物线​$y = ax^2$​上， ∴​$a = 1，$​故抛物线的函数表达式为​$y = x^2.$​​$ (2)$​存在​$.$​由​$\begin {cases}y=-x + 2\\y = x^2\end {cases}$​得​$\begin {cases}x=-2\\y = 4\end {cases}$​或​$\begin {cases}x = 1\\y = 1\end {cases}，$​故点​$C$​的坐标为​$(-2，4).$​设点​$D$​的坐标为​$(x，x^2)，$​​$ $​则​$S_{\triangle OAD}=\frac {1}{2}OA·|y_{D}|=\frac {1}{2}×2×x^2=x^2.$​ ∵​$S_{\triangle OBC}=S_{\triangle AOC}-S_{\triangle OAB}=\frac {1}{2}×2×4-\frac {1}{2}×2×1 = 3，$​​$ S_{\triangle OAD}=S_{\triangle OBC}，$​∴​$x^2=3，$​解得​$x=\pm \sqrt {3}.$​ ∴点​$D$​的坐标为​$(-\sqrt {3}，3)$​或​$(\sqrt {3}，3).$​