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14. 如果关于x的方程$4mx^{2}-mx+1= 0$有两个相等的实数根,那么它的根是
$x_{1}=x_{2}=\frac{1}{8}$
.答案
首先，由于方程$4mx^{2} - mx + 1 = 0$有两个相等的实数根，根据判别式的性质，有：
$\Delta = b^{2} - 4ac = 0$
代入方程的系数，得：
$\Delta = (-m)^{2} - 4 × 4m × 1 = m^{2} - 16m = 0$
解这个方程，得到：
$m(m - 16) = 0$
$m = 0 \quad 或 \quad m = 16$
由于题目中方程是一个二次方程，所以二次项系数$4m$不能为0，即$m \neq 0$。
因此，$m = 16$。
将$m = 16$代入原方程，得到：
$64x^{2} - 16x + 1 = 0$
接下来，利用求根公式来求解这个二次方程。
求根公式为：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
由于在这个特定情况下，方程有两个相等的实数根，所以$\Delta = 0$，求根公式可以简化为：
$x = \frac{-b}{2a}$
将$a = 64$，$b = -16$代入上式，得到：
$x = \frac{-(-16)}{2 × 64} = \frac{1}{8}$
由于方程有两个相等的实数根，所以两个根都是$x_{1} = x_{2} = \frac{1}{8}$。
故答案为：$x_{1} = x_{2} = \frac{1}{8}$。
$\Delta = b^{2} - 4ac = 0$
代入方程的系数，得：
$\Delta = (-m)^{2} - 4 × 4m × 1 = m^{2} - 16m = 0$
解这个方程，得到：
$m(m - 16) = 0$
$m = 0 \quad 或 \quad m = 16$
由于题目中方程是一个二次方程，所以二次项系数$4m$不能为0，即$m \neq 0$。
因此，$m = 16$。
将$m = 16$代入原方程，得到：
$64x^{2} - 16x + 1 = 0$
接下来，利用求根公式来求解这个二次方程。
求根公式为：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
由于在这个特定情况下，方程有两个相等的实数根，所以$\Delta = 0$，求根公式可以简化为：
$x = \frac{-b}{2a}$
将$a = 64$，$b = -16$代入上式，得到：
$x = \frac{-(-16)}{2 × 64} = \frac{1}{8}$
由于方程有两个相等的实数根，所以两个根都是$x_{1} = x_{2} = \frac{1}{8}$。
故答案为：$x_{1} = x_{2} = \frac{1}{8}$。
15. 等腰$\triangle ABC两边的长分别是一元二次方程x^{2}-5x+6= 0$的两个解,则这个等腰三角形的周长是
7或8
.答案
解方程$x^{2}-5x+6=0$，因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，解得$x=2$或$x=3$，即等腰三角形两边长为2和3。
情况1：腰长为2，底边长为3
三边为2，2，3。验证三边关系：$2+2＞3$，$2+3＞2$，$2+3＞2$，成立。周长为$2+2+3=7$。
情况2：腰长为3，底边长为2
三边为3，3，2。验证三边关系：$3+3＞2$，$3+2＞3$，$3+2＞3$，成立。周长为$3+3+2=8$。
综上，周长是7或8。
7或8
情况1：腰长为2，底边长为3
三边为2，2，3。验证三边关系：$2+2＞3$，$2+3＞2$，$2+3＞2$，成立。周长为$2+2+3=7$。
情况2：腰长为3，底边长为2
三边为3，3，2。验证三边关系：$3+3＞2$，$3+2＞3$，$3+2＞3$，成立。周长为$3+3+2=8$。
综上，周长是7或8。
7或8
16. 用因式分解法解方程$x^{2}+(\sqrt{5}-\sqrt{3})x-\sqrt{15}= 0$,其根为
$x_{1}=-\sqrt{5}$，$x_{2}=\sqrt{3}$
.答案
本题答案为$x_{1}=-\sqrt{5}$，$x_{2}=\sqrt{3}$。
解析
首先，我们观察方程$x^{2}+(\sqrt{5}-\sqrt{3})x-\sqrt{15}= 0$，尝试将其进行因式分解。
我们可以将方程重写为$x^{2}+\sqrt{5}x-\sqrt{3}x-\sqrt{15}= 0$，
接着，我们可以将其分组并提取公因式，得到$x(x+\sqrt{5})-\sqrt{3}(x+\sqrt{5})= 0$，
然后，我们可以将上述表达式进一步因式分解为$(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{3})= 0$，
由此，我们可以得到两个方程$x+\sqrt{5}= 0$和$x-\sqrt{3}= 0$，
解这两个方程，我们可以得到$x_{1}=-\sqrt{5}$和$x_{2}=\sqrt{3}$，
所以，方程的解为$x_{1}=-\sqrt{5}$，$x_{2}=\sqrt{3}$。
我们可以将方程重写为$x^{2}+\sqrt{5}x-\sqrt{3}x-\sqrt{15}= 0$，
接着，我们可以将其分组并提取公因式，得到$x(x+\sqrt{5})-\sqrt{3}(x+\sqrt{5})= 0$，
然后，我们可以将上述表达式进一步因式分解为$(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{3})= 0$，
由此，我们可以得到两个方程$x+\sqrt{5}= 0$和$x-\sqrt{3}= 0$，
解这两个方程，我们可以得到$x_{1}=-\sqrt{5}$和$x_{2}=\sqrt{3}$，
所以，方程的解为$x_{1}=-\sqrt{5}$，$x_{2}=\sqrt{3}$。
17. 方程$x^{2}-10|x|+21= 0$的根是
$x_{1} = 3$，$x_{2} = -3$，$x_{3} = 7$，$x_{4} = -7$
.答案
原方程的解为$x_{1} = 3$，$x_{2} = -3$，$x_{3} = 7$，$x_{4} = -7$。（由于本题为填空题，没有选项，故此处直接给出答案。）
解析
首先，我们将方程$x^{2}-10|x|+21= 0$进行变形，得到$|x|^{2}-10|x|+21= 0$。
设$|x| = t$，则$t \geq 0$，代入得到$t^{2}-10t+21= 0$。
解这个二次方程，我们得到$t_{1} = 3$，$t_{2} = 7$。
当$t = 3$时，$|x| = 3$，解得$x = \pm 3$。
当$t = 7$时，$|x| = 7$，解得$x = \pm 7$。
所以，原方程的解为$x_{1} = 3$，$x_{2} = -3$，$x_{3} = 7$，$x_{4} = -7$。
设$|x| = t$，则$t \geq 0$，代入得到$t^{2}-10t+21= 0$。
解这个二次方程，我们得到$t_{1} = 3$，$t_{2} = 7$。
当$t = 3$时，$|x| = 3$，解得$x = \pm 3$。
当$t = 7$时，$|x| = 7$，解得$x = \pm 7$。
所以，原方程的解为$x_{1} = 3$，$x_{2} = -3$，$x_{3} = 7$，$x_{4} = -7$。
18. 若$x-3是多项式2x^{2}-5x+m$的一个因式,则$m=$
$-3$
.答案
答题卡：
18.
∵$x - 3$是多项式$2x^{2} - 5x + m$的一个因式，
∴设$2x^{2} - 5x + m=(x - 3)(2x + n)$，
将$(x - 3)(2x + n)$展开得$2x^{2}+nx - 6x - 3n=2x^{2}+(n - 6)x - 3n$，
则$\begin{cases}n - 6=-5\\-3n=m\end{cases}$，
由$n - 6=-5$，解得$n = 1$，
把$n = 1$代入$-3n=m$，得$m=-3$。
故答案为$-3$。
18.
∵$x - 3$是多项式$2x^{2} - 5x + m$的一个因式，
∴设$2x^{2} - 5x + m=(x - 3)(2x + n)$，
将$(x - 3)(2x + n)$展开得$2x^{2}+nx - 6x - 3n=2x^{2}+(n - 6)x - 3n$，
则$\begin{cases}n - 6=-5\\-3n=m\end{cases}$，
由$n - 6=-5$，解得$n = 1$，
把$n = 1$代入$-3n=m$，得$m=-3$。
故答案为$-3$。
19. 请你写出两个二次项系数为1,两实数根之和为3的一元二次方程：
$x^{2}-3x + 2 = 0$，$x^{2}-3x = 0$
.答案
$x^{2}-3x + 2 = 0$，$x^{2}-3x = 0$
解析
依据一元二次方程的根与系数的关系：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$。
已知二次项系数$a = 1$，两实数根之和$x_1 + x_2 = 3$，则$-\frac{b}{a}=3$，因为$a = 1$，所以$b = - 3$。
对于$c$的值可以任意选取，不妨先取$c = 2$，此时方程为$x^{2}-3x + 2 = 0$，因式分解得$(x - 1)(x - 2)=0$，根为$x_1 = 1$，$x_2 = 2$，满足条件。
再取$c = 0$，方程为$x^{2}-3x=0$，提取公因式$x$得$x(x - 3)=0$，根为$x_1 = 0$，$x_2 = 3$，也满足条件。
已知二次项系数$a = 1$，两实数根之和$x_1 + x_2 = 3$，则$-\frac{b}{a}=3$，因为$a = 1$，所以$b = - 3$。
对于$c$的值可以任意选取，不妨先取$c = 2$，此时方程为$x^{2}-3x + 2 = 0$，因式分解得$(x - 1)(x - 2)=0$，根为$x_1 = 1$，$x_2 = 2$，满足条件。
再取$c = 0$，方程为$x^{2}-3x=0$，提取公因式$x$得$x(x - 3)=0$，根为$x_1 = 0$，$x_2 = 3$，也满足条件。
20. 把正方体摆成如图所示的形状,若从上至下依次为第1层、第2层、第3层……第n层,若第n层有210个正方体,则$n= $
20
.答案
20
解析
第1层有1个正方体；
第2层有$1+2=3$个正方体；
第3层有$1+2+3=6$个正方体；
依此类推，第$n$层有$1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$个正方体。
由题意，$\frac{n(n+1)}{2}=210$，
即$n(n+1)=420$，
解得$n^2+n-420=0$，
因式分解得$(n-20)(n+21)=0$，
解得$n=20$或$n=-21$（舍去）。
第2层有$1+2=3$个正方体；
第3层有$1+2+3=6$个正方体；
依此类推，第$n$层有$1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$个正方体。
由题意，$\frac{n(n+1)}{2}=210$，
即$n(n+1)=420$，
解得$n^2+n-420=0$，
因式分解得$(n-20)(n+21)=0$，
解得$n=20$或$n=-21$（舍去）。
21. 用适当的方法解下列方程：
(1)$x^{2}+4x-21= 0$;
(2)$2x^{2}-3= 2\sqrt{3}x$;
(3)$(2x+3)^{2}+3(2x+3)+2= 0$.
(1)$x^{2}+4x-21= 0$;
(2)$2x^{2}-3= 2\sqrt{3}x$;
(3)$(2x+3)^{2}+3(2x+3)+2= 0$.
答案
(1) $x_{1} = -7$，$x_{2} = 3$；
(2) $x_{1} = \frac{\sqrt{3} + 3}{2}$，$x_{2} = \frac{\sqrt{3} - 3}{2}$；
(3) $x_{1} = -2$，$x_{2} = -\frac{5}{2}$。
(2) $x_{1} = \frac{\sqrt{3} + 3}{2}$，$x_{2} = \frac{\sqrt{3} - 3}{2}$；
(3) $x_{1} = -2$，$x_{2} = -\frac{5}{2}$。
解析
(1)解：
考虑因式分解法，将$x^{2} + 4x - 21$分解为两个因式的乘积。
寻找两个数，它们的和为4，乘积为-21。这两个数是7和-3。
因此，$x^{2} + 4x - 21 = (x + 7)(x - 3) = 0$。
解得$x + 7 = 0$或$x - 3 = 0$，
所以$x_{1} = -7$，$x_{2} = 3$。
(2)解：
将方程$2x^{2} - 3 = 2\sqrt{3}x$整理为标准形式：
$2x^{2} - 2\sqrt{3}x - 3 = 0$。
考虑公式法，其中$a = 2$，$b = -2\sqrt{3}$，$c = -3$。
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-2\sqrt{3})^{2} - 4 × 2 × (-3) = 12 + 24 = 36$。
因为$\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实根。
代入公式得：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2\sqrt{3} \pm 6}{4} = \frac{\sqrt{3} \pm 3}{2}$。
所以$x_{1} = \frac{\sqrt{3} + 3}{2}$，$x_{2} = \frac{\sqrt{3} - 3}{2}$。
(3)解：
考虑换元法，令$y = 2x + 3$，则原方程变为：
$y^{2} + 3y + 2 = 0$。
因式分解得：
$(y + 1)(y + 2) = 0$。
解得$y + 1 = 0$或$y + 2 = 0$，
所以$y_{1} = -1$，$y_{2} = -2$。
将$y$的值代回原变量得：
$2x + 3 = -1$或$2x + 3 = -2$，
解得$x_{1} = -2$，$x_{2} = -\frac{5}{2}$。
考虑因式分解法，将$x^{2} + 4x - 21$分解为两个因式的乘积。
寻找两个数，它们的和为4，乘积为-21。这两个数是7和-3。
因此，$x^{2} + 4x - 21 = (x + 7)(x - 3) = 0$。
解得$x + 7 = 0$或$x - 3 = 0$，
所以$x_{1} = -7$，$x_{2} = 3$。
(2)解：
将方程$2x^{2} - 3 = 2\sqrt{3}x$整理为标准形式：
$2x^{2} - 2\sqrt{3}x - 3 = 0$。
考虑公式法，其中$a = 2$，$b = -2\sqrt{3}$，$c = -3$。
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-2\sqrt{3})^{2} - 4 × 2 × (-3) = 12 + 24 = 36$。
因为$\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实根。
代入公式得：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2\sqrt{3} \pm 6}{4} = \frac{\sqrt{3} \pm 3}{2}$。
所以$x_{1} = \frac{\sqrt{3} + 3}{2}$，$x_{2} = \frac{\sqrt{3} - 3}{2}$。
(3)解：
考虑换元法，令$y = 2x + 3$，则原方程变为：
$y^{2} + 3y + 2 = 0$。
因式分解得：
$(y + 1)(y + 2) = 0$。
解得$y + 1 = 0$或$y + 2 = 0$，
所以$y_{1} = -1$，$y_{2} = -2$。
将$y$的值代回原变量得：
$2x + 3 = -1$或$2x + 3 = -2$，
解得$x_{1} = -2$，$x_{2} = -\frac{5}{2}$。
22. (1)根据要求,解答下列问题：
①方程$x^{2}-2x+1= 0$的解为
②方程$x^{2}-3x+2= 0$的解为
③方程$x^{2}-4x+3= 0$的解为
……
(2)根据以上方程特征及其解的特征,请猜想：
①方程$x^{2}-9x+8= 0$的解为
②关于x的方程
(3)请用配方法解方程$x^{2}-9x+8= 0$,以验证猜想结论的正确性.
①方程$x^{2}-2x+1= 0$的解为
$x_{1} = x_{2} = 1$
；②方程$x^{2}-3x+2= 0$的解为
$x_{1} = 1, x_{2} = 2$
；③方程$x^{2}-4x+3= 0$的解为
$x_{1} = 1, x_{2} = 3$
；……
(2)根据以上方程特征及其解的特征,请猜想：
①方程$x^{2}-9x+8= 0$的解为
$x_{1} = 1, x_{2} = 8$
；②关于x的方程
$x^{2} - (n+1)x + n = 0$
的解为$x_{1}= 1,x_{2}= n$.(3)请用配方法解方程$x^{2}-9x+8= 0$,以验证猜想结论的正确性.
答案
22. (1)
① $x_{1} = x_{2} = 1$
② $x_{1} = 1, x_{2} = 2$
③ $x_{1} = 1, x_{2} = 3$
(2)
① $x_{1} = 1, x_{2} = 8$
② $x^{2} - (n+1)x + n = 0$
(3)
$x^{2} - 9x + 8 = 0$
$x^{2} - 9x = -8$
$x^{2} - 9x + \left(\frac{9}{2}\right)^{2} = -8 + \left(\frac{9}{2}\right)^{2}$
$\left(x - \frac{9}{2}\right)^{2} = \frac{81}{4} - \frac{32}{4}$
$\left(x - \frac{9}{2}\right)^{2} = \frac{49}{4}$
$x - \frac{9}{2} = \pm \frac{7}{2}$
$x_{1} = \frac{9}{2} + \frac{7}{2} = 8$
$x_{2} = \frac{9}{2} - \frac{7}{2} = 1$
故$x_{1} = 1, x_{2} = 8$，猜想正确。
① $x_{1} = x_{2} = 1$
② $x_{1} = 1, x_{2} = 2$
③ $x_{1} = 1, x_{2} = 3$
(2)
① $x_{1} = 1, x_{2} = 8$
② $x^{2} - (n+1)x + n = 0$
(3)
$x^{2} - 9x + 8 = 0$
$x^{2} - 9x = -8$
$x^{2} - 9x + \left(\frac{9}{2}\right)^{2} = -8 + \left(\frac{9}{2}\right)^{2}$
$\left(x - \frac{9}{2}\right)^{2} = \frac{81}{4} - \frac{32}{4}$
$\left(x - \frac{9}{2}\right)^{2} = \frac{49}{4}$
$x - \frac{9}{2} = \pm \frac{7}{2}$
$x_{1} = \frac{9}{2} + \frac{7}{2} = 8$
$x_{2} = \frac{9}{2} - \frac{7}{2} = 1$
故$x_{1} = 1, x_{2} = 8$，猜想正确。
